第10讲：圆与圆的位置关系【七大题型+知识归纳+高分演练】-2026-2027学年高二数学《考点•题型 •技巧》高分突破系列(人教A版选择性必修第一册）

第10讲：圆与圆的位置关系 题型一、两圆位置关系的判断 2 题型二、由圆与圆的位置关系求参数问题 3 题型三、圆与圆的位置关系确定圆的方程 4 题型四、两圆的公共弦长或者方程 6 题型五：两圆的公切线条数 7 题型六、两圆的公切线长问题 8 题型七：圆与圆位置关系的综合 10 知识点1　两圆的位置关系及其判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 知识点2 两圆的位置关系与公切线条数的关系 位置关系 公切线条数 图示 外离 4 外切 3 相交 2 内切 1 内含 0 题型一、两圆位置关系的判断 【例1】．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：与圆：，则与的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【详解】由圆，可得圆心，半径， 由圆，可得圆心，半径，根据两点间距离公式得，且，，， 所以与的位置关系为相交. 【变式1】．（26-27高二上·天津·阶段检测）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 则，，得， 所以两个圆的位置关系是外离. 【变式2】．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【详解】圆 的圆心为 ． 因为圆 关于直线 对称，所以圆心在该直线上，故解得 ． 所以即故圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ．两圆圆心距 又 ，因此 ，所以圆 与圆 外切． 题型二、由圆与圆的位置关系求参数问题 【例2】．（26-27高二上·江苏·阶段检测）设r为正实数，集合，，当时，r的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即集合对应的圆面完全包含于集合对应的圆面内. 集合：圆心、半径的圆及其内部；集合：圆心、半径的圆及其内部. 两圆圆心距：. 根据两圆内含或内切的位置关系条件，圆心距大圆半径小圆半径，即，代入得，解得. 结合的前提，得的取值范围为. 【变式1】．（26-27高二上·江西·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，. 因为，所以，即. 所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以. 即，解得. 【变式2】．（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 题型三、圆与圆的位置关系确定圆的方程 【例3】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】由，圆心为，半径为4，设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则，即； 若动圆与已知圆内切，则，即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 【变式1】．过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 【变式2】．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）圆经过点，且与圆相切于坐标原点，则圆的标准方程为_________________. 【答案】 【详解】圆的标准方程为，则圆心，半径，圆C过原点. 因为圆与圆相切于坐标原点，且过点，所以圆与圆相外切，圆心是线段的垂直平分线与直线的交点.直线的方程为，线段的垂直平分线的方程为，所以， 所以圆的半径，所以圆的标准方程为. 故答案为：    题型四、两圆的公共弦长或者方程 【例4】．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 【变式1】．（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 【变式2】．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 【答案】 【详解】根据题意，圆及圆， 则联立方程组，消去二次项，变形可得：， 即两圆的公共弦所在的直线方程为； 联立方程组， 解得交点坐标为， 所以公共弦的中点为， 以公共弦为直径的圆的半径， 所以以公共弦为直径的圆的标准方程为. 题型五：两圆的公切线条数 【例5】．（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知圆，圆，则圆与圆的公切线（与两圆都相切的直线）条数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】首先确定两圆的圆心和半径：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 两圆圆心距：. 两圆半径差的绝对值为，两圆半径和为， 因为，故两圆相交，因此相交的两圆共有条公切线. 【变式1】．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】已知，，，因为动点满足， 又，，则， 则， 化简可得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 已知圆的方程为，则其圆心，半径， 所以， 又因为，即，所以两圆外切， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应关系，当两圆外切时，公切线有条. 【变式2】．（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 题型六、两圆的公切线长问题 【例6】．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 两圆半径相等，圆心距所以两圆外离，有公切线； A选项：，圆心到该直线距离，不是切线，A选项错误； C选项：，圆心到该直线距离，也不是切线，C选项错误； B选项：，圆心到直线距离，不是切线，B选项错误； D选项：，圆心到直线距离，圆心到直线距离， 两者都等于半径，所以是两圆的一条公切线，D选项正确. 【变式1】．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 【变式2】．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径，因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条，因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为，由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 题型七：圆与圆位置关系的综合 【例7】．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知圆：与圆：． (1)若两圆相交，求半径的范围； (2)若，求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长度． 【答案】(1)的取值范围为 (2)公共弦所在直线方程为，公共弦长度为 【详解】（1）圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 故，又因为两圆相交， 所以有，解得：. 所以半径的范围为. （2）圆：的一般式方程为  ①， 当时，圆的方程为：，一般式方程为 ②， ②-①得公共弦所在直线方程为： ，即. 圆心到直线的距离， 公共弦的长度为. 故公共弦所在直线方程为：，公共弦的长度为4. 【变式1】．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知圆：和圆：（）. (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值； (3)若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【详解】（1）由圆的方程可得两圆的圆心和半径分别为， 则， 又因为圆与圆相交，所以， 解得， 所以r的取值范围为； （2）由，消去得， ，解得， 设，则有， 所以， 由， 整理得， 又因，则可得； （3）设，，因,则， 因为，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， 则点到直线的距离与点到直线的距离相等， 即， 依题意，对无穷多的成立， 所以或， 解得或， 即满足条件的点P的坐标有或. 【变式2】．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知圆和圆，点. (1)若圆与圆内切，求的值； (2)若圆上存在点，使，求的取值范围； (3)过点作两条斜率之积为的直线，分别交圆于点，和，，设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 【详解】（1）因为圆与圆内切， 所以，即， 解得. （2）设， 由，可得， 化简可得， 即点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 由题意，圆与圆有公共点， 则，即， 解得. (3) 设，则， 联立得：， 设，， ，， 以替换可得：，， ， 直线的方程为，即：， 当时，， 直线过定点. 一、单选题 1．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）圆和圆的位置关系为（   ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 【答案】C 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆． 圆即， 表示以为圆心，半径为4的圆． 两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切， 2．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆与圆交于，两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立圆的方程和圆的方程，得， 两式相减得交线的方程为， 圆的圆心坐标为，半径为，设到交线的距离为， 而，则. 3．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆. 圆即，表示以为圆心，半径为4的圆. 两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切， 所以两圆的公切线条数为3. 4．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】圆的标准方程为，圆：， 故， 若圆与圆有公共点，则有， 即，解得，能推出， 当时，推不出， 故“”是“圆与圆有公共点”的必要不充分条件. 5．（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的方程配方得，因此圆心，半径； 圆的方程配方得，因此圆心，半径. 由两点间距离公式得. 将两圆方程相减，消去二次项得到公共弦所在直线方程，即. 点到直线的距离，因此弦长的一半为， 即. 四边形可拆分为以为公共底的两个三角形和， 点到直线的距离， 因此总面积. 6．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】设，由，得，化简整理，得. 由题意得，圆（）与有公共点，故， ，，解得，所以实数的最小值是3. 7．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点到圆心的距离，由切线性质，平分， 在直角三角形中，， 已知为钝角，则，故， 解得， 故圆存在点，使得， 圆的圆心为，半径， 圆心到的距离， 故， 因为圆上的点到的距离范围为，要使该区间与有交集， 则需，即，故，解得， 故的取值范围是． 8．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【详解】设，记， 点P到圆O的切线长为，则， 圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于， 因为， 所以. 又，所以，所以恒成立， 由，得，整理得， 即①对任意实数成立， 当时，①式成立； 当时，①式两边平方，得， 即，也即②， 若，则②式成立，且圆心到直线的距离为，满足题意； 若，取，此时，②式不成立， 综上所述，实数的最小值为． 二、多选题 9．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆，直线，则下列说法正确的是（     ） A．直线l恒过定点 B．圆C被x轴截得的弦长为 C．圆C与圆相交 D．圆C上的点到直线l的最大距离为13 【答案】AB 【详解】对于A，对直线的方程整理得， ，得，故直线恒过定点，A选项正确； 对于B，令，得，得或， 故圆被轴所截得的弦长为，B选项正确； 对于C，圆的圆心坐标，半径， 圆的圆心坐标，半径， 两圆圆心距，两圆内含，C选项错误； 对于D，直线恒过定点， 圆心C到直线l的最大距离为线段， 故圆C上的点到直线l的最大距离为，D选项错误. 10．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知圆，，圆与圆相交于点，，，下列结论正确的是（     ） A． B．直线的方程是 C．公共弦长 D．四边形的面积是24 【答案】ABD 【分析】化简圆的方程为一般式方程，两方程相减，求得的方程，可判定B正确；联立方程组，求得方程组的解，可判定A正确，利用圆的弦长公式，求得的值，可判定C错误；由四边形的对角线和互相垂直，结合，可判定D正确. 【详解】由圆，即， 圆，即， 且圆心，，半径，， 联立方程组，两式相减，可得，即， 即直线的方程是，所以B正确； 联立方程组，解得或， 因为，所以，所以A正确； 由圆心到直线的距离为， 根据圆的弦长公式，可得，所以C错误； 由圆的性质得，四边形的对角线和互相垂直， 且，， 所以四边形的面积为，所以D正确. 11．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知圆：和：，直线：与两圆相切，则（    ） A．的取值有2个 B．两圆的公共弦方程为 C．存在直线与圆和圆都有交点 D．若圆与圆和相切，且，，三点共线，则圆周长的最大值为 【答案】ACD 【详解】圆，圆心，半径； 圆，圆心，半径. 圆心距，，，两圆外离. 直线与两圆都相切，则圆心到直线距离等于半径： ，，可得. A：由，分两种情况讨论： ①，解得； ②，解得. 将代入得，两边平方化简得. 直线形式代表直线斜率存在；竖直公切线没有斜率，不属于该形式. 因此满足条件的共有2个，A正确； B：两圆公共弦存在的前提是两圆相交. 本题两圆外离，不存在公共弦，B错误； C：当时，代入距离公式，解得或. 取，，则直线. 到直线的距离为，直线与有交点； 到直线的距离为，直线与有交点. 故存在满足条件的直线，C正确； D：圆与圆和相切，且，，三点共线. 设圆半径为，圆周长最大等价于半径最大. 当圆同时内切包含圆和，圆心在线段上，取得最大值； ，，，. 解得.圆周长，D 正确. 12．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆，圆，下列说法正确的是（    ） A．圆关于点对称的圆的方程为： B．存在，使得圆与圆内含 C．若圆与圆恰有三条公切线，则其外公切线长度为 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】ACD 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径. 选项A： 因为关于点的对称点是，所以圆关于点对称的圆的方程为：，即，故A正确； 选项B： 因为圆心距无解， 所以不存在，使得圆与圆内含，B错误. 选项C： 圆与圆恰有三条公切线，对应两圆外切，此时， 所以公切线的长为，C正确； 选项D： 圆的方程展开为，圆的方程展开为， 两式相减得公共弦所在直线方程为， 公共弦长最大时，公共弦为圆的直径（长度为2），此时直线过圆心， 代入得，解得. 验证圆心距，满足，两圆相交，公共弦存在，故公共弦长的最大值为2，D正确. 三、填空题 13．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知圆与圆外离，则实数t的取值范围为______ 【答案】 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径为； 由，得， 所以，， 且圆的圆心为，半径为； 因为两圆外离，所以， ， 所以，解得. 所以实数t的取值范围为. 14．（26-27高二上·河南·阶段检测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______________. 【答案】 【详解】方法一：如图，连接，，，设． 因为，分别为圆的切线，所以，． 又，，故，关于直线对称，从而． 在直角三角形中，，所以． 于是即 因为，，所以平行于轴，且． 又，故直线的方程为． 方法二：圆心为．由于，所以，也在以为直径的圆上． 该圆的方程为，圆 两式相减，得，即直线的方程为． 15．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 【答案】 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，得到圆心坐标，代入直线方程，求得的值，即可求解. 【详解】由圆和圆， 设所求圆的方程为， 即，可得所求圆的圆心为， 因为圆心在直线上，可得，解得， 所以所求圆的方程为， 所以所求圆的方程为. 16．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）在直角坐标系内，已知是上一点，对任意实数，点关于直线的对称点仍在上，点，的坐标分别为，，若上存在点，使，则正数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】直线可化为. 令，解得，所以直线恒过点. 因为对任意实数，点关于直线的对称点仍在上， 所以该直线恒过圆心，所以圆心为， 因为是上一点，所以圆的半径. 因为，，，， 则点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，又点为圆上的点， 故点为和的公共点，圆心距， 则由，解得. 故正数的取值范围是. 四、解答题 17．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆 ，圆 . (1)求两圆公共弦所在直线方程; (2)求两圆的公共弦长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）两圆方程相减得到公共弦直线： ， 整理得： ，两边除以得：. （2）对配方得：，则圆心，半径， 圆心到公共弦距离 设弦长为，弦长公式， 故. 18．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，， (1)直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； (2)圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)（ⅰ）（ⅱ）存在定点 【详解】（1） 设圆心M到直线l的距离为d，则，故， 由得或， 故直线l的方程为或． （2）（ⅰ）设圆M与圆N交点分别为P，Q，圆H面积最小时，圆H是以为直径的圆， ，即，① 圆，即，② ①−②得公共弦所在直线方程：， 圆M圆心、圆N圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心H就是直线与的交点， 联立解得． 将代入， 得，即，所以， 所以圆H的方程为． （ⅱ）假设存在点E，使得y轴平分，满足，设，，， 则，将，代入， 得，即．（*） 联立，得，． 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入（*）式，得， 即，因为对任意k，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件． 19．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆被y轴截得的弦长为2，圆． (1)求圆的方程并判断圆与圆的位置关系． (2)在直线上是否存在点P，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为A，B，满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，外离 (2)或 【详解】（1）圆被y轴截得的弦长为2， 把代入圆方程，得 设交点坐标为，则， 由弦长公式得，解得，故， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为， 圆的圆心为，半径为， 圆，的圆心距，， ，故两圆外离． （2） 圆心为，半径为， ， 圆的圆心为，半径为， ， ，，即，整理得， 点在直线，设点， ，， ，整理得，即， 解得或，对应或， 直线上存在点或，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为，满足． 20．（25-26高二上·河南信阳·期中）已知两个定点，，动点始终满足．记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)若过点的直线与曲线交于，两点，求的最小值； (3)过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点）．证明：直线过定点，并求该定点坐标． 【详解】（1）设，由，得， 化简得，即， 故曲线是以为圆心，为半径的圆． （2）设圆，将点代入圆的方程等号左侧，得， 故点在圆的内部． 设圆心到直线的距离为，所以． 又，所以， 所以，当且仅当时取得最小值， 故的最小值为． (3) 如图，由题意知，与圆相切，为切点， 则，，则四点共圆，且在以为直径的圆上， 因为，，所以的中点为，， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，，① 又在曲线：②上， ②①，得，所以直线的方程为． 当时，，则直线恒过定点．    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲：圆与圆的位置关系 题型一、两圆位置关系的判断 2 题型二、由圆与圆的位置关系求参数问题 3 题型三、圆与圆的位置关系确定圆的方程 4 题型四、两圆的公共弦长或者方程 6 题型五：两圆的公切线条数 7 题型六、两圆的公切线长问题 8 题型七：圆与圆位置关系的综合 10 知识点1　两圆的位置关系及其判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 知识点2 两圆的位置关系与公切线条数的关系 位置关系 公切线条数 图示 外离 4 外切 3 相交 2 内切 1 内含 0 题型一、两圆位置关系的判断 【例1】．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：与圆：，则与的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【变式1】．（26-27高二上·天津·阶段检测）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【变式2】．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 题型二、由圆与圆的位置关系求参数问题 【例2】．（26-27高二上·江苏·阶段检测）设r为正实数，集合，，当时，r的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【变式1】．（26-27高二上·江西·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 题型三、圆与圆的位置关系确定圆的方程 【例3】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【变式1】．过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）圆经过点，且与圆相切于坐标原点，则圆的标准方程为_________________. 题型四、两圆的公共弦长或者方程 【例4】．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【变式1】．（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【变式2】．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 题型五：两圆的公切线条数 【例5】．（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知圆，圆，则圆与圆的公切线（与两圆都相切的直线）条数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六、两圆的公切线长问题 【例6】．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 题型七：圆与圆位置关系的综合 【例7】．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知圆：与圆：． (1)若两圆相交，求半径的范围； (2)若，求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长度． 【变式1】．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知圆：和圆：（）. (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值； (3)若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 【变式2】．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知圆和圆，点. (1)若圆与圆内切，求的值； (2)若圆上存在点，使，求的取值范围； (3)过点作两条斜率之积为的直线，分别交圆于点，和，，设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 一、单选题 1．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）圆和圆的位置关系为（   ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 2．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆与圆交于，两点，则（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（   ） A． B． C． D．6 二、多选题 9．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆，直线，则下列说法正确的是（     ） A．直线l恒过定点 B．圆C被x轴截得的弦长为 C．圆C与圆相交 D．圆C上的点到直线l的最大距离为13 10．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知圆，，圆与圆相交于点，，，下列结论正确的是（     ） A． B．直线的方程是 C．公共弦长 D．四边形的面积是24 11．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知圆：和：，直线：与两圆相切，则（    ） A．的取值有2个 B．两圆的公共弦方程为 C．存在直线与圆和圆都有交点 D．若圆与圆和相切，且，，三点共线，则圆周长的最大值为 12．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆，圆，下列说法正确的是（    ） A．圆关于点对称的圆的方程为： B．存在，使得圆与圆内含 C．若圆与圆恰有三条公切线，则其外公切线长度为 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 三、填空题 13．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知圆与圆外离，则实数t的取值范围为______ 14．（26-27高二上·河南·阶段检测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______________. 15．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 16．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）在直角坐标系内，已知是上一点，对任意实数，点关于直线的对称点仍在上，点，的坐标分别为，，若上存在点，使，则正数的取值范围是_________． 四、解答题 17．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆 ，圆 . (1)求两圆公共弦所在直线方程; (2)求两圆的公共弦长. 18．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，， (1)直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； (2)圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆被y轴截得的弦长为2，圆． (1)求圆的方程并判断圆与圆的位置关系． (2)在直线上是否存在点P，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为A，B，满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（25-26高二上·河南信阳·期中）已知两个定点，，动点始终满足．记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)若过点的直线与曲线交于，两点，求的最小值； (3)过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点）．证明：直线过定点，并求该定点坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $