精品解析：宁夏固原市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

宁夏固原一中2026-2027学年高一上学期月考一 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷上作答无效． 3．非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定求解即可. 【详解】由全称命题的否定知， ，的否定是，， 故选：B 2. 已知，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 与有关 【答案】A 【解析】 【详解】，故 3. 已知函数，且，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用配凑法可求得，代入可构造方程求得结果. 【详解】，， ，解得：. 故选：D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 5. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，结合集合计算即可得. 【详解】由题意可得：， 可得，所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 6. 若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和讨论，求解的取值范围后取并集. 【详解】分情况讨论： 当时，不等式化为，符合题意； 当时，为二次函数， 命题为真则二次函数需满足 开口向下，即； 且函数图像与轴至多有一个交点，即， 即， 化简得，解得， 结合，得的取值范围为， 综上，的取值范围为. 7. 对于实数，，定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求两条直线的交点把定义域分段，再在每一段上写出对应的表达式，由各段的单调性求最大值. 【详解】由的定义知，取与中较小的那个. 令得，此时两个式子的值都为. 当时，，故， 它在上单调递增，最大值为； 当时，，故， 它在上单调递减，最大值也为. 所以该函数的最大值为. 8. 设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四组函数中表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据两个函数的定义域与对应法则均相同为同一函数判断.，逐一分析即可． 【详解】解：对于，函数的定义域为R，的定义域为，与的定义域不相同，则不是同一函数； 对于B，函数的定义域为R，的定义域为R，与的定义域相同， 对应关系相同，则与是同一函数； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为， 与的定义域不相同，则不是同一函数； 对于D，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数． 故选：BD． 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 当时，的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD 11. 设为非空集合，定义集合的运算，则以下正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则} C. 若，非空集合满足，则 D. 若非空集合满足，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，由不等式的性质即可判断；对于C，由集合相等的概念即可判断；对于D，令即可判断. 【详解】对于A，若，，则， 所以，，故A正确； 对于B，若，，则， 所以，所以，故B错误； 对于C，设，，则， 所以只能，解得，所以，故C正确； 对于D，若， 则对任意非空集合，总有，所以不一定有，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用分式的分母不等于0．偶次根式的被开方数大于或等于0，列不等式组求得自变量的取值范围即可． 【详解】要使函数有意义， 则， 解得且，， 故函数的定义域为， 故答案为：． 13. 我校数、理、化竞赛时，高一某班有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有名，只参加数、物两科的有名，只参加物、化两科的有名，只参加数、化两科的有名若该班学生共有名，则没有参加任何竞赛的学生共有__________名. 【答案】 【解析】 【分析】根据韦恩图，分别求出单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生. 【详解】由韦恩图知： 因为有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有名，只参加数、化两科的有名， 只参加数、物两科的有名，只参加物、化两科的有名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有人， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人． 故答案为：10. 14. 已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的逻辑关系推出是的真子集，分为空集、非空集两类列不等式求解后合并范围. 【详解】 由“是的充分不必要条件”，可得 ，分两类讨论： 当时，空集是任意非空集合的真子集，满足 ，此时区间左端点大于右端点： ，解得； 当时，需同时满足非空、的所有元素均属于，列不等式组 ，解第一个不等式得，解第二个不等式得，解第三个不等式得，取交集得， 由于与无法同时成立，故该区间内的取值均满足 ， 综上，的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）求集合的所有真子集． （2）求集合、． 【答案】（1）的所有真子集为：. （2）或;. 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 所以集合的真子集为 . 【小问2详解】 因为，， 所以，或， 故或， 又，故. 16. 已知集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据元素与集合的关系建立方程，求解即可； （2）由已知得，分为，分别求解即可. 【小问1详解】 解：由得，即， 解得； 【小问2详解】 解：因为，所以， 由知可能为； ①当=，即无解，所以， 解得； ②当，即有两个等根为0，所以依据韦达定理知所以无解； ③当，即有两个等根为，所以依据韦达定理知所以无解； ③当，即有两个根为0，，所以依据韦达定理知解得； 综上，或. 17. 已知函数的解析式为 （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）求的值 （3）解不等式 【答案】（1），最大值为4 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【小问1详解】 根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． 【小问2详解】 ，，， 即. 【小问3详解】 当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）分析可知，且关于的方程的两根分别为、，解方程，根据题意可得出关于、的等式，解之即可； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合一次不等式、二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为，则， 且关于的方程的两根分别为、， 由得，解得或， 由题意可得，故. 【小问2详解】 不等式即为， 当时，不等式即为，解得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，， （i）当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解； （ii）当时，即当时，解原不等式可得； （iii）当时，即当时，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，当且仅当，即时，等号成立则最小值为． （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设都是正数，求证：； （ii）已知，且，求的最小值． 【答案】（1） 李雷的解法错误，韩梅梅的解法正确， 李雷的解法中用了2次基本不等式，一次是，等号成立的条件是，，即 第二次是，等号成立的条件是，，即， 这与矛盾，所以两根等号不能同时取到，所以最小值也不正确； （2） （ⅰ）由基本不等式可知，，，， 所以， 即， 等号成立的条件是当且仅当，即时，等号成立， 所以. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）李雷用了2次基本不等式，需判断2次等号成立的条件是否成立； （2）（ⅰ）利用基本不等式即可证明；（ⅱ）由条件变形为，再将转化为关于的式子，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由已知，且， 则，即， 所以， ， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是掌握基本不等式的条件“一正，二定，三相等”，最后一问的关键是转化思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏固原一中2026-2027学年高一上学期月考一 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷上作答无效． 3．非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 与有关 3. 已知函数，且，则实数等于（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A. B. C. D. 6. 若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 对于实数，，定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四组函数中表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 当时，的最大值是 11. 设为非空集合，定义集合的运算，则以下正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则} C. 若，非空集合满足，则 D. 若非空集合满足，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______. 13. 我校数、理、化竞赛时，高一某班有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有名，只参加数、物两科的有名，只参加物、化两科的有名，只参加数、化两科的有名若该班学生共有名，则没有参加任何竞赛的学生共有__________名. 14. 已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）求集合的所有真子集． （2）求集合、． 16. 已知集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数的解析式为 （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）求的值 （3）解不等式 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）求关于的不等式的解集． 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，当且仅当，即时，等号成立则最小值为． （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设都是正数，求证：； （ii）已知，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $