2.4.2 圆的一般方程（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

2.4.2　圆的一般方程 [教材知识——一遍过] 1.B　2.C　3.B 4.A　方法一：点A（4，0），B（0，2），线段AB的中点坐标为（2，1），且｜AB｜＝＝2， 所以以线段AB为直径的圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5，即x2＋y2－4x－2y＝0. 方法二：以点A（4，0），B（0，2）为直径的圆的方程为（x－4）x＋y（y－2）＝0，即x2＋y2－4x－2y＝0. 5.D　设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为A（0，0），B（1，1），C（4，2）三点在圆上，所以解得于是所求圆的一般方程是x2＋y2－8x＋6y＝0.故选D. 6.B　7.A 8.B　设P（x，y），因为定点A（－1，0），B（1，0），｜PA｜＝｜PB｜， 所以＝，化简得x2＋y2＋4x＋1＝0，即（x＋2）2＋y2＝3. 所以动点P的轨迹为半径为的圆，所以动点P的轨迹围成区域的面积为3π. 9.解：（1）方法一：设直角顶点C（x，y），因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线， 所以x≠3且x≠－1，y≠0. 又kAC＝，kBC＝，且kACkBC＝－1， 所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0， 即（x－1）2＋y2＝4. 因此，直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3且x≠－1）. 方法二：设AB的中点为D， 由中点坐标公式得D（1，0）， 由直角三角形的性质知｜CD｜＝｜AB｜＝2， 由圆的定义知动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）， 所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3且x≠－1）. （2）设点M（x，y），点C（x0，y0），因为B（3，0），M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝（x≠3且x≠1），y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y. 由（1）知点C在圆（x－1）2＋y2＝4（x≠3且x≠－1）上运动，将x0，y0代入该方程得（2x－4）2＋（2y）2＝4， 即（x－2）2＋y2＝1. 因此，直角边BC的中点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（x≠3且x≠1）. [综合素养——全提升] 1.A　设B（x0，y0），M（x，y），由题意可知可得 又因为＋＝4，所以（2x－5－1）2＋（2y）2＝4， 化简可得x2＋y2－6x＋8＝0，所以M的轨迹方程为x2＋y2－6x＋8＝0.故选A. 2.B　圆C：x2＋y2－4x－6y＋m＝0整理可得圆C：（x－2）2＋（y－3）2＝13－m， 可知圆心为C（2，3），半径r＝，且m＜13. 若圆C：x2＋y2－4x－6y＋m＝0不经过第三象限， 等价于原点O（0，0）不在圆C内，则m≥0，可得0≤m＜13， 且{m｜0≤m＜13}是{m｜m≥0}的真子集， 所以“m≥0”是“圆C：x2＋y2－4x－6y＋m＝0不经过第三象限”的必要不充分条件. 3.AD　将圆的一般方程化为标准方程得（x－2）2＋y2＝2， 所以圆C1的圆心坐标为C1（2，0），半径为r＝，故A正确； 圆C1的面积为πr2＝2π，故B错误； 由于＋12＜2，故点（，1）在圆C1内，故C错误； 易知点（1，1）在圆C1上，所以点（1，1）到圆上点的距离的最大值为2r＝2，故D正确. 4.A　设M（x，y），由｜MA｜＝2｜MB｜得＝2， 化简，整理得x2＋y2－x＋4＝0， 即动点M的轨迹方程为＋y2＝， S△MAB＝｜AB｜｜yM｜＝2｜yM｜， 当点M到x轴距离｜yM｜＝时，S△MAB＝2｜yM｜＝为最大值. 故选A. 5.3π　解析：由圆C：x2＋y2－2mx＋（2m－4）y－1＝0，可知圆心为C（m，－m＋2）， 半径为r＝. 设原点为O，则｜OC｜＝＝， 设t＝2m2－4m＋4，对称轴为m＝1，开口向上， 则t＝2m2－4m＋4在m＝1处取得最小值，即在m＝1处，｜OC｜取得最小值， 此时圆C的半径为r＝＝， 圆C的面积S＝πr2＝3π. 6.＋＝9　解析：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 已知圆C的圆心在直线y＝－x＋5上，且圆C过点（2，6），（5，3）， 则解得 即圆C的方程为x2＋y2－4x－6y＋4＝0， 所以圆C的标准方程为（x－2）2＋（y－3）2＝9. 圆C的圆心C（2，3），半径r＝3. 设圆C'的圆心坐标为C'（x0，y0），因为圆C'与圆C关于直线x＋2y－2＝0对称， 则有解得即C'. 所以圆C'的标准方程为＋＝9. 7.解：（1）设圆心为C（a，0），由题意可得｜OC｜＝｜AC｜， 则｜a｜＝，解得a＝5，所以圆C的半径为｜a｜＝5， 故圆C的方程为（x－5）2＋y2＝25. （2）设点M（x0，y0），其中x0≠0，则N（x0，0）， 设点Q（x，y）， 因为＝＋，则（x，y）＝（x0，y0）＋（x0，0）＝（2x0，y0）， 可得可得 因为点M在圆C上，则（x0－5）2＋＝25，即＋y2＝25. 故点Q的轨迹方程为（x－10）2＋4y2＝100（x≠0）. 由相关点法求轨迹方程时，先设所求曲线上一点坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点的坐标，代入已知曲线方程化简整理即可得出结果.有时也需要用参数表示出所求点，再消去参数得出结果. ｜规律方法｜ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.2　圆的一般方程 　 对圆的一般方程的理解 1.“关于x，y的方程x2＋y2＋2mx＋2y＋5＝0表示的曲线是圆”是“m＞2”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2026·广东佛山H7联考）若圆x2＋y2－4ax＋2y－1＝0的圆心到两坐标轴的距离相等，则a＝（　　） A.±1 B.1 C.± D. 3.若点P（2，－1）在圆x2＋y2－x＋2y＋2k＝0的外部，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 求圆的一般方程 4.[一题多解]直线＋＝1与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（　　） A.x2＋y2－4x－2y＝0 B.x2＋y2－4x－2y－1＝0 C.x2＋y2－4x－2y＋1＝0 D.x2＋y2－2x－4y＝0 5.[教材例题变式]过A（0，0），B（1，1），C（4，2）三点的圆的一般方程是（　　） A.x2＋y2＋8x＋6y＝0 B.x2＋y2－8x－6y＝0 C.x2＋y2＋8x－6y＝0 D.x2＋y2－8x＋6y＝0 6.与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点（1，－1）的圆的方程是（　　） A.x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 C.x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D.x2＋y2＋4x－6y＋8＝0 7.已知圆C：x2＋y2＝4，则圆C关于直线l：x－y－3＝0对称的圆的方程为（　　） A.x2＋y2－6x＋6y＋14＝0 B.x2＋y2＋6x－6y＋14＝0 C.x2＋y2－4x＋4y＋4＝0 D.x2＋y2＋4x－4y＋4＝0 轨迹问题 8.（2026·浙南名校联考）若两定点A（－1，0），B（1，0），动点P满足｜PA｜＝｜PB｜，则动点P的轨迹围成区域的面积为（　　） A.π B.3π C.4π D.2π 9.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），求： （1）直角顶点C的轨迹方程； （2）直角边BC的中点M的轨迹方程. 　 1.[教材例题变式]已知点A（5，0），点B在圆（x－1）2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是（　　） A.x2＋y2－6x＋8＝0 B.x2＋y2－6x＋5＝0 C.x2＋y2＋6x＋8＝0 D.x2＋y2＋6x＋5＝0 2.“m≥0”是“圆C：x2＋y2－4x－6y＋m＝0不经过第三象限”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.（多选）已知圆C1的方程为x2＋y2－4x＋2＝0，下列结论正确的是（　　） A.圆C1的圆心坐标为（2，0） B.圆C1的面积为4π C.点（，1）在圆C1外 D.点（1，1）到圆上点的距离的最大值为2 4.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（－2，0），B（2，0），动点M满足 ｜MA｜＝2｜MB｜，则 △MAB 面积的最大值为（　　） A. B.6 C. D. 5.（2026·江西南昌期中）已知圆C：x2＋y2－2mx＋（2m－4）y－1＝0，当圆心到原点的距离最小时，圆C的面积为　　　　　. 6.已知圆C的圆心在直线y＝－x＋5上，且圆C过点（2，6），（5，3），若圆C'与圆C关于直线x＋2y－2＝0对称，则圆C'的标准方程为　　　　　　　　　　　　. 7.已知圆C过原点O和点A（1，3），圆心在x轴上. （1）求圆C的方程； （2）过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $