精品解析：宁夏固原市第二中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

固原二中2026—2027学年第一学期高一年级前期考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据常用数集的概念进行判断即可. 【详解】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求，再求交集即可得解. 【详解】因为集合，所以， ． 故选：A． 3. 如果命题p：，，则为（ ）． A. ：， B. ：， C. ：， D. ：， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称求解即可. 【详解】解：命题p：，，是全称命题， 所以为：：， 故选：C 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可求得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 因此，函数的定义域为. 故选：D. 5. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为， 所以， 当，即时，等号成立， 联立，得， 所以当时，的最小值为. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先对不等式进行移项并通分，再将不等式等价为且，进而根据不等式性质进行求解即可. 【详解】由，移项得：，通分可得：， 因此原不等式可等价为且. 当时，即时，满足，此时解得：； 当时，即时，满足，此时无解. 综上可得不等式的解集为. 7. 二次函数（a，b，c为常数且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴的位置、在纵轴的交点坐标的正负判断的正负性，再结合反比例函数、一次函数的图象特征逐一判断即可. 【详解】由二次函数的图象可知：开口向上，因此；对称轴为， 当时，； 因为，所以反比例函数的图象在二、四象限，排除BC； 因为，，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，故排除D， 故选：A 8. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数为增函数的性质并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可． 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，，解得，所以实数的取值范围是． 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AC，利用特例法判断B，利用作差法判断D. 【详解】对于A，可知，不等式两侧同乘以，有，故A正确； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，由，知，，由不等式同向可加性的性质知C正确； 对于D，利用作差法知，由，， 知，，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列有关命题的叙述：其中正确的是（ ） A. 空集是任何集合的真子集 B. 若为假命题，则为真命题 C. 是的必要不充分条件 D. 集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项，根据真子集的定义即可判断；对于选项，根据原命题与命题的否定的真假性关系即可判断；对于选项，利用充分条件与必要条件的定义，结合集合的包含关系即可判断；对于选项，将集合的子集个数问题转化为方程实数根的个数问题，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】对于选项，空集是任何非空集合的真子集，故错误； 对于选项，因为命题的否定与原命题的真假性相反，若为假命题，则必然为真命题，故正确； 对于选项，因为必然能推出，但推不出，如.即  ，所以是的必要不充分条件，故正确； 对于选项，因为一个含有个元素的集合，它的子集个数为，集合有且仅有个子集，则集合中只有个元素，即方程只有个实数根. 当时，方程化为，解得，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，需满足，解得. 此时的取值为或，故错误. 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据的解集为得到且-3,4是的两个根；BC选项，根据-3,4是的两个根得到，然后解方程即可；D选项，根据和判断的正负即可. 【详解】因为的解集为， 所以且是的两个根， 则，整理得，故A错； 不等式可整理为， 因为，所以，解得，故B正确； 不等式可整理为， 因为，所以，即，解得，故C错； ，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 函数，则______． 【答案】3 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以. 13. 某校高一年级共有40名同学参加学科竞赛培训，其中参加数学竞赛的有25人，参加物理竞赛的有18人，参加化学竞赛的有14人．已知每人至多参加两项培训，且同时参加数学和物理竞赛的有7人，同时参加物理和化学竞赛的有5人，则同时参加数学和化学竞赛的有________人． 【答案】5 【解析】 【详解】设同时参加数学和化学竞赛的有人， 由Venn图可知：只参加数学竞赛的有人，只参加化学竞赛的有人， 可得，解得， 所以同时参加数学和化学竞赛的有5人. 14. 设函数，．用表示，中的较大者，记为，则的最小值_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出的函数图象，根据函数图象求解出的最小值. 【详解】因为是一次函数，且单调递增， 开口向上，对称轴为， 令，解得或， 作出的图象（实线部分）如图所示， 由图象可知，当时，有最小值，此时， 故答案为：. 四、解答题（共5小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数，且. （1）求实数a的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明. 【答案】（1） （2）增函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据，由求解； （2）利用单调性的定义证明. 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∴； 【小问2详解】 函数在上是增函数. 任取，不妨设， 则， ， ∵且， ∴，，， ∴，即， ∴在上是增函数. 16. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件得到，再由集合间的关系，即可求解. 【小问1详解】 当时，，又，所以， 又或，所以. 【小问2详解】 因为，则，又， 当，即时，，符合题意， 当时，，由，得到，解得， 所以实数的取值范围为或. 17. 已知二次函数的图象过点，且， （1）求的解析式： （2）若函数在上单调，求的取值范围： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可得二次函数解析式； （2）结合二次函数的单调性判断参数取值范围. 【小问1详解】 由已知可设二次函数， 又图象过点，且，， 则，解得， 即； 【小问2详解】 由（1）得， 则， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调， 则，即，； 或，即，； 综上所述，的取值范围为. 18. 某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）． （1）该店从第几年开始盈利？ （2）若干年后，该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出设备，请问总获利为多少？（总获利盈利总额设备卖出价格） 【答案】（1）第二年 （2）万元 【解析】 【分析】（1）由已知条件得出的解析式，解不等式，结合可得出结论； （2）设年平均利润为，利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，结合题意可求出总获利. 【小问1详解】 由题可知， 若开始盈利即，所以，解得， 因为，所以第二年开始盈利. 【小问2详解】 设年平均利润为，则 当且仅当，即时等号成立， 当时，最终获利万元． 19. 已知二次函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2） （3）①当时，解集为， ②当时，解集为， ③当时，解集为. 【解析】 【分析】代入得到一元二次不等式，求出方程的根，结合开口方向写出解集； 二次函数恒非负，开口向上，利用求解参数范围； 整理不等式，由判断二次项系数符号，因式分解求根并比较大小，结合开口写出解集. 【小问1详解】 当时，不等式为， 因式分解得， 解得， 不等式解集为. 【小问2详解】 对一切实数恒成立， 二次函数开口向上，则， ， ，，即， 的取值范围是. 【小问3详解】 原不等式 ， 移项整理： ， ， ，， 不等式两边同除以，不等号方向不变： ， 因式分解：， 两根为， ①当时，， 解集为， ②当时，不等式变为， 解集为， ③当时，， 解集为. 综上，①当时，解集为， ②当时，解集为， ③当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固原二中2026—2027学年第一学期高一年级前期考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如果命题p：，，则为（ ）． A. ：， B. ：， C. ：， D. ：， 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 二次函数（a，b，c为常数且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下列有关命题的叙述：其中正确的是（ ） A. 空集是任何集合的真子集 B. 若为假命题，则为真命题 C. 是的必要不充分条件 D. 集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 函数，则______． 13. 某校高一年级共有40名同学参加学科竞赛培训，其中参加数学竞赛的有25人，参加物理竞赛的有18人，参加化学竞赛的有14人．已知每人至多参加两项培训，且同时参加数学和物理竞赛的有7人，同时参加物理和化学竞赛的有5人，则同时参加数学和化学竞赛的有________人． 14. 设函数，．用表示，中的较大者，记为，则的最小值_____． 四、解答题（共5小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数，且. （1）求实数a的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明. 16. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知二次函数的图象过点，且， （1）求的解析式： （2）若函数在上单调，求的取值范围： 18. 某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）． （1）该店从第几年开始盈利？ （2）若干年后，该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出设备，请问总获利为多少？（总获利盈利总额设备卖出价格） 19. 已知二次函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $