2.4.2 圆的一般方程 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 2.4.2　圆的一般方程

 选择性必修第一册　第二章 直线和圆的方程

[学习目标]

1．知道圆的一般方程的形式特征，会把一般方程化为标准方程，并求出圆心坐标和半径。

2．理解 的符号所对应的三种情形，会判断一个二元二次方程是否表示圆，会由方程表示圆求参数的取值范围。

3．会用待定系数法求圆的一般方程，能依据条件选择标准方程或一般方程，并对所求结果作检验。

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 1．圆的一般方程

上一讲把圆写成标准方程。取圆心为 、半径为 3 的圆，标准方程是 。把左边两个平方展开、合并同类项并移项，得

图 1 仍是这个圆。任何圆的标准方程展开后都是这种形式： 与 的系数都等于 1，没有 项，只余 、 的一次项和一个常数项。

图 1: 圆心 、半径 3 的圆，

(1) 方程 （其中 、、 为常数）叫做圆的一般方程。它的特征是： 项与 项的系数且不为，不含项。

(2) 把标准方程 展开，就得到一般方程，此时 ，，。所以任何一个圆的方程都能写成一般方程的形式。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 方程 是圆的一般方程。（　　）

(2) 方程 的二次项系数不是 1，所以它无法写成圆的一般方程的形式。（　　）

 2．一般方程表示圆的条件

一般方程是否真表示一个圆，取决于配方后右边的符号。把 与 分别配成完全平方，得

左边是两个实数的平方和，必定不小于 0，于是右边的符号决定方程有没有实数解。以 为例，配方得 ： 时右边等于 4，图 2 中的蓝色圆； 时右边等于 1，红色圆； 时右边等于 0，只剩圆心那一个点； 时右边等于 −1，图上取不到任何点。

图 2: 方程 ：蓝色圆半径为 2，红色圆半径为 1，公共圆心为点 (1,2)

(1) 对于方程 ：当 0 时它表示圆，圆心是 ，半径是 ；当 0 时它表示一个点；当 0 时它不表示任何图形。

 提醒： 圆心两个坐标都要取相反号，半径公式根号外还有 ；判断图形时只看 与 0 的大小，不要凭常数项 的正负下结论。

判断

(1) 圆 的圆心坐标是 (2,−3)。（　　）

(2) 方程 表示一个圆。（　　）

 3．二元二次方程表示圆的条件

反过来看，二元二次方程 （、、 不全为 0）什么时候表示圆。

先比二次项： 与 的系数必须相同且不为 0，并且不含 项。这一步不过关时它表示的是别的图形，例如 表示两条直线 与 。

二次项过关后再配方，看配方后右边的符号。例如 配方得 ，它表示圆；把常数项换成 5，配方得 ，它只表示点 (1,2)。

(1) 二元二次方程 表示圆的充要条件是 0，0，且 0。

(2) 二次项系数不为 1 时，先整体除以该系数再判断。例如 两边除以 2，得 。

 提醒： 判断二元二次方程是否表示圆分两步，第一步看二次项，第二步看配方后的符号； 与 系数不同或含 项时，不必再算 。

判断

(1) 方程 表示圆。（　　）

(2) 当 取任意实数时，方程 都表示圆。（　　）

 4．用待定系数法求圆的方程

标准方程含 、、 三个字母，一般方程含 、、 三个字母，所以确定一个圆需要三个独立条件。图 3 中过 、、 三点的圆，圆心是边 与边 的垂直平分线的交点 ，半径为 1，它既可写成 ，也可写成 。

图 3: 过 、、 三点的圆，圆心 到三点距离都等于 1

(1) 已知圆上三个点的坐标时，设一般方程 ，把三点坐标分别代入，得到关于 、、 的方程组；条件给出圆心、半径或圆心所在直线时，设方程更省运算。

(2) 三点在同一条直线上时，过这三点的圆不存在。解出 、、 后必须检验 ，并把三个点的坐标代回方程逐一验证。