2.5.1 直线与圆的位置关系讲义【知识清单+14大题型】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系 第一部分：知识清单 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 知识点二：直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点三：直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 第二部分：典型例题汇总 典例一 判断直线与圆的位置关系 典例二 由直线与圆的位置关系求参数 典例三 直线与圆的位置关系求距离的最值 典例四 过圆上一点的圆的切线方程 典例五 过圆外一点的圆的切线方程 典例六 已知切线求参数 典例七 切线长的问题 典例八 切点弦及其方程 典例九 圆的弦长与中点弦 典例十　已知圆的弦长求方程或参数 典例十一　过圆内定点的弦长最值(范围) 典例十二　直线与圆的实际应用 典例十三　圆内接三角形的面积 典例十四　圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 第三部分：典型例题 典例一 判断直线与圆的位置关系 1．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且相交弦长为 B．相交且相交弦长为 C．相切 D．相离 2．（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3．（2026高二·全国·专题练习）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 4．（2026·江苏·三模）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 典例二 由直线与圆的位置关系求参数 5．（2026高二·全国·专题练习）若直线与圆心为的圆相离，则该圆的半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2027高三·全国·专题练习）若直线和圆相切，则的最小值为_________． 7．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（26-27高三上·四川·开学考试）已知圆：，直线：，若与相切，则________． 典例三 直线与圆的位置关系求距离的最值 9．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26高二上·河北唐山·期中）已知直线与圆，则圆心到直线距离的最大值是______． 11．（25-26高二上·河北唐山·期中）（多选）直线分别与x轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的可能取值是（   ） A． B．2 C．4 D．8 12．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知，则的最小值为_____． 典例四 过圆上一点的圆的切线方程 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）过点作圆的切线，则切线的一般式方程为______． 14．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为__________. 15．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知点，. (1)求直线MN的一般式方程； (2)求以线段MN为直径的圆的标准方程； (3)求（2）中的圆在点处的切线方程. 16．（25-26高二上·广西北海·期中）已知在中，，，． (1)求的外接圆的标准方程； (2)过点作的外接圆的切线，求该切线方程． 典例五 过圆外一点的圆的切线方程 17．（2026·广东佛山·模拟预测）（多选）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 19．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，． (1)求的外接圆的方程； (2)一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 20．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知在平面直角坐标系中，，，平面内动点满足．记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明是什么曲线； (2)已知直线过点，若直线与曲线相切，求直线的方程． 典例六 已知切线求参数 21．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则___________． 23．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 24．（25-26高二上·浙江·期中）若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 典例七 切线长的问题 25．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．最大度数为 B．四边形面积的最小值为 C．直线过定点 D．的最小值为 27．（26-27高二上·全国·课后作业）已知点在圆上，点，，则点到直线的距离的最大值为__________；当最小时，的长度为__________． 28．（26-27高三上·四川成都·开学考试）若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B，则__________. 典例八 切点弦及其方程 29．（25-26高二上·浙江·期末）已知直线与圆交于两点． (1)求弦长的取值范围； (2)求面积的最大值，并求此时的值； (3)若圆在点处的两条切线交于点，求点的轨迹方程． 30．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·山东淄博·期中）过点引圆C：的切线 (1)求切线方程 (2)设两个切点为，求切点弦所在的直线方程及线段的长． 典例九 圆的弦长与中点弦 33．（26-27高三上·天津红桥·开学考试）直线：截圆：的弦长为__________． 34．（26-27高三上·重庆·开学考试）若直线将圆分成两段弧，则优弧长度与劣弧长度的比值为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 35．（25-26高二上·广东东莞·期中）（多选）已知直线和圆交于两点，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线垂直 C．若中点为，则 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 36．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线过点且与圆交于两点，若为线段的中点，为坐标原点，则的面积为________． 典例十　已知圆的弦长求方程或参数 37．（26-27高二上·安徽·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若直线 被圆截得的弦的长度为，求实数的值. 38．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，若圆与轴相切，且被轴截得的弦长为，则圆的半径为________． 39．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 40．（25-26高二下·广西河池·期末）（多选）下列选项正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 典例十一　过圆内定点的弦长最值(范围) 41．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（   ） A． B． C． D． 42．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 43．（2026高三·全国·专题练习）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（    ） A．16条 B．17条 C．32条 D．34条 44．（25-26高一下·北京·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为___________，当弦长最大时，直线方程为_____________. 典例十二　直线与圆的实际应用 45．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，轮船航向为北偏西，若轮船沿直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由． 46．（26-27高一上·黑龙江绥化·开学考试）游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（     ） A． B． C． D． 47．（2026高二·全国·专题练习）已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 48．（25-26高二上·广东广州·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期．某拱桥及其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与OP相距a m的支柱，则a=________．    典例十三　圆内接三角形的面积 49．（25-26高二上·四川广元·期末）已知圆内有一点．过点且倾斜角为的直线与圆交于两点． (1)当弦被点平分时，求直线的方程和的值； (2)若，求直线的方程． 50．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知圆经过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于、两点，求的面积． 51．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线和圆，为坐标原点. (1)直线与圆相切时，求的值； (2)当时，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，求的最小值； (3)直线与圆相交于两点，的面积为，求直线的方程. 52．（25-26高三上·河南商丘·阶段检测）已知以点为圆心的圆经过点和点，线段的垂直平分线交圆于点，，且 (1)求直线的方程 (2)求四边形的面积 (3)求圆的方程 典例十四　圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 53．（2027高三·全国·专题练习）已知点满足，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 54．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 55．（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 56．（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B．若是上一点，则的最大值为 C．若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D．若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 第四部分：课后检测 1．（2026·湖南永州·一模）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（   ） A． B． C．8 D．4 3．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 5．（25-26高二上·上海虹口·期中）直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·广东佛山·模拟预测）已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 7．（25-26高二上·湖南株洲·期末）一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 9．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（     ） A．若直线与圆相交，则点在圆的外部 B．直线被圆所截得的最短弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 10．（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）已知圆：，直线：（），则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为3 B．直线恒过定点 C．当时，直线截圆所得弦长为6 D．存在，使得直线与圆相离 11．（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为5 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相离 D．直线被圆截得的弦长最小值为 12．（2026·山西忻州·模拟预测）已知圆：，点，其中.过点作圆的两条切线，切点分别为，. 若，则__________. 13．（25-26高二下·广东广州·期中）直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 14．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 15．（25-26高二上·山东威海·阶段检测）已知直线恒过定点P，圆C经过点和点P，且圆心在直线上． (1)求定点P的坐标与圆C的方程； (2)过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程． (3)过点引圆的切线，求切线方程． 16．（26-27高二上·重庆沙坪坝·开学考试）已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系 第一部分：知识清单 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 知识点二：直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点三：直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 第二部分：典型例题汇总 典例一 判断直线与圆的位置关系 典例二 由直线与圆的位置关系求参数 典例三 直线与圆的位置关系求距离的最值 典例四 过圆上一点的圆的切线方程 典例五 过圆外一点的圆的切线方程 典例六 已知切线求参数 典例七 切线长的问题 典例八 切点弦及其方程 典例九 圆的弦长与中点弦 典例十　已知圆的弦长求方程或参数 典例十一　过圆内定点的弦长最值(范围) 典例十二　直线与圆的实际应用 典例十三　圆内接三角形的面积 典例十四　圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 第三部分：典型例题 典例一 判断直线与圆的位置关系 1．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且相交弦长为 B．相交且相交弦长为 C．相切 D．相离 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式计算斜率，再由直线与圆的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，直线绕原点逆时针旋转后所得直线的倾斜角为，则，， 所以， 所以，即， 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为：， 所以圆与直线相交， 相交弦长为：. 2．（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系判断即可． 【详解】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 3．（2026高二·全国·专题练习）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 4．（2026·江苏·三模）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】先根据点与圆的位置关系得出，再根据点到直线距离公式判断出直线与圆的位置关系． 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为， 因为点在圆外， 所以，则， 到直线的距离， 所以直线与圆相交． 典例二 由直线与圆的位置关系求参数 5．（2026高二·全国·专题练习）若直线与圆心为的圆相离，则该圆的半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相离， 所以该圆的半径的取值范围是. 6．（2027高三·全国·专题练习）若直线和圆相切，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和圆相切，得，即， 则，因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 7．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由圆的方程得：圆心坐标为，半径， 点到直线：的距离为. 分析充分性： 若， 则，则直线与圆相切，充分性成立. 分析必要性： 若直线与圆相切，则， 即， 解得或，必要性不成立. 综上，”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 8．（26-27高三上·四川·开学考试）已知圆：，直线：，若与相切，则________． 【答案】 【分析】先从圆方程读出圆心与半径，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径这一核心关系，套用点到直线距离公式列式，化简求解参数． 【详解】圆：的圆心，半径， 圆心到直线：的距离， 因为直线与圆相切，所以， 即，解得． 典例三 直线与圆的位置关系求距离的最值 9．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】确定线段的中点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，结合圆的几何性质即可求得答案. 【详解】设，由题意可得：， 设的中点坐标为，则，，所以，即， 即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到直线的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最大值为， 故选：C 10．（25-26高二上·河北唐山·期中）已知直线与圆，则圆心到直线距离的最大值是______． 【答案】 【分析】根据条件得直线过定点，利用点与圆的位置有关系的判断方法，可得点在圆内，进而可得当时，圆心到直线距离最大，即可求解. 【详解】由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 又由，得到，所以圆心为，半径为， 又，所以点在圆内， 当时，圆心到直线距离最大，最大值为， 故答案为：. 11．（25-26高二上·河北唐山·期中）（多选）直线分别与x轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的可能取值是（   ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】BC 【分析】先求出及点P所在圆的圆心和半径，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再利用直线与圆的位置关系求出点P到直线距离的范围，最后利用三角形面积公式求出面积的取值范围，进而判断选项正误． 【详解】直线分别与x轴，轴交于A，B两点，即， ， 点P在圆上，圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 点到直线的距离，即， ， ，故BC正确． 故选：BC． 12．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】将所求式子看成圆上的点到直线距离的5倍，进而转化为圆到直线的距离可得. 【详解】由，表示圆上的点到直线的距离的5倍. 圆的圆心，半径，如图： 由圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，且圆上点到直线距离的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：3. 典例四 过圆上一点的圆的切线方程 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）过点作圆的切线，则切线的一般式方程为______． 【答案】 【分析】求出圆经过点的直径所在直线的斜率即可得切线斜率，进而求出切线方程. 【详解】因为，所以点在圆上，而圆心， 直线的斜率，因此圆C在点处切线斜率为， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 14．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为__________. 【答案】 【分析】根据圆的方程有圆心并求得，应用点斜式写出切线方程. 【详解】由圆，则圆心为，故，则点P处的切线斜率为， 所以圆在点P处的切线方程为，可得. 故答案为： 15．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知点，. (1)求直线MN的一般式方程； (2)求以线段MN为直径的圆的标准方程； (3)求（2）中的圆在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两点式求出直线斜率，然后利用点斜式方程求解即可； （2）由中点坐标公式求出圆心坐标，再求出半径，即可得到圆的方程； （3）先求得切线的斜率，代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】（1）直线MN的斜率为， 则直线MN的方程为，即. （2）由题意可知圆心C为线段MN的中点，即， 半径， 故所求圆的标准方程为. （3）直线CP的斜率为，则所求切线的斜率为， 故所求的切线方程为，即. 16．（25-26高二上·广西北海·期中）已知在中，，，． (1)求的外接圆的标准方程； (2)过点作的外接圆的切线，求该切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将三顶点代入圆的标准方程，解出即可； （2）由两直线垂直得到斜率关系，再由点斜式得到直线方程即可； 【详解】（1）设的外接圆的标准方程为， 则 解得 故的外接圆的标准方程为． （2）由（1）得外接圆的圆心为，半径为5． 因为，所以切线的斜率为， 故所求切线方程为，即． 典例五 过圆外一点的圆的切线方程 17．（2026·广东佛山·模拟预测）（多选）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先判断点在圆外，分斜率不存在、斜率存在两种情况设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径求解切线. 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时：直线，过，圆心距，切线：； 当斜率存在时，设，即. 由圆心到切线距离等于半径：，两边平方： ，整理得. 代入得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 18．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【答案】 【详解】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A， 则切线长. 19．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，． (1)求的外接圆的方程； (2)一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】（1）根据圆的一般方程，利用待定系数法求解； （2）由对称性确定点关于轴的对称点，进而设反射光线所在的直线方程为，由位置关系列出等式求解即可； 【详解】（1）设圆M的方程为，将，，三点代入得： ，所以圆的方程为， 标准方程为. （2）由光的反射性质知，经轴反射后的光线所在直线过点， 点关于轴的对称点， 由（1）知圆的标准方程为：. 当斜率不存在时，直线方程为与圆不相切， 设反射光线所在的直线方程为，即， 于是，解得， 所以反射光线所在的直线方程为或． 20．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知在平面直角坐标系中，，，平面内动点满足．记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明是什么曲线； (2)已知直线过点，若直线与曲线相切，求直线的方程． 【答案】(1)，是以原点为圆心，半径为 2 的圆. (2)或. 【分析】（1）设动点，由 利用距离公式列方程化简得到. （2）利用圆心到切线的距离等于半径，分直线的斜率存在和不存在两种情况求解即可. 【详解】（1）设动点，由 得：， 两边平方化简得到. 所以曲线的方程为，是以原点为圆心，半径为 2 的圆. （2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为 k， 则直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径，得到，解得， 所以直线的方程为，即. 当直线的斜率不存在时，直线方程为 ， 圆心到直线的距离为 2等于半径，故是切线， 综上所述，直线的方程为或. 典例六 已知切线求参数 21．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出圆的方程，根据相切的性质可求半径，进而可得答案. 【详解】设圆的方程为， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即， 所以. 故选：A 22．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则___________． 【答案】 【分析】求得反射光线的方程为，再利用直线与相切时，求解即可. 【详解】如图： 点关于轴的对称点为， 直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线， 则直线与圆相切， 且圆心为，半径为1， 可得，解得． 故答案为： 23．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由题曲线可化为，即表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分，根据直线和圆的位置关系，结合图形求得答案. 【详解】直线，即，过定点， 曲线，可化为，表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分， 画出直线和半圆的图形如下图所示， 设，则， 当直线和半圆相切时，则，解得或（舍去）， 所以要使得直线和曲线有两个交点，则. 故答案为：. 24．（25-26高二上·浙江·期中）若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由切点在直线上，圆心与切点的连线与切线垂直列式求解即可. 【详解】切点在直线上，所以，即， 圆心与切点连线的斜率为， 所以切线的斜率为， 又切线的斜率为，所以， 所以，解得， 所以. 故选：C. 典例七 切线长的问题 25．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由题意，四边形的面积为， 在中， 因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可， 此时，即， 所以，， 则四边形的面积的最小值为 26．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．最大度数为 B．四边形面积的最小值为 C．直线过定点 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用直线与圆的几何性质，将角度、面积、弦长问题转化为点到圆心的距离的最值问题，再结合切点弦方程，逐项进行判断即可求解. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相离，如图所示， 因为点在直线上动，当时，取得最小值，即的最小值为， 设，则， 在中，， 要使最大，即最大，则取得最小值，即， 所以，因为为锐角，所以， 所以，即最大度数为，故A选项正确； 根据题意，， 所以， 在中，由勾股定理可得， 所以当最小时，即取最小值，即取最小值， 所以，所以， 所以四边形的面积的最小值为， 故B选项错误； 设点，因为点在直线上动，所以，即， 圆展开为 根据切点弦方程公式，直线的方程为， 又，所以，即， 所以，解得，，即直线过定点，所以C选项正确； 根据直线与圆相切的性质，可得， 又，所以，垂足为，且为中点， 在中，利用等面积法可得， 所以， 所以， 当取得最小值时，取得最小值， 即时，，故D选项正确. 综上所述，选项ACD正确. 27．（26-27高二上·全国·课后作业）已知点在圆上，点，，则点到直线的距离的最大值为__________；当最小时，的长度为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，利用几何性质，结合点到直线距离公式求出最大值，再作出图形，确定角最小时直线的位置求解. 【详解】依题意，直线的直线方程为，即，圆的圆心，半径为4， 圆心到直线的距离为，因此点到直线的距离的最大值为； 如图：当最小时，直线与圆相切，又，，所以. 28．（26-27高三上·四川成都·开学考试）若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B，则__________. 【答案】 【分析】利用三角形相似进行求解. 【详解】圆半径为1，圆心为，圆半径为2，圆心为，画图如下： 由题意得：，， 因为，，所以，且相似比为：， 所以，则，，， 所以 典例八 切点弦及其方程 29．（25-26高二上·浙江·期末）已知直线与圆交于两点． (1)求弦长的取值范围； (2)求面积的最大值，并求此时的值； (3)若圆在点处的两条切线交于点，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)最大值，． (3)． 【分析】（1）求出直线所过定点坐标并确定该点与圆的位置关系，再求出圆心到直线距离的范围，利用弦长公式即可求出弦长范围. （2）利用余弦定理求出的范围，再结合三角形面积公式求出面积的最大值及. （3）求出切点弦所在直线方程，由该直线过定点即可求出轨迹方程. 【详解】（1）依题意，直线过定点， 圆的圆心，半径， 因为，所以点在圆内， 圆心到直线距离的取值范围为， 而， 所以弦长的取值范围为. （2）在中，由余弦定理得， 而，则，， 因此的面积，当且仅当时取等号， 而直线的斜率为，则直线的斜率为，即， 所以面积的最大值，此时. （3）设点，而点共圆，则以线段直径的圆方程为： ，即， 把以线段直径的圆方程与圆的方程相减得直线的方程， 又直线过定点，于是， 所以点的轨迹方程为. 30．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出以线段为直径的圆的方程，再与圆方程作差得到直线的方程为，再结合点所在直线方程得到直线所过定点，从而得到最小值. 【详解】设，则以线段为直径的圆的方程是， 与圆的方程相减，得，即直线的方程为， 又点在直线上，所以，则，代入直线的方程， 得，则，解得， 所以直线过定点，所以， 数形结合可知的最小值为． 故选：B.    31．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，利用圆外切线的几何性质得出四点共圆，求出辅助圆的方程，联立两圆方程求出切点弦方程，再通过联立所在直线方程求出定点． 【详解】 圆的标准形式为， 圆心，半径， 满足，即，点在直线上， 设点，过点作圆的两条切线，切点分别为，， 在圆外， ， 四点共圆，圆的直径为，方程为， 圆， 联立两圆方程得出圆的切点弦方程， 展开整理得， 代入得， ，解得，即直线恒过． 故选：D． 32．（25-26高二上·山东淄博·期中）过点引圆C：的切线 (1)求切线方程 (2)设两个切点为，求切点弦所在的直线方程及线段的长． 【答案】(1)与 (2)， 【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合点到直线距离公式求解； （2）先求出切点坐标，再利用圆的切线的基本性质求出所在直线斜率，进而求出直线方程，最后求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求出． 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 过的直线与圆相切，则圆心到直线的距离为1， 若直线斜率不存在，则过的直线方程为，则圆心到直线的距离为， 符合题意，故是圆的切线方程； 若直线斜率存在，设为，则直线方程为，圆心到直线的距离为， 即，解得，则直线方程为， 切线方程为与． （2） 联立切线与圆的方程，解得，故点， 点位于圆外，连接交于点， ， ，， ，为等腰三角形，为中点， ， ，解得， 直线的方程为，一般方程为：， 圆心到直线的距离为， ． 典例九 圆的弦长与中点弦 33．（26-27高三上·天津红桥·开学考试）直线：截圆：的弦长为__________． 【答案】 【详解】由题知圆:的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，. 弦长为. 34．（26-27高三上·重庆·开学考试）若直线将圆分成两段弧，则优弧长度与劣弧长度的比值为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】B 【详解】由圆，得圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 记直线与圆相交两点为，则弦长， 因为，所以， 所以劣弧所对圆心角为，优弧所对圆心角为， 由于弧长与对应圆心角成正比， 所以优弧长度与劣弧长度的比值为. 35．（25-26高二上·广东东莞·期中）（多选）已知直线和圆交于两点，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线垂直 C．若中点为，则 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】ABD 【分析】选项A，将直线整理成，令，解得的值，从而得到直线恒过的定点；选项B，利用与直线垂直求解；选项C， 由中点为得到，利用求解；选项D，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最小，求出，则代入数值得解. 【详解】选项A，，，则有，解得， 故直线恒过定点，故选项A正确； 选项B，与直线垂直， ，，存在使得直线与直线垂直， 故选项B正确； 选项C，圆的圆心为，半径为， 中点为，， ，，，，故选项C错误； 选项D，直线恒过定点，当直线与垂直时， 直线被圆截得的弦长最小， ， ， 直线被圆截得的弦长的最小值为，故选项D正确. 故选：ABD. 36．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线过点且与圆交于两点，若为线段的中点，为坐标原点，则的面积为________． 【答案】6 【分析】由题意可求的长，即直线的方程，进而求得到直线的距离，可求面积． 【详解】由圆，可得圆心，半径， 为线段的中点，，又， ，又，故， 所以直线的方程为，即， 到直线的距离， 的面积为． 故答案为：6. 典例十　已知圆的弦长求方程或参数 37．（26-27高二上·安徽·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若直线 被圆截得的弦的长度为，求实数的值. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）通过直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径求解； （2）使用直线与圆相交弦的几何法求解. 【详解】（1）由题意知圆心到直线的距离为：， 解得或（舍），所以圆的标准方程为：. （2）由（1）知圆心到直线的距离为：， 则直线被圆截得的弦长为：， 解得：或. 38．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，若圆与轴相切，且被轴截得的弦长为，则圆的半径为________． 【答案】4 【分析】设出圆心的坐标，再由弦长公式计算可得半径为4. 【详解】由圆心在直线上可设，且圆的半径设为； 又圆与轴相切，所以， 则被轴截得的弦长为，解得, 所以圆的半径为. 39．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【答案】(1) 定点的坐标为； (2) 弦中点的轨迹方程为； (3) 弦长度的最小值为，对应的。 【分析】（1）分离参数求直线恒过定点； （2）利用垂径定理的垂直关系推导中点轨迹； （3）结合弦长公式与距离最值求最短弦长及对应参数. 【详解】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得， 因为圆内含于圆C,故圆上所有点都符合题意， 所以弦中点的轨迹方程为; （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 40．（25-26高二下·广西河池·期末）（多选）下列选项正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 【答案】BCD 【分析】选项A，分离参数联立方程求定点判断对错； 选项B，化斜截式求斜率再算出倾斜角； 选项C求圆心到直线距离，结合半径分析平行线与圆交点个数； 选项D利用弦长公式求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式解方程得值． 【详解】对于A，由，， 联立，解得，， 所以定点为，不是，A错误； 对于B，由，得， 斜率，倾斜角，，得，B正确； 对于C，圆，圆心，半径， 圆心到直线距离， 到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点： 一条在圆心外侧，距圆心，无交点； 一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点； 因此圆上只有2个点满足条件，C正确； 对于D，圆，圆心，半径，弦长， 弦长公式：，即， 圆心到直线距离， 解得或， D正确． 典例十一　过圆内定点的弦长最值(范围) 41．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，分析可知当时，即当为的中点时，圆心到直线的距离取最大值，利用勾股定理求出的值，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由平面内两点间的距离公式可得， 设点到直线的距离为，则，当且仅当时，即当为的中点时，等号成立， 故的最大值为，此时取最小值，且最小值为， 此时的面积为. 42．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点，当时， 圆心到直线的距离取得最大值为，由直线被圆截得的弦长公式求解最短弦的长度. 【详解】由，令，得， 所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径， 由，可得点在圆内部，即直线与圆始终相交， 因直线被圆截得的弦长公式为，为圆心到直线的距离， 当取最大值时，弦长最短，则当时， ， 此时最短弦的长度为. 43．（2026高三·全国·专题练习）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（    ） A．16条 B．17条 C．32条 D．34条 【答案】C 【分析】点在圆内，可求得最短弦长和最长弦长，即弦长的取值范围，再利用圆的对称性即可. 【详解】由可得， 点在圆内，且点A与圆心间的距离， 则过点A的最短弦长为，最长弦长为， 由此可得过点A的弦长的范围为，在间的整数共有15个，由 圆的对称性可知过点A弦长在间的弦长为整数的直线共有条， 则弦长在间且为整数的直线共有条． 44．（25-26高一下·北京·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为___________，当弦长最大时，直线方程为_____________. 【答案】 【分析】求出圆的圆心、半径及直线所过定点，再利用圆的性质求解. 【详解】直线方程为，直线过定点， 圆的圆心，半径，由，得点在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短，则最短弦长； 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，由，得， 直线的方程为，即. 典例十二　直线与圆的实际应用 45．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，轮船航向为北偏西，若轮船沿直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由． 【答案】没有，理由如下： 以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 由题意可知，轮船航线所在直线过点， 轮船航线所在直线的倾斜角为，斜率为， 所以，轮船航线所在直线方程为，即． 原点到轮船航线所在直线的距离为， 所以，轮船没有触礁风险． 【详解】略 46．（26-27高一上·黑龙江绥化·开学考试）游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，且点为的中点，， ，， 设，则， ， ， 解得， 大摆锤的长度为， 47．（2026高二·全国·专题练习）已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）令，可知其几何意义表示直线在轴上的截距，由点到直线距离计算可得结果； （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方，又圆心到原点的距离为2，得出圆上的点到原点距离的最大值和最小值，再平方即可. 【详解】（1）原方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即，则当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方． 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2， 故，. 48．（25-26高二上·广东广州·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期．某拱桥及其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与OP相距a m的支柱，则a=________．    【答案】15 【分析】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设，则 ，在中，根据勾股定理可得，解得 中，， 根据勾股定理可得：，解得 故答案为： 典例十三　圆内接三角形的面积 49．（25-26高二上·四川广元·期末）已知圆内有一点．过点且倾斜角为的直线与圆交于两点． (1)当弦被点平分时，求直线的方程和的值； (2)若，求直线的方程． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】（1）求出圆心和半径，由垂径定理得直线的斜率为1，故，从而得到，并求出直线的方程； （2）分和两种情况，由垂径定理可得弦长，结合三角形面积得到方程，求出答案. 【详解】（1），故圆心为，半径为4， 故， 当弦被点平分时，由垂径定理得直线的斜率为1，故， 所以，所以直线的方程为，即； （2）当时，中， 令得，，解得，故， 又到直线的距离为2，故，满足要求； 当时，设直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 又，，故， 解得或， 当时，，解得，直线方程为； 当时，，变形得到，方程无解， 综上，直线方程为或. 50．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知圆经过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于、两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：将线段的中垂线方程与直线的方程联立，求出圆心的坐标，可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； 解法二：设圆心为，根据，结合平面内两点间的距离公式可得出关于的方程，解出的值，可得出圆心的坐标，可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）解法一：因为、，所以线段的中点坐标为，且轴， 所以的垂直平分线为． 由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上也在直线上， 联立，解得，所以圆心的坐标为． 圆的半径为， 所以，圆的标准方程为． 解法二：设圆心的坐标为， 因为圆经过、两点，所以， 可得，解得，故圆心为， 所以， 则圆的方程为． （2）圆心到直线的距离为， 故，所以． 故的面积为. 51．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线和圆，为坐标原点. (1)直线与圆相切时，求的值； (2)当时，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，求的最小值； (3)直线与圆相交于两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)； (3)，. 【分析】（1）由题意结合点到直线距离公式建立等式计算即可求解； （2）由题意可得，当取最小值时，也最小，结合点到直线距离公式计算即可求解； （3）由的面积为可得或，分两种情况结合点到直线距离公式计算即可求解. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以，解得； （2）由题意可知，， 所以， 当取最小值时，也最小， 当时，直线， 此时，所以； （3）因为， 所以，即或， 当时，为等边三角形， 此时圆心到直线的距离为， 则，解得， 此时直线； 当时，此时为等腰三角形，且， 此时圆心到直线的距离为， 则，解得， 此时直线； 综上：直线的方程为，. 52．（25-26高三上·河南商丘·阶段检测）已知以点为圆心的圆经过点和点，线段的垂直平分线交圆于点，，且 (1)求直线的方程 (2)求四边形的面积 (3)求圆的方程 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由的斜率得的斜率，结合中点，用点斜式求直线的方程； （2）利用垂直对角线的四边形面积公式，结合线段长度计算面积； （3）通过圆心在上设坐标，结合直径与半径的关系、点与圆心的距离公式，求解圆心坐标并得到圆的方程. 【详解】（1），故CD的斜率为. 的中点为，由点斜式得，整理得. （2）. 因，四边形的面积为. （3）设圆心（因在上），是圆的直径，故半径. 由，得， 平方后整理得，解得或. 对应圆心为或， 故圆的方程为或. 典例十四　圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 53．（2027高三·全国·专题练习）已知点满足，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)40；10. (2)． 【分析】（1）设，根据直线与圆有公共点结合点到直线的距离公式计算求解； （2）解法一：设，代入利用三角恒等变换化简计算求解即可；解法二：根据的几何意义，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】（1）表示以为圆心，为半径的圆， 设，直线与圆有公共点， ． ， 即的最大值为40，最小值为10. （2）解法一：设， 则， ∴其最小值为． 解法二：设是圆上的点，圆外一点， 则的几何意义是，而最小值是，即． 54．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造与原直线距离为6的平行线，舍去无交点的那条；再结合直线与整圆相交条件，再利用韦达定理，保证两个交点横坐标都大于等于0，取交集得到参数范围． 【详解】曲线表示半圆，圆心为，半径， 点到直线的距离公式为， 曲线上存在两点到直线的距离为6，即， 故，即所在直线为：， ， 其中到圆心距离为，故与圆无交点， 故与右半圆有两个交点，到圆心距离， 解得， 联立到圆的方程得：， 整理得， 由韦达定理得 曲线是右半圆，即，则， 解得，（1） 且或，（2） 故， 综上可得． 55．（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： 56．（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B．若是上一点，则的最大值为 C．若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D．若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A,圆由一般方程化为标准方程即可判断；对于B，可以利用圆的参数方程判断；对于C，直线即，恒过定点，恰在上，所以，两点可以无限接近，C错误；对于D，若上到直线（）的距离为1的点有且仅有2个，等价于圆心到直线的距离小于2，通过点到直线的距离公式即可判断. 【详解】对于A,将配方得标准方程，显然圆心到轴距离为1，一条切线为，A正确； 对于B，令，，则，其中，所以的最大值为16，B正确； 对于C，直线，亦即，恒过定点，恰在上，所以，两点可以无限接近，但不能重合，所以没有最小值，C错误； 对于D，若上到直线（）的距离为1的点有且仅有2个，等价于圆心到直线的距离小于2，即，解得，所以的取值范围是，D正确. 第四部分：课后检测 1．（2026·湖南永州·一模）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合弦长的一半、距离、圆半径满足勾股定理列方程求解正数即可. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径， 则圆心到直线 的距离为， 因此有 ，代入得，化简得 ， 即 ，解得，结合的条件，得. 2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【详解】设，， 已知，故， 整理得， 故的轨迹是圆心为，半径为的圆， ， ， 是到轴的距离，圆上， 故． 3．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用已知条件结合点到直线距离列式计算求解. 【详解】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 4．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心，半径， 由题意可得， 整理得， 解得. 5．（25-26高二上·上海虹口·期中）直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 6．（2026·广东佛山·模拟预测）已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 由为等边三角形，得点到直线距离为， 因此，解得，所以的值为. 7．（25-26高二上·湖南株洲·期末）一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】求出点的对称点，数形结合得到所求最短路径为到圆上一点的最小值，求出答案. 【详解】关于的对称点设为， 则，解得，故， 光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径 为到圆上一点的最小值， 的圆心为，半径， 连接，则即为最小值， 即. 8．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 9．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（     ） A．若直线与圆相交，则点在圆的外部 B．直线被圆所截得的最短弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 【答案】ABD 【分析】对于A，直线与圆相交，说明圆心到直线距离小于半径；对于B，化简直线方程可知该直线过定点，圆心到该定点的距离即圆心到该动直线距离的最小值，再利用勾股定理，可求弦长最小值；对于C，圆上有四点到直线距离为1，说明平行于该直线且距离为1的两直线均与圆相交；对于D，过某点作圆的切线只有一条，说明该点在圆上. 【详解】对于A，直线与圆相交， 所以，即，因此点在圆的外部，故A正确； 对于B，直线方程变形得，，可知该直线必过定点， 因此圆心到直线的距离的最小值为， 此时该直线被圆所截的弦最短，弦长为，故B正确； 对于C，到直线距离为且平行的直线分别为和， 圆心到直线的距离为，到的距离为， 该圆要与直线距离为的点有四个，等价于与和分别有两个交点， 所以半径需满足，，即，故C错误； 对于D，过点作圆的切线只有一条，则点在圆上，代入可得圆， 过点的半径所在直线的斜率为，故切线的斜率为， 则切线方程为，即，故D正确. 10．（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）已知圆：，直线：（），则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为3 B．直线恒过定点 C．当时，直线截圆所得弦长为6 D．存在，使得直线与圆相离 【答案】ABC 【详解】对于A，变形为， 即圆心坐标为，半径为3，故A正确； 对于B，当时，，所以直线恒过定点，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，圆心在直线上， 故直线截圆所得弦长为直径6，故C正确； 对于D，因为直线恒过定点，此点与圆心的距离为， ，所以定点在圆内，过圆内一点的任意直线一定和圆相交， 所以直线不可能与圆相离，故D错误. 11．（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为5 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相离 D．直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A：圆C方程配方整理得. 圆心为，半径，故A正确； 对于B：直线方程变形为. 令且，解得，故直线恒过定点，故B正确； 对于C：定点到圆心的距离为， 定点在圆内部，故对任意，直线与圆恒相交，故C错误； 对于D：当直线时，直线被圆截得的弦长最短，最小弦长为.故D正确． 12．（2026·山西忻州·模拟预测）已知圆：，点，其中.过点作圆的两条切线，切点分别为，. 若，则__________. 【答案】2 【分析】由圆外一点的切点弦方程得直线，计算弦长及到距离，表示出三角形面积；代入已知值后简化求解. 【详解】圆，外点，根据切点弦方程公式，得的方程为. 与交于，，点到的距离为. 的面积， 代入，得，两边平方得. 令，则，展开得 ，即. 二次式判别式，故，即，（负根舍去）. 因此 .    13．（25-26高二下·广东广州·期中）直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离为 . 弦长为. 14．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由题意可得，，将问题转化为求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值，利用直线与圆的位置关系及点到线的距离公式求解即可. 【详解】因为， 所以，， 所以在圆上，在直线上， 要求的最小值， 即求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值， 又因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 15．（25-26高二上·山东威海·阶段检测）已知直线恒过定点P，圆C经过点和点P，且圆心在直线上． (1)求定点P的坐标与圆C的方程； (2)过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程． (3)过点引圆的切线，求切线方程． 【答案】(1)，圆的方程为 (2)或 (3)或 【分析】（1）将直线方程整理为，进而可求定点，再结合圆心坐标和半径，列出等式求解即可； （2）通过讨论直线斜率是否存在，结合弦长公式即可求解； （3）通过讨论直线斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径，列出等式即可求解. 【详解】（1）将直线的方程整理为 ， 令，解得，故， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为； （2）当直线斜率不存在时，直线为， 此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求， 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 （3）当切线斜率不存在时，直线方程为， 与圆，圆心到直线的距离为，显然相切， 当切线斜率存在时，设切线斜率为，切线方程为 ， 即，由圆心到切线距离等于半径得， 整理得 ，解得 代入得切线方程为， 所以切线方程为或. 16．（26-27高二上·重庆沙坪坝·开学考试）已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）法一利用中点性质求出，再代入中求解轨迹方程，法二结合相似的性质得到，再结合圆的定义求出轨迹方程即可. （2）先讨论直线的斜率是否存在，再利用直线与圆的位置关系求出直线方程，进而求出交点坐标和弦长即可. （3）对直线斜率是否存在进行讨论，并结合题意得到，进而得到，进而求解出定点即可. 【详解】（1）法一：设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得 化简得，故点的轨迹方程为， 法二：设圆心与点连线的中点为点， 如图，作出符合题意的图形， 因为点为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为． （2）当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得， 此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，， 故直线的方程为， （3）存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知， 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： 可得，即， 将直线方程代入，化简得到 代入韦达定理结果得， 化简得，即，解得， 综上所述，点坐标为，得证． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $