2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标2.3.2 两点间的距离公式 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦“直线的交点坐标与距离公式”核心知识点，系统梳理两条直线交点坐标的几何与代数含义（通过解方程组判断位置关系），以及平面上两点间距离公式的推导、特殊情况（平行坐标轴、原点距离）及应用，构建从概念理解到方法运用的学习支架。 该资料通过“诊断分析”夯实基础认知，“探究点”结合实例（如判断四边形形状、证明几何命题）培养数学眼光（几何直观）、思维（推理运算）与语言（符号表达），课中助力教师引导学生深度探究，课后变式与拓展帮助学生查漏补缺，提升知识应用与问题解决能力。

2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式 【学习目标】 　　1.能描述两条直线交点(坐标)的几何(代数)含义,能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 　　2.探索并掌握平面上两点间的距离公式,会分析公式中相关量的几何意义. 　　3.能根据给定的两点坐标熟练运用公式求两点间的距离. ◆ 知识点一　两条直线的交点 1.已知同一平面内的两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 直线l1与l2 的位置关系 直线l1与l2 的公共点 方程组的解的情况 　　　  　　　  有唯一解 重合 　　　  　　　  　　　  无 　　　  2.直线系方程 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交于点P,则过点P的直线(除l2外)可表示为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若点M(a,b)在直线l:Ax+By+C=0上,则点M的坐标一定满足直线l的方程. (　 ) (2)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解. (　 ) (3)若直线2x+y+1=0与直线x-y-4=0的交点为(a,b),则a-b=4. (　 ) (4)直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0不能表示直线l2:A2x+B2y+C2=0. (　 ) ◆ 知识点二　两点间的距离公式 P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式为|P1P2|=　　　　　　　　　.  (1)当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=　　　　;  (2)当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=　　　　;  (3)特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离|OP|=. 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)点P1(0,a),点P2(b,0)之间的距离为a-b. (　 ) (2)点P1(a,0),点P2(b,0)之间的距离为a-b. (　 ) 2.(1)已知平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,则y1-y2可怎样表示? (2)已知平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,如何用含k的关系式表示A,B两点间的距离? ◆ 探究点一　相交直线的交点 例1 (1)分别判断下列直线是否相交.若相交,求出它们的交点;若不相交,说明它们的位置关系. ①l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; ②l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; ③l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. (2)求过直线l1:x-2y+4=0和直线l2:x+y-2=0的交点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程. 变式 (1)(多选题)下列说法中正确的有 (　 ) A.直线l1:x-2y+4=0和 l2:2x-4y+8=0的交点坐标为(2,1) B.直线l1:x-y+2=0和 l2:2x+y-5=0的交点坐标为(1,3) C.直线l1:2x+y+2=0和 l2:y=-2x+3没有交点 D.直线l1:x-2y+1=0,l2:y=x,l3:2x+y-3=0两两相交 (2)若直线x+ay+15=0经过两直线5x-3y-17=0和x-y-5=0的交点,则a=　　　　.  [素养小结] (1)求两相交直线交点坐标的关键是解两直线方程组成的二元一次方程组. (2)求过两条直线交点的直线方程的两种方法: ①先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程; ②利用过两条直线交点的直线系方程,通过待定系数法求解.　　　　　 　　　　　 　　　　　 拓展 (多选题)[2026·青岛实验高级中学高二检测] 若三条直线l1:4x+y+4=0,l2:mx+y+1=0,l3:x-y+1=0不能围成三角形,则m的值可以为 (　 ) A.0 B.-1 C.1 D.4 ◆ 探究点二　求两点间的距离 例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(-7,0),B(2,-3),C(5,6),D(-4,9),判断这个四边形的形状. 变式 已知△ABC的三个顶点分别是A(-3,1),B(3,-3),C(1,7). (1)判断△ABC的形状; (2)求△ABC的面积. [素养小结] (1)判断四边形的形状时,若两组对边均平行,则是平行四边形,进而再判断是否为矩形、菱形或正方形;若一组对边平行,则是梯形,进而再判断是否为等腰梯形或直角梯形;若两组对边均不平行,则为一般四边形. (2)利用两点间的距离公式求出线段的长度,再根据各边的长度判断三角形或四边形形状是常见题型.解题时要注意方程思想和分类讨论思想的应用. 拓展 [2026·安徽潜山高二质检] 函数f(x)=-的最大值为　　　　.  ◆ 探究点三　坐标法的应用 例3 用坐标法证明:若四边形ABCD是长方形,则对直线AC上任意一点M,等式AM2+CM2=BM2+DM2成立. 变式 如图,△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形.试用坐标法证明:AE=CD. [素养小结] 利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 (1)建立坐标系,用坐标表示有关的量; (2)进行有关代数运算; (3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论. ◆ 探究点四　对称问题 例4 (1)原点O(0,0)关于直线8x+6y=25的对称点的坐标为 (　 ) A. B. C.(3,4) D.(4,3) (2)直线x-2y+3=0关于点(1,1)对称的直线方程为　　　　　　.  变式 已知点A(2,0)与点B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,则a+b的值为　　　　.  [素养小结] 对称问题: 1.中心对称 (1)点关于点的对称.若点M(x1,y1)与点N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 (2)直线关于点的对称,其主要解题方法是:在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点坐标求出直线方程. 2.轴对称 (1)若点(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0对称的点为(x2,y2),则 (2)直线关于直线对称 求直线l1:A1x+B1y+C1=0关于直线l:Ax+By+C=0对称的直线l2的方程的方法:转化为点关于直线对称,在l1上任取两点P1和P2,求出P1,P2关于l的对称点,再由两点坐标求出l2的方程. 拓展 已知直线l经过直线l1:x-2y+3=0,l2:x+y-3=0的交点P,且A(3,2),B(-1,-2)两点到直线l的距离相等. (1)求直线l的一般式方程; (2)若点A,B在直线l的同侧,且Q为直线l上的一个动点,求|AQ|+|BQ|的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式 【课前预习】 知识点一 1.相交　一个　无数个　有无数解　平行　无解 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 知识点二 (1)|x2-x1|　(2)|y2-y1| 诊断分析 1.(1)×　(2)×　[解析] (1)点P1(0,a),点P2(b,0)之间的距离为. (2)点P1(a,0),点P2(b,0)之间的距离为|a-b|. 2.解:(1)∵k=,∴y1-y2=k(x1-x2). (2)|AB|===·|x1-x2|. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)①解方程组得 故直线l1和l2相交,交点为(3,-1). ②方程组有无数个解,这表明直线l1和l2有无数个公共点,故l1和l2重合. ③方程组无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2. (2)解:方法一:由解得∴P(0,2). ∵直线l与直线l3垂直且直线l3的斜率为, ∴直线l的斜率为-,∴直线l的方程为y-2=-(x-0),即4x+3y-6=0. 方法二:根据题意设直线l的方程为(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0,即(λ+1)x+(λ-2)y+4-2λ=0, ∵直线l与直线l3:3x-4y+5=0垂直,∴直线l的斜率存在且不为0, ∴-×=-1,解得λ=11,∴直线l的方程为x-2y+4+11(x+y-2)=0,即4x+3y-6=0. 变式　(1)BCD　(2)4　[解析] (1)对于A,直线l1:y=x+2,l2:y=x+2,两直线重合,有无数个交点,故A错误;对于B,由解得所以l1与l2的交点坐标为(1,3),故B正确;对于C,直线l1:y=-2x-2,l2:y=-2x+3,两直线的斜率相等且两直线不重合,故l1与l2平行,所以l1与l2没有交点,故C正确;对于D,直线l1:y=x+,l2:y=x,l3:y=-2x+3,可知直线l1,l2,l3的斜率分别为,1,-2,斜率都不相等,故三条直线两两相交,故D正确.故选BCD. (2)由解得则两直线5x-3y-17=0和x-y-5=0的交点为(1,-4),由题意得1-4a+15=0,∴a=4. 拓展　BCD　[解析] ∵=-4,=-m,=1,∴≠,若l1,l2,l3不能围成三角形,则可分以下两种情况:①l1,l2,l3交于同一点,由解得即m=1;②l1,l2,l3中有两条直线平行,当l1∥l2时,=,可得m=4,当l2∥l3时,=,可得m=-1.综上,m∈{-1,1,4}.故选BCD. 探究点二 例2　解:因为kAB=-,kCD=-,kAD=3,kBC=3, 所以AB∥CD,AD∥BC, 则四边形ABCD为平行四边形. 又因为kAB·kAD=-1,所以AB⊥AD, 所以平行四边形ABCD为矩形. 因为|AB|=3,|AD|=3,所以|AB|=|AD|, 所以矩形ABCD为正方形,故四边形ABCD为正方形. 变式　解:(1)因为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7), 所以|AB|==, |AC|==, |BC|==, 所以|AB|=|AC|,|AB|2+|AC|2=|BC|2, 所以△ABC是等腰直角三角形. (2)由(1)得S△ABC=|AB|·|AC|=××=26. 拓展　　[解析] -表示点P(x,0)到点A(1,3)的距离与到点B(5,2)的距离之差.易知当点P为线段AB的延长线与x轴的交点时,距离之差取得最大值,最大值为A,B两点间的距离,又|AB|==,所以函数f(x)的最大值为. 探究点三 例3　证明:以A为坐标原点,AB边所在直线为x轴,AD边所在直线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,设AB=a,AD=b,则A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),直线AC的方程为y=x. 设M,则|AM|2+|CM|2=x2++(a-x)2+, |BM|2+|DM|2=(a-x)2++x2+,所以|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2, 所以AM2+CM2=BM2+DM2. 变式　证明:如图所示,以点B为坐标原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c, 则A(-a,0),C(c,0),E,D, 所以|AE|==, |CD|==, 所以|AE|=|CD|,所以AE=CD. 探究点四 例4　(1)D　(2)x-2y-1=0　[解析] (1)设原点O(0,0)关于直线8x+6y=25的对称点为A(a,b),∵直线8x+6y=25的斜率k=-,直线OA与直线8x+6y=25垂直,∴kOA==,即3a=4b①,又线段AO的中点在直线8x+6y=25上,∴4a+3b=25②,由①②解得a=4,b=3,∴A的坐标为(4,3).故选D. (2)设直线x-2y+3=0关于点(1,1)对称的直线为l',在l'上任取一点P(x,y),则点P关于点(1,1)对称的点P'的坐标为(2-x,2-y),由题意可知点P'在直线x-2y+3=0上,故(2-x)-2(2-y)+3=0,整理可得x-2y-1=0,故所求直线方程为x-2y-1=0. 变式　-2　[解析] 因为A(2,0),B(0,4),所以AB的中点坐标为(1,2).因为点A(2,0)与点B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,所以AB的中点(1,2)在直线ax+y+b=0上,所以a+2+b=0,即a+b=-2. 拓展　解:(1)由解得所以P(1,2). ①当直线l与直线AB平行时,因为直线AB的斜率kAB==1, 所以直线l的方程为y-2=1·(x-1),即x-y+1=0; ②当直线l过线段AB的中点时,因为线段AB的中点坐标为(1,0),且l过点P(1,2),所以直线l垂直于x轴,故直线l的方程为x=1,即x-1=0. 综上所述,直线l的一般式方程为x-y+1=0或x-1=0. (2)因为点A,B在直线l的同侧,所以直线l的方程为x-y+1=0,如图. 设点A关于直线l的对称点为C(x0,y0),连接CQ,CB, 则解得即点C(1,4). |AQ|+|BQ|=|CQ|+|BQ|≥|CB|==2, 当且仅当Q,B,C三点共线时等号成立,故|AQ|+|BQ|的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $