2.3.2两点间的距离公式教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.2 两点间的距离公式

——人教A版高中数学选择性必修第一册 2.3.2 教学设计

一、教材与学情分析

（一）教材分析

本节是选择性必修第一册第二章「直线和圆的方程」2.3节「直线的交点坐标与距离公式」的第2课时。教材在学生已会用方程求两条直线交点的基础上，从“如何度量平面内两点间的距离”这一基本问题出发，引导学生构造直角三角形，借助勾股定理推导出两点间的距离公式，并通过例题介绍坐标法在探求等距点、证明平面几何命题中的应用。

本节内容承上启下：两点间的距离公式既整合了前面直线方程与交点的知识，又是后续学习圆的方程、研究点与圆及直线与圆位置关系的重要工具；坐标法所体现的“几何问题代数化”思想，是解析几何的核心思想方法，将贯穿后续整个解析几何的学习。

（二）学情分析

学生已掌握直线的倾斜角、斜率与直线方程，能熟练建立平面直角坐标系并用坐标表示点，具备勾股定理等初等几何基础；上一课时刚学习了求两条直线的交点坐标，初步体会到用代数方法处理几何问题的便利。但学生对坐标法“建系—表示—运算—还原”的完整流程还缺乏系统体验，在含字母参数的运算中容易出现符号错误，平方展开与开方化简的规范性也需要在推导与证明活动中重点训练。

二、教学目标

依据课程标准和学情，围绕数学核心素养设置本课教学目标：

1. 数学抽象：经历由特殊到一般的过程，抽象概括出平面上两点间的距离公式，能用公式计算任意两点间的距离，发展数学抽象素养。

2. 逻辑推理：通过构造直角三角形并运用勾股定理推导距离公式，体会“化斜为直”的转化策略；能用坐标法证明简单的平面几何命题，发展逻辑推理素养。

3. 数学运算：能正确、熟练地运用距离公式进行运算，能求解含参数的距离问题，规范书写推导与化简过程，提高运算求解能力。

4. 直观想象：在构造直角三角形、建立坐标系的过程中，实现“图形”与“坐标”的相互转化，发展直观想象素养。

三、教学重难点

1. 教学重点：两点间的距离公式及其应用；坐标法解决问题的基本步骤。

2. 教学难点：分情形讨论两点连线与坐标轴平行、不平行等情况，完整推导距离公式；用坐标法把几何证明转译为规范的代数运算。

四、教学准备

多媒体课件、几何画板动态演示（构造直角三角形的过程）、坐标方格纸、无人机配送航图（图1）、距离公式推导示意图（图2）、平行四边形建系图（图3）、课堂任务单。

五、教学过程

（一）环节一：情境导入（约4分钟）

【设计意图】以2026年快速发展的低空经济和无人机物流配送为情境，让学生感受“两点之间线段最短”与坐标度量的现实需求，在“沿网格飞”与“直线飞”的路程对比中产生认知冲突，自然引出课题。

师：同学们，2026年我国低空经济持续升温，越来越多城市开通了无人机配送航线。某配送站点位于航图上的点A(1,1)，要向网格中点B(5,4)处的驿站投送包裹（如图1）。若无人机沿网格航线先水平飞行再垂直飞行，路程是多少？若直接沿直线航线飞行，飞行的距离又是多少？

生：沿网格航线飞行，水平走4个单位、垂直走3个单位，路程是4+3=7（单位）；直线航线“斜着飞”，距离一下子说不好。

师：说不好，正是因为我们还没有一个用坐标计算两点间距离的一般方法。今天我们就来解决这个问题——两点间的距离公式。（板书课题）

【教学细节】此处不急于给出公式，先让学生在方格纸上数格子、估长度，体会“水平、垂直可度量，斜向难以度量”的矛盾，为“化斜为直”的构造埋下伏笔。

图1  无人机配送航线示意

（二）环节二：由特殊到一般——距离公式的推导（约12分钟）

【设计意图】从两点连线与坐标轴平行的特殊情形入手，再构造直角三角形处理一般情形，最后把特殊情形纳入公式统一检验，让学生完整经历“特殊—一般—回归特殊”的推导过程，渗透分类讨论思想。

师：先看特殊情形。若A(2,3)，B(5,3)，两点连线平行于x轴，距离是多少？

生：纵坐标相同，距离就是|5−2|=3。

师：若C(4,−1)，D(4,3)呢？

生：横坐标相同，连线平行于y轴，距离是|3−(−1)|=4。

师：一般地，平面内任意两点与连线不与坐标轴平行时，怎么办？请大家在任务单上过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，看看能构造出什么图形。

生：两条直线交于点，得到直角三角形，直角在点Q处（如图2）。

师：两条直角边的长度分别是多少？

生：，。

师：由勾股定理，请写出斜边长度的表达式并化简。

生：。

由于距离是非负数，两边开算术平方根，就得到两点间的距离公式：

师：请检验，当两点连线与坐标轴平行时，公式是否仍然成立？