2.3.1 两条直线的交点坐标 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择必修第一册

 2.3.1　两条直线的交点坐标

 选择性必修第一册　第二章　直线和圆的方程

[学习目标]

1．会用解二元一次方程组的方法求两条直线的交点坐标，能由方程组解的组数判断两条直线的位置关系。

2．会用一般式方程的系数判定两条直线相交、平行还是重合，会处理直线斜率不存在的情形。

3．会求经过两条直线交点的直线方程，能用直线系方程简化运算，会处理三条直线共点与含参直线过定点问题。

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 1．两条直线的交点坐标

图 1 中，直线 与 交于点 。把 的坐标分别代入两个方程：，，两个等式都成立，说明交点的坐标同时满足两条直线的方程。

图 1: 与 交于点 ，点 的坐标适合两个方程

(1) 已知两条直线 与 ，设它们的交点为 ，则点 既在 上，也在 上，点 的坐标就是方程组

的。求两条直线的交点坐标，就是解由它们的方程组成的二元一次方程组。

(2) 点 是 与 的交点，当且仅当 、 同时两个方程，即 且 。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 点 (1,2) 是直线 与 的交点。（　　）

(2) 若点 的坐标满足直线 的方程，则点 就是 与 的交点。（　　）

 2．方程组解的组数与两条直线的位置关系

图 2 中，直线 与三条直线分别画在一起：与 只有一个公共点 (2,1)；与 没有公共点；与 有无数个公共点（ 的方程两边同除以 2 就是 的方程，图中用红色虚线叠画在 上）。这三种位置关系对应着方程组的三种解的情况。

图 2: 与 相交于点 ，与 平行，与 （红色虚线）重合

(1) 方程组有唯一解 两条直线有公共点 两条直线相交；方程组无解 两条直线公共点 两条直线平行；方程组有无数组解 两条直线有无数个公共点 两条直线。

判断

(1) 平面内两条直线的位置关系只有相交与平行两种。（　　）

(2) 若由两条直线方程组成的方程组有无数组解，则这两条直线重合。（　　）

 3．用一般式的系数判定两条直线的位置关系

图 2 的三种位置关系可以不画图、只比较系数得到。把两个方程分别记作 ① 、② ，用 ① 乘 减去 ② 乘 消去 ，得

当 时， 只能取一个确定的值，方程组有唯一解；当 而 时，上式成为 0 等于一个非零数，方程组无解。

(1) 记 ，，。两条直线相交 0；两条直线平行 且 、不全等于 0；两条直线重合 、、等于 0。

(2) 用图 2 检验： 与 的系数依次是 (1,2,−4) 与 (2,−1,−3)，算得 ，故相交； 与 的系数依次是 (1,2,−4) 与 (1,2,2)，算得 且 ，故平行。

 提醒： 系数判据对斜率不存在的直线同样适用；只比较斜率会漏掉竖直直线，必须先讨论斜率是否存在。

判断

(1) 直线 与直线 平行。（　　）

(2) 两条直线相交的充要条件是这两条直线的斜率都存在且不相等。（　　）

 4．经过两条直线交点的直线

图 3 画出 与 的交点 ，以及另外三条同样经过 的直线 、、。经过一个定点的直线有无数条，所以只知道“经过两条直线的交点”还不能确定一条直线，必须再给一个条件，例如再过另一个点、与某条直线平行或与某条直线垂直。

图 3: 灰色虚线为 、，三条实线 、、 都经过交点

(1) 待定系数法（先求交点）分两步：第一步解方程组，求出两条直线的坐标；第二步按附加条件设出直线方程（点斜式、斜截式或一般式），再把另一个条件代入确定待定系数。

(2) 直线系法：经过两条相交直线 与 交点的直线系方程为

它表示经过该交点的一束直线，但表示直线 本身，所以用直线系解题时，所求直线有可能恰为 ，需要单独检验。

 提醒： 用直线系解题时若关于 的方程无解，往往说明所求直线正是被排除的 ，此时要把 的方程单独拿来检验。

判断

(1) 经过两条相交直线交点的直线有且只有一条。（　　）

(2) 经过点 的直线都可以写成 的形式。（　　）

(3) 两条直线相交时，直线系方程中每取一个实数 ，都得到一条经过该交点的直线。（　　）

 5．三条直线共点与含参直线过定点

图 4 中三条直线 、、 都经过同一个点 。把 (2,1) 依次代入三个方程的左边：2+1−3=0，，，三个等式都成立，即 的坐标是这三个方程组成的方程组的解，称这三条直线相交于同一点，简称共点。