2.4.2 圆的一般方程讲义【知识清单+8大题型】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程 第一部分：知识清单 知识点一：圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 知识点二：圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 知识点三：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 第二部分：典型例题汇总 典例一 求圆的一般方程 典例二 圆的一般方程与标准方程转化 典例三 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 典例四 点与圆的位置关系 典例五 圆过定点问题 典例六 圆的对称性的应用 典例七 定点到圆上点的最值(范围) 典例八 轨迹问题——圆 第三部分：典型例题 典例一 求圆的一般方程 1．（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 2．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知的三个顶点为. (1)求边上的中线的长； (2)求的外接圆方程. 典例二 圆的一般方程与标准方程转化 5．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知圆，则该圆的半径为（   ） A． B．6 C．9 D．13 6．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知，圆的半径为2，则_______________． 7．（2026高二·全国·专题练习）圆关于直线对称的圆的方程为___________． 8．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 典例三 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 9．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知方程表示圆，则a的值不可能为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 11．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·河南信阳·期中）若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 典例四 点与圆的位置关系 13．（25-26高二上·江西·阶段检测）若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（   ） A．5 B．1 C． D． 14．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知点在圆外，则的取值范围是______． 15．（25-26高三上·贵州黔东南·开学考试）已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 16．（2026·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是________． 典例五 圆过定点问题 17．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 18．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 19．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 20．（25-26高二下·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 典例六 圆的对称性的应用 21．（26-27高二上·四川·期中）若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 22．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 23．（25-26高二上·北京·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．-1 24．（25-26高二上·广西玉林·期末）若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 典例七 定点到圆上点的最值(范围) 25．（2027高三·全国·专题练习）点和圆上的点的距离的最小值是________． 26．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（25-26高一下·广东江门·期中）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．1 28．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 典例八 轨迹问题——圆 29．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 30．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 31．（25-26高二下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 32．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 第四部分：课后检测 1．（2026高二·全国·专题练习）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（ ） A．1 B．2 C． D．4 4．（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 6．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·福建莆田·期中）对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 8．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 9．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）（多选）已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 10．（25-26高二上·福建福州·期末）（多选）已知点都在圆上，点，则（    ） A．线段是圆的直径 B．圆的方程为 C．对于任意，圆上都存在点，使得 D．若在圆外，则的取值范围是 11．（2026高三上·陕西咸阳·专题练习）（多选）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则以下结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．点的轨迹为整个圆 C．点到直线的距离的最大值为 D．点在圆上 12．（25-26高二上·湖南永州·期中）若是一个圆的方程，则圆心的坐标_____. 13．（25-26高二上·上海·期末）圆的圆心在第三象限，则的取值范围为______. 14．（2026·上海静安·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为_____________ 15．（2026高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 16．（25-26高二上·浙江温州·阶段检测）已知圆过点，，且圆心在直线：上 (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程； (3)若为圆上的动点，求的最小值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.2 圆的一般方程 第一部分：知识清单 知识点一：圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 知识点二：圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 知识点三：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 第二部分：典型例题汇总 典例一 求圆的一般方程 典例二 圆的一般方程与标准方程转化 典例三 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 典例四 点与圆的位置关系 典例五 圆过定点问题 典例六 圆的对称性的应用 典例七 定点到圆上点的最值(范围) 典例八 轨迹问题——圆 第三部分：典型例题 典例一 求圆的一般方程 1．（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【答案】 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， 所以的外接圆方程为． 2．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 3．（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两点的中点及斜率，然后结合垂直的斜率关系，利用点斜式方程即可求得； （2）根据圆的几何性质求出圆心坐标，利用两点距离公式求解半径，进而求出标准方程，再化为一般方程即可. 【详解】（1）因为，， 所以AB中点坐标为，又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. （2）由垂径定理得，圆心在的垂直平分线上， 联立方程得：，解得，所以圆心坐标为， 所以半径，所以圆的标准方程为， 所以圆的一般式方程. 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知的三个顶点为. (1)求边上的中线的长； (2)求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式得到中点坐标，再利用两点间距离公式求解长度即可. （2）设出外接圆的方程，代入点的坐标，进而求解参数得到方程即可. 【详解】（1）由中点坐标公式得的中点， 由两点间距离公式得. （2）设三角形外接圆方程为， 因为点在所求的圆上，可得，解得， 则外接圆的方程为. 典例二 圆的一般方程与标准方程转化 5．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知圆，则该圆的半径为（   ） A． B．6 C．9 D．13 【答案】A 【详解】由，得，则半径为． 6．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知，圆的半径为2，则_______________． 【答案】 【详解】由圆，其半径为2， 所以，又，则. 7．（2026高二·全国·专题练习）圆关于直线对称的圆的方程为___________． 【答案】 【详解】由圆，将其化为标准式可得， 所以圆心坐标为，半径为， 由圆与圆关于直线对称，则可得圆心坐标为，半径为， 所以圆的标准方程为. 8．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】将圆化为标准形式，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】因为圆标准方程为， 所以，解得，即实数a的取值范围是． 故答案为： 典例三 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 9．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知方程表示圆，则a的值不可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，整理可得，解得， 且，，，， 故ABC不符合题意，D符合题意. 10．（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】将曲线转化为，根据圆的性质即可求解. 【详解】依题意，表示一个圆，所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 11．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【详解】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 12．（25-26高二上·河南信阳·期中）若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 【答案】D 【分析】根据圆的判别式计算直接得出结果. 【详解】因为该方程表示圆， 所以， 所以. 故选：D 典例四 点与圆的位置关系 13．（25-26高二上·江西·阶段检测）若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出的范围得解. 【详解】因为点在圆C：的外部， 所以，解得， 又方程表示圆，则，即， 所以，结合选项可知，m的取值可以为. 故选：C 14．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知点在圆外，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一般方程的定义，以及点与圆的位置关系，即可求解． 【详解】由题意得，解得. 故答案为：． 15．（25-26高三上·贵州黔东南·开学考试）已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可. 【详解】设，则，解得，. 因为在上，所以，解得，经检验，符合题意. 故选：B 16．（2026·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意利用轴对称的性质算出对称点Q的坐标，结合点Q在已知圆的内部，建立关于的不等式，解出实数的取值范围． 【详解】设与关于直线对称，则，解得，即， 因为在圆的内部， 所以，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：． 典例五 圆过定点问题 17．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】将代入圆的方程进行求解． 【详解】将代入圆的方程中，得，即， 方程为，满足， 故, 故选：B. 18．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 19．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【分析】变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案. 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 20．（25-26高二下·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 典例六 圆的对称性的应用 21．（26-27高二上·四川·期中）若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程得出圆的圆心坐标，再结合圆关于直线对称，将圆心代入直线方程中求解即可. 【详解】因为圆方程为，所以圆心为， 又因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以，即. 22．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 23．（25-26高二上·北京·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】根据直线过圆心可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心为， 因为直线是圆的对称轴，故圆心在直线上， 故即， 故选：A. 24．（25-26高二上·广西玉林·期末）若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出直线方程，将圆心代入直线，求解即可. 【详解】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心， 直线方程为，或，将点代入上式，解得 直线的方程为或. 故选：C. 典例七 定点到圆上点的最值(范围) 25．（2027高三·全国·专题练习）点和圆上的点的距离的最小值是________． 【答案】2 【详解】因为圆的方程化为标准式为， 可知圆心，半径， 则，当且仅当时，等号成立，可知点在圆外， 所以点和圆上点的最小距离． 26．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆外一点到圆上的距离的最小值等于这个点到圆心的距离减去半径可得. 【详解】由半径为3，圆心为的圆，则圆心到原点的距离，. 由，，所以原点O在圆的外部，如图：所以圆上的点到原点的距离的最小值为． 故选：B． 27．（25-26高一下·广东江门·期中）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】先根据复数的模的几何意义得到z在复平面上对应的点的轨迹图形，再由在复平面的几何性质即可得到其最小值． 【详解】因为， 所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上， 因为表示点与定点的距离， 所以点与定点的距离的最小值等于圆心与的距离减去圆的半径， 即. 28．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 【答案】12 【分析】求点关于直线对称的点为，根据圆的性质结合图形分析求解即可. 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由得，其圆心为，半径， 则， 当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12. 典例八 轨迹问题——圆 29．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 【答案】 【详解】建立平面直角坐标系，如图： 设，，， 则，化简得， 以为底，高为点P到轴的距离， 所以当取最大值时，的面积取得最大值． 显然当时，取得最大值， 此时. 所以面积的最大值是． 30．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 31．（25-26高二下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 【答案】 【详解】设，则，， 由题意可知，则， 化简可得，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 到一定点的距离为定值，则该定值为. 32．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 第四部分：课后检测 1．（2026高二·全国·专题练习）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【详解】因为，，所以圆心为， 即，，所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为. 故选：A. 2．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． 3．（2026高三·全国·专题练习）（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（ ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】把圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径. 【详解】将圆的一般方程转换为标准方程，得， 则圆的半径为2. 故选：B. 4．（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程及点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆外，则， 即， 解得， 故选：B． 5．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】由题可得直线过已知圆圆心，则，然后由基本不等式可得答案. 【详解】由题可得圆方程可化为：，则圆心坐标为. 因圆关于对称，则过圆心，从而. 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 6．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线过定点，且两直线垂直，求出点的轨迹，即可求出答案. 【详解】直线过定点，直线过定点， 因为两直线始终保持相互垂直， 因此交点的轨迹是以为直径的圆，且为圆心，半径，如下图所示： 由于不包含直线，不包含直线， 所以点轨迹不经过点， 圆上的点到点距离最大值为， 此时点的位置不在处，满足题意，故的最大值为. 故选：B. 7．（25-26高二上·福建莆田·期中）对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 【答案】A 【分析】利用圆的一般方程及点与圆的位置关系的判定方法，结合直线与圆的位置关系的判定方法即可求解. 【详解】对于A，B，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确，B错误； 对于C，D，由得，所以圆的圆心为，半径为，故C，D错误. 故选：A. 8．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据圆的对称性得出圆心在直线上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可. 【详解】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或. 故选：C 9．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）（多选）已知表示圆，则下列结论正确的是（     ） A．k的取值范围为 B．圆心坐标为 C．当k时，半径 D．当k时，圆面积为 【答案】AC 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以，故的取值范围为，A正确； 由圆的标准方程知圆心为，半径为，故B错误； 当时，半径为，C正确； 当时，半径为，圆面积为，D错误． 10．（25-26高二上·福建福州·期末）（多选）已知点都在圆上，点，则（    ） A．线段是圆的直径 B．圆的方程为 C．对于任意，圆上都存在点，使得 D．若在圆外，则的取值范围是 【答案】AB 【分析】根据已知的三点坐标确定圆的标准方程，利用圆心和半径的性质判断直径关系，从而验证选项A和B，选项C，通过向量垂直的条件转化为圆的交点问题，结合几何特征分析存在性；选项D，利用点与圆的位置关系转化为距离不等式求解参数范围. 【详解】设圆的方程为，， 由三点，，在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为， 故圆的方程为，圆心为，半径， 对于A，线段的中点为，与圆心重合，所以线段是圆的直径，故A正确； 对于B，由上述计算可知，圆的方程为，故B正确； 对于C，若时，点与点不重合， 对于圆上一点，若，则， ，， 则，化简得，此为过原点的圆， 点P为圆与该圆的交点，两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 当时，，此时或， 即满足的点只有和，故此时不存在满足条件的点， 因此，命题“对于任意，圆上都存在点，使得”为假命题，故C错误； 对于D，点在圆外，则点D到圆心的距离大于半径，即， 解得，即，解得或，故D错误. 故选：AB 11．（2026高三上·陕西咸阳·专题练习）（多选）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则以下结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．点的轨迹为整个圆 C．点到直线的距离的最大值为 D．点在圆上 【答案】ACD 【分析】先根据两条直线的方程可得两个定点的坐标及，进而可判断P点在一个圆上，但不包括直线；不包括直线，所以不存在m使得P点为，从而判断BCD选项，对A选项则用基本不等式可得结果. 【详解】动直线过定点，动直线过定点， 又因为时，与互相垂直，时，， 所以对，总有，即，所以点P在以为直径的圆上， 圆心为，半径为，如图：     所以圆的方程为,即， 所以点在圆上，故D正确； 所以点到直线的距离的最大值为圆的半径，C正确； 又因为不能表示过点的直线； 直线不能表示过定点的直线， 而直线与直线的交点为点，该点在圆上， 但不存在m使得P点为，故点P的轨迹不是整个圆，故B错误； 又因为，当且仅当时等号成立， 即的最大值为，A正确. 故选：ACD. 12．（25-26高二上·湖南永州·期中）若是一个圆的方程，则圆心的坐标_____. 【答案】/ 【分析】根据题意，把圆的方程化为圆的标准方程，即可求得圆心坐标，得到答案. 【详解】由圆的方程，可化为， 所以圆的圆心坐标为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·上海·期末）圆的圆心在第三象限，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】将一般方程配方后得标准方程，结合圆心在第三象限得关于的不等式组，从而可求其范围. 【详解】由题可得：圆的方程为：， 圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故答案为：. 14．（2026·上海静安·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为_____________ 【答案】 【分析】以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据两点间的距离公式，求出圆的方程，再数形结合，求出结果. 【详解】 如图所示，以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则， 其中可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以， 所以，即的最大值为. 故答案为： 15．（2026高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 16．（25-26高二上·浙江温州·阶段检测）已知圆过点，，且圆心在直线：上 (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程； (3)若为圆上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可求线段的中垂线方程，联立直线方程可得圆心，进而可得半径与圆的方程； （2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，求点关于直线的对称点，求出直线即为； （3）设， 得到，问题转换成到距离的最小值，即可求解. 【详解】（1）    由，，得直线的斜率为，线段中点， 所以，直线的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆的方程为； （2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心， 设点关于直线的对称点， 则直线与直线垂直，且线段的中点在上， 即，解得， 所以， 所以直线即为直线，且， 直线方程为，即； （3）设， 则 其中表示到距离的平方， 将代入，即在的内部， 由圆心到的距离为，圆的半径为， 所以到距离的最小值为， 所以的最小值为， 所以的最小值 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $