2.5.1 直线与圆的位置关系 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 2.5.1　直线与圆的位置关系

 选择性必修第一册　第二章　直线和圆的方程

[学习目标]

1．能联立直线与圆的方程，用消元后所得一元二次方程的判别式判断直线与圆的位置关系，并说出公共点个数。

2．会用圆心到直线的距离与半径比较大小判断位置关系，掌握弦长公式，会求圆的切线方程与切线长。

3．能处理含参数的位置关系问题，会用圆的几何性质解决与圆有关的最值问题和简单的实际问题。

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 1．直线与圆的位置关系及其代数判断

初中按公共点的个数，把直线与圆的位置关系分为相交、相切、相离三类。在直角坐标系中，直线与圆的方程都是二元方程，它们的公共点坐标就是由这两个方程组成的方程组的解。取圆 与三条直线 ：，：，：，把直线方程代入圆的方程并整理，结果如下表。

表中 恰好取到正、零、负三种情形，公共点个数相应为 2、1、0，图 1 给出这三条直线与该圆的位置关系。

图 1: 圆 与 相交、与 相切于点 、与 相离

(1) 把直线方程与圆的方程联立，消去一个元后得到，它的二次项系数恒为正数。设其判别式为 ： 时直线与圆， 时直线与圆， 时直线与圆。

(2) 直线与圆的公共点个数等于。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 联立所得一元二次方程有两个相等的实数根，则直线与圆有两个公共点。（　　）

(2) 直线与圆没有公共点时，联立消元所得的方程不是二次方程。（　　）

 2．用圆心到直线的距离判断位置关系

圆上每一个点到圆心的距离都等于半径 ；直线上各点到圆心的距离中，垂线段最短，把它记作 。 与 谁大，直接决定直线上是否存在到圆心距离等于 的点。例如圆 与直线 ，圆心 (1,−2) 到直线的距离

所以两者相交，图 2 中的垂线段 就是这个距离 ，这里不必解方程组。

图 2: 圆心 到直线 的垂线段 ，

(1) 设圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ，则 时直线与圆， 时直线与圆， 时直线与圆。

(2) 圆 的圆心为 ，它到直线 （、 不同时为 0）的距离 。

 提醒： 几何法只算一个距离，通常比联立求 省运算。 是圆心到直线的距离，分母必须带根号；把 的分母写成 3+4 而不是 ，是最常见的错误。

判断

(1) 直线 与圆 相切。（　　）

(2) 直线与圆相交时，这条直线上的每一点都在圆的内部。（　　）

 3．直线与圆相交时的弦长

图 3 中，圆 与直线 相交于 与 。用两点间距离公式可直接算出 。另一条路来自初中的垂径定理：圆心 到直线的垂足为 ，，垂足平分弦，于是半弦 ，，不必解出 、 的坐标。

图 3: 为弦心距，半弦 ，弦 ，三者满足

(1) 圆心到直线的距离 叫做。设直线与圆相交所得弦的两端为 、，圆半径为 ，则由勾股定理，半弦长等于 ，弦长 。

(2) 在由半弦、弦心距、半径组成的直角三角形中，是斜边，所以恒有 ，且 随 增大而。

 提醒： 弦长公式只在 时有意义。 是圆心到直线的距离，不是圆上一点到直线的距离；把半径与弦心距的位置写反，得到的根式会出现负数。

判断

(1) 弦长公式 中的 是圆上任意一点到直线的距离。（　　）

(2) 过圆 内一点 的所有弦中，最短弦的长为 。（　　）

 4．圆的切线方程与切线长

图 4 中，圆 的半径为 2，点 到圆心 的距离为 4>2，点 在圆外。初中已经学过：圆的切线垂直于经过切点的半径。设切点为 ，则 ，，由勾股定理 ；解方程组可得到两个切点 与 ，对应两条切线 和 ，圆心到它们的距离都等于 2。