2.5.2 圆与圆的位置关系（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

2.5.2　圆与圆的位置关系 [教材知识——一遍过] 1.C　2.B 3.A　圆C1的圆心C1（－1，2），半径为6，圆C2的圆心C2（2，－2），半径为1，所以｜C1C2｜＝＝5＝6－1，所以两圆位置关系为内切.故选A. 判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法，两圆相切注意讨论内切和外切两种情况. ｜方法技巧｜ 4.A　圆M：（x－2）2＋y2＝4的圆心M（2，0），半径r＝2.圆N：x2＋y2＋2ax＋a2－9＝0，即（x＋a）2＋y2＝9，则圆心N（－a，0），半径R＝3. 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，即｜MN｜＝R＋r，则有｜－a－2｜＝5，解得a＝3或－7.故选A. 5.AB　对于A，因为圆Q1：（x－1）2＋y2＝1和圆Q2：（x＋1）2＋（y－2）2＝5，圆心距为2，且－1＜2＜＋1，两圆相交，将两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为4x－4y＝0，即x－y＝0，故A正确； 对于B，因为圆Q1：（x－1）2＋y2＝1的圆心为（1，0），kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，即线段AB中垂线方程为y－0＝－（x－1），整理可得x＋y－1＝0，故B正确； 对于C，圆心Q1（1，0）到直线x－y＝0的距离d＝＝，又圆Q1的半径r＝1，所以｜AB｜＝2＝，故C错误； 对于D，点P为圆Q1上一动点，圆心Q1（1，0）到直线x－y＝0的距离d＝，又圆Q1的半径r＝1，所以点P到直线AB距离的最大值为＋1，故D错误.故选A、B. 6.8　解析：因为C1（0，12），R1＝3，C2（5，0），R2＝2， 所以｜C1C2｜＝＝13＞5＝R1＋R2， 所以圆C1与圆C2外离，所以｜PQ｜min＝｜C1C2｜－（R1＋R2）＝8. 7.解：（1）设圆C1的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 由题意得方程组解得 所以圆C1的标准方程为x2＋（y－1）2＝5. （2）由（1）得圆C1的一般方程为x2＋y2－2y－4＝0， 将两圆的方程作差得两圆的公共弦所在的直线方程， 即（x2＋y2－4x＋2y）－（x2＋y2－2y－4）＝0，化简得x－y－1＝0， 故C1（0，1）到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝， 所以所求公共弦长为2＝2. （3）设所求的圆的方程为x2＋y2－2y－4＋λ（x2＋y2－4x＋2y）＝0， 整理得到（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2－4λx＋（2λ－2）y－4＝0， 该圆圆心为. 因为该圆圆心在直线2x＋4y＝1上，故2×＋4×＝1，解得λ＝3. 故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. 8.B　由题意可得，OA1＝OA2＝5 m，圆拱的跨度AB＝24 m，拱高OP＝8 m，所以OB＝OA＝12 m. 如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 设圆心C（0，a），半径为r，所以圆C：x2＋（y－a）2＝r2， P（0，8），B（12，0），B1（－5，y1）， 所以解得 所以圆C：x2＋（y＋5）2＝169. 将x＝－5代入，因为y1＞0，解得y1＝7， 所以A1B1＝7 m. 9.8　解析：如图，设平面直角坐标系的原点O为台风中心，x轴正半轴上存在岛屿A（120，0）， 且台风中心在第一象限沿着直线y＝x运动， 以A为圆心，以100为半径的圆与直线y＝x交于B，C两点， 因为点A到直线x－y＝0的距离d＝＝60， 则｜BC｜＝2＝160， 则岛屿A所在地受到影响的持续时间为＝8 h. [综合素养——全提升] 1.B　圆O1：x2＋y2－2y＋1－a2＝0（a∈R）的圆心为O1（0，1），半径为r1＝｜a｜； 圆O2：x2＋y2＝16的圆心为O2（0，0），半径为r2＝4. 因为圆O1：x2＋y2－2y＋1－a2＝0（a∈R）与圆O2：x2＋y2＝16有且仅有两条公切线， 所以圆O1与圆O2相交， 所以｜r2－r1｜＜｜O1O2｜＜r2＋r1，即｜4－｜a｜｜＜1＜4＋｜a｜， 所以－1＜4－｜a｜＜1，即3＜｜a｜＜5，解得－5＜a＜－3或3＜a＜5. 所以实数a的取值范围为（－5，－3）∪（3，5）. 2.B　圆C1：（x－1）2＋y2＝1的圆心为C1（1，0），半径r1＝1， 则y轴为C1的切线，切点为O（0，0）， 圆C2：x2＋y2－4x－4y＋4＝0的圆心C2（2，2），半径r2＝2， 则y轴为C2的切线，切点为A（0，2）， 如图，｜C1C2｜＝＝，r1＋r2＝3，r2－r1＝1， 则r2－r1＜｜C1C2｜＜r1＋r2，故两圆相交，则y轴为圆C1与C2的一条公切线， 公切线的长度为｜OA｜＝2. 3.C　圆x2＋y2＝3的圆心为O1（0，0），半径r1＝， 圆x2＋y2－2x－2y－m＝0⇔（x－1）2＋（y－1）2＝m＋2（m＞－2），圆心为O2（1，1），半径r2＝. 由题意可知两圆相交，且｜O1O2｜＝＝，所以｜－｜＜＜＋. 两圆方程作差可得2x＋2y＋m－3＝0，即为公共弦所在直线的方程. 令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝， 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为××＝2， 解得m＝－1或m＝7，经检验m＝－1或m＝7满足条件.故选C. 4.ABC　由题意有C1（a，0），R1＝2，C2（0，a），R2＝， 所以｜C1C2｜＝＝a，R1＋R2＝3，R1－R2＝， 当a＝3时，｜C1C2｜＝3＝R1＋R2，所以C1，C2外切，故A正确； 当a＝2时，｜C1C2｜＝2，所以R1－R2＜｜C1C2｜＜R1＋R2，所以C1，C2相交，故B正确； 当a＝1时，｜C1C2｜＝＝R1－R2，所以C1，C2内切，故C正确； 当｜C1C2｜＝a＞R1＋R2＝3，即a＞3时，C1，C2外离，当｜C1C2｜＝a＜R1－R2＝，即0＜a＜1时，C1，C2内含，故D错误. 5.2　解析：设P（x，y），则（x－1）2＋（y＋1）2＝16. 因为PA⊥PB，所以点P在以AB为直径的圆上，圆心为（－2，3），半径为＝，即（x＋2）2＋（y－3）2＝2. 因为｜4－｜＜＝5＜4＋， 所以圆（x－1）2＋（y＋1）2＝16与圆（x＋2）2＋（y－3）2＝2相交，所以点P的个数为2. 6.x－y＋＝0（或x＋y－＝0，x－7y－5＝0，7x＋y－5＝0，答案不唯一）　解析：圆x2＋y2＝1的圆心为O1（0，0），r1＝1， 圆＋＝4的圆心为O2（2，），r2＝2， 圆心距｜O1O2｜＝＝＞1＋2＝r1＋r2， 两圆外离，因此存在四条公切线. 易知公切线的斜率均存在，设所求直线的方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0， 依题意得 解得或或或 故公切线方程为x－y＋＝0，x＋y－＝0，x－7y－5＝0或7x＋y－5＝0. 7.解：（1）易知直线l斜率存在，设l的方程为kx－y＋4k＝0. 因为l截圆M所得的弦长为2，所以M（－1，1）到l的距离为1， 所以＝1，解得k＝或k＝0， 所以l的方程为y＝0或3x－4y＋12＝0. （2）因为圆N经过点（0，2）和（0，6），所以设N（t，4），又圆M过点（0，2），所以圆N与圆M外切于点（0，2）， 所以M（－1，1），N（t，4），与点（0，2）共线，则＝，得t＝2，N（2，4）， 则圆N半径为2，圆N方程为（x－2）2＋（y－4）2＝8. 又AP，AQ与圆N相切，所以A，P，Q，N四点在以AN为直径的圆E上， 圆E的方程为（x＋4）（x－2）＋y（y－4）＝0，即x2＋y2＋2x－4y－8＝0， 直线PQ为圆E与圆N的公共点所在的直线，则有 两式相减得直线PQ的方程为3x＋2y－10＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2　圆与圆的位置关系 　 圆与圆的位置关系判断 1.已知圆C1：（x－1）2＋y2＝1，圆C2：（x＋2）2＋（y－1）2＝4，则圆C1与C2的位置关系是（　　） A.外切 B.内切 C.外离 D.相交 2.已知圆C1：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，圆C2：x2＋y2＋2x＋4y－20＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是（　　） A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 3.圆C1：（x＋1）2＋（y－2）2＝36与圆C2：（x－2）2＋（y＋2）2＝1的位置关系是（　　） A.内切 B.外切 C.相交 D.外离 两圆位置关系的应用 4.若圆M：（x－2）2＋y2＝4与圆N：x2＋y2＋2ax＋a2－9＝0有三条公切线，则a的取值范围为（　　） A.{－7，3} B.{－3，7} C.（－3，7） D.（－7，3） 5.（多选）（2026·浙江宁波期中）已知圆Q1：（x－1）2＋y2＝1和圆Q2：（x＋1）2＋（y－2）2＝5的交点为A，B，则（　　） A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B.线段AB的中垂线方程为x＋y－1＝0 C.公共弦AB的长为2 D.P为圆Q1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 6.已知P，Q两点分别在圆C1：x2＋（y－12）2＝9和圆C2：x2＋y2－10x＋21＝0上，则｜PQ｜的最小值为　　　　　. 7.[教材习题变式]已知圆C1过点（－1，3），（1，－1），且圆心在直线y＝x＋1上，圆C2：x2＋y2－4x＋2y＝0. （1）求圆C1的标准方程； （2）求圆C1与圆C2的公共弦长； （3）求过两圆的交点且圆心在直线2x＋4y＝1上的圆的方程. 与圆有关的实际应用 8.某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度AB＝24 m，拱高OP＝8 m.为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱A1B1，A2B2（将支柱A1B1，A2B2视为两条线段），且OA1＝OA2＝5 m，则支柱A1B1的高度为（　　） A.8 m B.7 m C.7.5 m D.6.5 m 9.已知某岛屿A的正西方向120 km处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为20 km/h.距台风中心100 km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿A所在地受到影响的持续时间为　　　 h. 　 1.（2026·湖北武汉期中）已知圆O1：x2＋y2－2y＋1－a2＝0（a∈R）与圆O2：x2＋y2＝16有且仅有两条公切线，则实数a的取值范围为（　　） A.（－5，－3） B.（－5，－3）∪（3，5） C.[－5，－3）∪（3，5] D.（3，5） 2.（2026·江苏常州期中）已知圆C1：（x－1）2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，则圆C1与C2公切线的长度为（　　） A.4 B.2 C.1 D.2 3.圆x2＋y2＝3与圆x2＋y2－2x－2y－m＝0的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则m的值为（　　） A.－1 B.3 C.7或－1 D.－1或3 4.（多选）已知两圆C1：（x－a）2＋y2＝8和C2：x2＋（y－a）2＝2，其中a＞0，则下列结论正确的是（　　） A.当a＝3时，C1，C2外切 B.当a＝2时，C1，C2相交 C.当a＝1时，C1，C2内切 D.不存在实数a使得C1，C2相离 5.已知点A（－1，2），B（－3，4），点P在圆C：（x－1）2＋（y＋1）2＝16上，且满足PA⊥PB，则这样的点P的个数为　　　　　. 6.（2026·浙江温州期中）写出与圆x2＋y2＝1和＋＝4都相切的一条直线的方程：　　　　　　. 7.（2026·江苏无锡六校联考）已知圆M：（x＋1）2＋（y－1）2＝2，点A（－4，0）. （1）过A的直线l截M所得的弦长为2，求l的方程； （2）经过点（0，2）和（0，6）的圆N与M外切，过A作N的两条切线，切点分别为P，Q，求直线PQ的方程. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $