2.3.2 两点间的距离公式 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 2.3.2　两点间的距离公式

 选择性必修第一册　第二章　直线和圆的方程

[学习目标]

1．经历由数轴上两点间的距离出发、用勾股定理推导平面内两点间距离公式的过程，掌握公式及平行于坐标轴、与原点相连等特殊情形，能正确求任意两点间的距离。

2．掌握线段中点的坐标公式，会逆向使用它求另一端点与对称点，会用距离公式求点的坐标、判断三角形形状、求线段长与距离的最小值。

3．了解坐标法的四个步骤，会把几何关系翻译成坐标运算，能用距离公式与中点公式证明简单的几何命题。

[链接教材 · 夯基固本] 落实主干 · 激活技能

 1．两点间的距离公式

在数轴上，点 与点 之间的距离是 ，它只与两点所表示的数之差有关。把数轴换成平面直角坐标系，距离仍可由初中的勾股定理得到。图 1 中 、，过 作 轴的平行线、过 作 轴的平行线，两线交于点 ，则 、，且 ，所以 。

图 1: ，，故

(1) 平面内两点 、 间的距离 ，即两点间的距离等于它们横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根。

(2) 特殊地，当 （ 平行于 轴或在 轴上）时 ；当 时 ；当一个端点是原点 、另一个端点是 时 。

 提醒： 公式中 与 都要先平方，因此与两点的字母顺序无关，把 、 对调结果不变；根号外是算术平方根，距离恒为非负数。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 两点间的距离公式只适用于横坐标、纵坐标都不相同的两点。（　　）

(2) 已知 、，若 ，则 。（　　）

 2．线段中点的坐标公式

数轴上表示 −1 与 5 的两点，中点表示的数是 2，它恰是 −1 与 5 的平均数。平面内同样如此：图 2 中 、，点 的横坐标满足 、纵坐标满足 ；从 到 与从 到 ，横坐标都增加 2、纵坐标都增加 2，由距离公式算得 ，所以 是 的中点。过 、、 向 轴作垂线，由初中三角形全等可知三个垂足也等距，因此横坐标取平均数对任意两点都成立。

图 2: 与 的中点为 ，且

(1) 若点 是线段 的中点，则 的坐标为 ，。

(2) 逆向使用：已知中点 与一个端点 ，则另一个端点 的坐标为 ，。

 提醒： 中点公式与距离公式是配套的：要说明某点是中点，既可用中点坐标公式验证，也可说明三点共线且到两端点距离相等，两者不能只验其中之一。

判断

(1) 已知 、，则线段 的中点坐标是 (2,4)。（　　）

(2) 若点 是点 与点 的中点，则点 的坐标是 (−2,5)。（　　）

 3．对称点的坐标

初中已经给出关于坐标轴对称的点的坐标特征：关于 轴对称的两点横坐标相同、纵坐标互为相反数；关于 轴对称的两点纵坐标相同、横坐标互为相反数。图 3 中 与 的连线经过原点 ，由距离公式 ，且 的坐标恰是 、 两点对应坐标的平均数，所以 是线段 的中点。这就是说，关于原点对称是「中点为原点」的特殊情形，据此可把对称问题统一交给中点公式处理。

图 3: 关于原点的对称点为 ，关于 轴的对称点为 ，关于 轴的对称点为

(1) 点 关于 轴的对称点是，关于 轴的对称点是，关于原点的对称点是。

(2) 点 关于点 的对称点是，依据是 是 与所求点的。

判断

(1) 点 (3,−2) 关于原点对称的点的坐标是 (−3,2)。（　　）

(2) 点 (3,−2) 关于直线 对称的点的坐标是 (3,−4)。（　　）

 4．用坐标法研究几何问题

几何命题中的「相等」多数落到线段长度上，而长度在坐标系里就是坐标之间的代数运算。以「平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和」为例：把顶点 放在原点、边 放在 轴上（图 4），四个顶点只需三个字母 、、，即 、、，四条边与两条对角线的平方都由距离公式写出，要证的结论就化成两个代数式相等。

图 4: 把 放在原点、 放在 轴上，则 、、，虚线 到 轴的垂线段长为

用坐标法研究几何问题的一般步骤是：第一步，建立适当的；第二步，用坐标表示研究对象的；第三步，通过，得到相应的代数结果；第四步，把代数结果翻译成。

建系时要使图形中尽可能多的点落在坐标轴上，并使待定的字母尽量少。例如证明与直角三角形有关的问题，常把直角顶点放在原点、两条直角边分别放在两条坐标轴上。

判断

(1) 同一个几何命题，坐标系建立的位置不同，运算量的大小可能不同。（　　）