第1-5章 阶段测试卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年九年级第1~5章阶段测试题 满分：120分 建议时间：120分钟 测试范围：北师大版九年级上册第1-5章全部内容 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组线段是成比例线段的是（     ） A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，3，4，5 D．2，6，3，9 2．如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 3．能判定的条件是（    ） A． B．， C．， D．， 4．如图，是菱形的对角线，点E、F分别在、上，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个正实数根 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．阳马（即角梁）是中国古建筑构件，也是中国古代算术中的一种几何形体．它是底面为长方形，侧面两个直角三角形与底面垂直的四棱锥．如图是“阳马”的示意图，则该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知竿的长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出尺；竖放竿比门高长出尺，斜着放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程（     ） A． B． C． D． 9．已知抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是 C．方程有两个不相等的实数根 D．当时，随增大而减小 10．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取，的中点，，连接；以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点；作，交的延长线于点，则下列矩形是黄金矩形的是（     ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线、相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是_______． 13．如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 14．若点和点都在抛物线上，则________．（填“”“”或“”） 15．在正方形中，点M、N分别是、边上的中点，连接，交于点O，连接．若，则的长为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解下列一元二次方程 (1) (2) 17．（8分）下面是小明解一元二次方程的过程，阅读并解决问题： 解方程：． 解：两边都除以，得．……………………………第一步 整理，得．………………………………………………………第二步 所以．……………………………………………………………第三步 任务： (1)小明从第________步开始出现错误，产生错误的原因是_______________． (2)原方程正确的解为______________________． (3)解方程：． 18．（7分）如图，在中，，分别是，边上的点，且满足． (1)求证：； (2)若，，，求． 19．（8分）项目性学习 项目背景：山西省古建筑众多，某校九年级数学实践小组学习了《图形的相似》后，利用夜晚灯光，测量平遥古城迎薰门城楼的高度，形成了如下实验报告： 项目主题 灯光下测量平遥古城迎薰门城楼的高度 驱动任务 借助灯光实地采集数据，运用图形的相似完成高度测量 测量图形 测量说明 1．表示迎薰门城楼的高度，所在的直线表示水平地面，，点，，从左到右依次排在地面上．点为城楼顶端的灯泡的位置． 2．为标杆，为学生高度，且，． 3．学生左、右移动位置，使点，，恰好在同一条直线上 测量数据 经测量得米，米，米，米 反思 … 请根据表格中的数据，求迎薰门城楼的高度（结果精确到米）． 20．（9分） 老师的问题： 如图，已知中，是上的中线，求作平行四边形．    小丽的做法： （1）取的中点； （2）连接并延长到点，使； （3）连接，； 则四边形即为所求作的平行四边形．    (1)请根据小丽的作法，证明四边形是平行四边形； (2)小丽继续思考： ①当满足_______________时，平行四边形是矩形； ②当满足________________时，平行四边形是菱形； 请从①，②中选择其一，先添加条件，再证明． （注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 21．（10分）阅读与思考 利用对称性完成单尺作图 数学课上，老师和同学们一起对“利用对称性完成单尺作图”问题进行了探讨． 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、一条射线、或者连接线段，延长已知线段． 问题1：如图，在平行四边形中，E是边上一点．现要用单尺作图，求作平行四边形，且点F在上． 分析：平行四边形是中心对称图形，且▱与▱有公共的对称中心． 勤学小组的作法：①连接相交于点O；②连接并延长交于点F；③连接，即为所求． 问题2：已知菱形中，点E是边上一点．现要用单尺作图，在边上求作一点F，使． 分析：菱形是轴对称图形，对角线所在的直线就是它的一条对称轴．因为，所以点E与点F也关于直线对称． 善思小组的作法：①连接；②连接交于点P；③连接并延长交于点F，点F即为所求． 反思：以上作图都利用了图形的对称性，这种方法可以迁移到其他对称图形的作图中． 任务一：推理解释 (1)借助图2，证明勤学小组作出的四边形是平行四边形． 任务二：类比操作 已知菱形，请仅用无刻度直尺按照下面要求作图．（要求保留作图痕迹，不写作法） (2)如图5，点M，N分别为的中点，求作一个矩形，使P，Q分别在边上； (3)如图6，点M为边上一点，求作一个矩形，使得N，P，Q分别在上． 22．（12分）综合与实践 【项目背景】玉米是重要的粮食作物，科学合理施肥能有效提高玉米的产量与种植收益．某农作物种植研究团队对玉米产量与钾肥施用量的关系进行试验研究．为实现利润最大化，该团队通过市场调研，建立销售收入、种植成本与钾肥施用量的函数模型，优化种植策略． 【信息收集】 信息1：该试验中每亩玉米的钾肥施用量（公斤）的取值范围是． 信息2：每亩玉米的销售收入（元）与钾肥施用量（公斤）之间的关系如下表所示： 钾肥施用量（公斤） 0 5 销售收入（元） 信息3：经市场调查，每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系，如果不施用钾肥，那么每亩玉米的种植成本为m元；如果钾肥施用量为公斤，那么每亩玉米的种植成本为元． 信息4：每亩玉米的销售利润为w元，． 【建立模型】 (1)根据信息2可知，销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）满足 函数关系（选填“一次”、“二次”、“反比例”），其函数解析式为 ． (2)当时，解决下列问题： ①每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式为 . ②若每亩玉米的销售利润为元，求每亩玉米的钾肥施用量． (3)当每亩玉米的钾肥施用量为公斤时，销售利润最大，请通过计算确定m的值． 23．（13分）综合与探究 如图，四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． (1)如图1，当点E是线段的中点时，以为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； (2)如图2，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段于点F，以为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，请证明你的结论，如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连接．试探究的数量关系，直接写出结论． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A C C C A C A 1．D 【详解】解：A．，四条线段不是成比例线段； B． ，四条线段不是成比例线段； C． ，四条线段不是成比例线段； D．，四条线段是成比例线段． 2．D 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查相似三角形的判定，需熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似等是解题的关键．据此逐一分析选项即可求解． 【详解】解：A、三边对应成比例但对应边匹配错误，应为才能判定相似，故A错误． B、与、与不是对应角，不满足两角分别相等的判定条件，故B错误． C、，但与不是这两组边的夹角，不满足两边对应成比例且夹角相等的条件，故C错误． D、，且（是与的夹角，是与的夹角）， 满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，则，故D正确． 故选：D． 4．A 【分析】根据菱形和平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 5．C 【详解】解：在方程中，，，， ∵， ∴方程没有实数根． 6．C 【分析】根据二次函数图象确定 a，b的符号，再验证一次函数图象是否一致． 【详解】解：A、由二次函数图象可知，对称轴，则，由一次函数图象可知， 即 ，矛盾，故A选项不符合题意； B、由二次函数图象可知，对称轴，则，由一次函数图象可知， 即 ，矛盾，故B选项不符合题意； C、由二次函数图象可知，对称轴，则，由一次函数图象可知， 即 ，一致，故C选项符合题意； D、由二次函数图象可知，对称轴，则，由一次函数图象可知， 即 ，矛盾，故D选项不符合题意． 7．C 【详解】解：该几何体的左视图是 ． 8．A 【分析】将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理列方程． 【详解】解：设门对角线长为尺，则竿长为尺，门宽为尺，门高为尺， ∵门的宽、高与对角线构成直角三角形，对角线为斜边， ∴根据勾股定理，得． 9．C 【分析】由抛物线顶点式确定开口方向、对称轴，结合方程根的判定与二次函数的增减性，判断各选项即可． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为， ∴ ，抛物线开口向下，对称轴为直线，故选项、均错误，不符合题意； 令， 整理得， ∵ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根，故选项正确，符合题意； ∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，随增大而增大， 又∵ ， ∴ 当时，随增大而增大，故选项错误，不符合题意． 10．A 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得的长，再根据求得的长，最后判断各个矩形的长宽比即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 取，的中点，， ， 根据勾股定理可得， ， ， 在矩形中，，符合黄金矩形的定义； 在矩形中，，不符合黄金矩形的定义； 在矩形中，，不符合黄金矩形的定义； 在矩形中，，不符合黄金矩形的定义． 11． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程，若，是它的两个实数根，根据根与系数的关系可得，， 本题中一元二次方程为，可得，，， 代入得，， 将上述结果代入得． 12． 【分析】根据四边形是正方形，对角线、相交于原点,结合正方形性质得点、点关于原点对称，再根据关于原点对称的点的特点即可得点的坐标. 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形，对角线、相交于原点, ∴点、点关于原点对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是. 13． 【详解】解：∵点的坐标为，且以原点为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点在第一象限的对应点的坐标为，即为． 14． 【分析】开口向下的抛物线，距离对称轴越远的点的纵坐标越小，据此求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下， 故距离对称轴越远的点的纵坐标越小， ∵， ∴． 15． 【分析】先由正方形性质和中点条件，通过证，推得；再作辅助线，用证，结合求出相关线段长，最终在中由勾股定理计算的长度． 【详解】解：在正方形中，，， ∵、分别为、中点， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． ∴， ∴， 过点作于点，如图： ∴， ． 又∵， ， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴ 解得，， ∴，． ∴， 在中，． 16．(1)， (2)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解： ∵， ∴， ∴， 解得，． 17．(1)一；方程两边同时除以，没有考虑等于0的情况 (2) (3) 【分析】（1）根据等式的性质可知，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立，第一步没有考虑等于0的情况； （2）（3）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18．(1)证明：，， ． (2)48 【分析】（1）根据有两个角相等的三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形面积比等于相似比的平方，再利用图形间的面积关系即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ， ， ， ． 19．迎薰门城楼的高度约为米 【分析】作辅助线，结合已知垂直条件，先证明四边形与四边形为矩形，得到对应线段长度；再证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出，最后求出． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ，， ． ， ． ，，， 四边形四个内角都是直角． 四边形是矩形． 米，米． ，， ，即． ，， ． ，， 四边形四个内角都是直角． 四边形是矩形． 米，米． 米， 米． ，， ． ． ． ． 解得米． 米． 答：迎薰门城楼的高度约为16米． 20．(1)证明：如图， ∵是上的中线， ∴是的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2)①当满足时，平行四边形是矩形； 证明：∵，是上的中线， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形； ②当满足时，平行四边形是菱形； 证明：∵，是上的中线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． 【分析】（1）由题意可得是的中点，证明是的中位线，，从而可得，，进而得出，最后由平行四边形的判定定理即可得证； （2）①由等腰三角形的性质可得，即，再结合矩形的判定定理即可得证；②由直角三角形的性质可得，再结合菱形的判定定理即可得证． 【详解】（1）略； （2）略． 21．(1)如图． ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． (2)如图，矩形即为所求； (3)如图，矩形即为所求． 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）分别取的中点P，Q，连接，则分别为的中位线，可得，再结合菱形的性质可得，即可； （3）连接交于点O，连接，延长交于点P，连接交于点K，连接，并延长交于点Q，连接，并延长交于点N，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：理由：连接交于点O，连接，延长交于点P，连接交于点K，连接，并延长交于点Q，连接，并延长交于点N， ∵四边形为菱形， ∴垂直平分，，平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形为平行四边形， ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 22．(1)二次； (2)① ②每亩玉米的销售利润为元时，每亩玉米的钾肥施用量为6公斤或19公斤. (3) 【分析】（1）观察信息2的表格中的数据，即可得销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）满足二次函数关系，设该二次函数的解析式为，选择三组信息2的表格中的数据，代入列出方程组，解出即可得销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）的解析式. （2）①根据不施用钾肥，每亩玉米的种植成本为m元，每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系，再根据，钾肥施用量为公斤，每亩玉米的种植成本为元即可列方程组，解出即可得每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式. ②根据（1）得，再根据（2）①得，再把、代入，化简即可得 ，当每亩玉米的销售利润为元时，，化简后解出即可得每亩玉米的销售利润为元时，每亩玉米的钾肥施用量. （3）根据（1）得，再根据不施用钾肥，每亩玉米的种植成本为m元，结合钾肥施用量为公斤，每亩玉米的种植成本为元即可求出每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）的函数关系，再把、代入，化简即可得，进而得与的满足二次函数关系，开口向下，对称轴为直线，当时，利润有最大值，根据每亩玉米的钾肥施用量为公斤时，销售利润最大，即可得，解出即可得每亩玉米的钾肥施用量为公斤，销售利润最大时，m的值. 【详解】（1）解：观察信息2的表格中的数据，即可得销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）满足二次函数关系，设该二次函数的解析式为，把，；，；，三组数据代入得： ，解得：， ∴， ∴销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）的解析式为. （2）解：①∵不施用钾肥，每亩玉米的种植成本为m元，每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系， ∴可设每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式为， 根据，钾肥施用量为公斤，每亩玉米的种植成本为元可得： ，解得：， ∴， ∴每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式为. ②根据（1）得， 再根据（2）①得：， ∵每亩玉米的销售利润， ∴ ， 当每亩玉米的销售利润为元时， ，化简得：，解得：，， ∵，在的范围内， ∴，都符合题意， ∴每亩玉米的销售利润为元时，每亩玉米的钾肥施用量为6公斤或19公斤. （3）解：根据（1）得， ∵不施用钾肥，每亩玉米的种植成本为m元，每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系， ∴可设每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式为， 根据钾肥施用量为公斤，每亩玉米的种植成本为元可得： ，解得：， ∴， ∵每亩玉米的销售利润， ∴ ， ∴， ∴与满足二次函数关系，开口向下，对称轴为直线， 当时，利润有最大值， ∵每亩玉米的钾肥施用量为公斤时，销售利润最大， ∴，解得：， ∴每亩玉米的钾肥施用量为公斤，销售利润最大时，m的值为． 23．(1)证明：∵四边形为正方形，点E是线段的中点， ∴， ∴矩形是正方形； (2)解：四边形还是正方形，证明如下： 如图所示，过点E作于点Q，于点P， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； (3) 【分析】（1）由正方形的性质得到，据此可证明矩形是正方形； （2）过点E作于点Q，于点P，可证明四边形是正方形，得到；证明，得到，则可证明矩形是正方形； （3）证明，得到，由勾股定理得，则，即． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示， 由（2）知四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，即． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级第1~5章阶段测试题 满分：120分 建议时间：120分钟 测试范围：北师大版九年级上册第1-5章全部内容 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组线段是成比例线段的是（     ） A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，3，4，5 D．2，6，3，9 2．如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 3．能判定的条件是（    ） A． B．， C．， D．， 4．如图，是菱形的对角线，点E、F分别在、上，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个正实数根 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．阳马（即角梁）是中国古建筑构件，也是中国古代算术中的一种几何形体．它是底面为长方形，侧面两个直角三角形与底面垂直的四棱锥．如图是“阳马”的示意图，则该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知竿的长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出尺；竖放竿比门高长出尺，斜着放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程（     ） A． B． C． D． 9．已知抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是 C．方程有两个不相等的实数根 D．当时，随增大而减小 10．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取，的中点，，连接；以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点；作，交的延长线于点，则下列矩形是黄金矩形的是（     ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线、相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是_______． 13．如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 14．若点和点都在抛物线上，则________．（填“”“”或“”） 15．在正方形中，点M、N分别是、边上的中点，连接，交于点O，连接．若，则的长为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解下列一元二次方程 (1) (2) 17．（8分）下面是小明解一元二次方程的过程，阅读并解决问题： 解方程：． 解：两边都除以，得．……………………………第一步 整理，得．………………………………………………………第二步 所以．……………………………………………………………第三步 任务： (1)小明从第________步开始出现错误，产生错误的原因是_______________． (2)原方程正确的解为______________________． (3)解方程：． 18．（7分）如图，在中，，分别是，边上的点，且满足． (1)求证：； (2)若，，，求． 19．（8分）项目性学习 项目背景：山西省古建筑众多，某校九年级数学实践小组学习了《图形的相似》后，利用夜晚灯光，测量平遥古城迎薰门城楼的高度，形成了如下实验报告： 项目主题 灯光下测量平遥古城迎薰门城楼的高度 驱动任务 借助灯光实地采集数据，运用图形的相似完成高度测量 测量图形 测量说明 1．表示迎薰门城楼的高度，所在的直线表示水平地面，，点，，从左到右依次排在地面上．点为城楼顶端的灯泡的位置． 2．为标杆，为学生高度，且，． 3．学生左、右移动位置，使点，，恰好在同一条直线上 测量数据 经测量得米，米，米，米 反思 … 请根据表格中的数据，求迎薰门城楼的高度（结果精确到米）． 20．（9分） 老师的问题： 如图，已知中，是上的中线，求作平行四边形．    小丽的做法： （1）取的中点； （2）连接并延长到点，使； （3）连接，； 则四边形即为所求作的平行四边形．    (1)请根据小丽的作法，证明四边形是平行四边形； (2)小丽继续思考： ①当满足_______________时，平行四边形是矩形； ②当满足________________时，平行四边形是菱形； 请从①，②中选择其一，先添加条件，再证明． （注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 21．（10分）阅读与思考 利用对称性完成单尺作图 数学课上，老师和同学们一起对“利用对称性完成单尺作图”问题进行了探讨． 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、一条射线、或者连接线段，延长已知线段． 问题1：如图，在平行四边形中，E是边上一点．现要用单尺作图，求作平行四边形，且点F在上． 分析：平行四边形是中心对称图形，且▱与▱有公共的对称中心． 勤学小组的作法：①连接相交于点O；②连接并延长交于点F；③连接，即为所求． 问题2：已知菱形中，点E是边上一点．现要用单尺作图，在边上求作一点F，使． 分析：菱形是轴对称图形，对角线所在的直线就是它的一条对称轴．因为，所以点E与点F也关于直线对称． 善思小组的作法：①连接；②连接交于点P；③连接并延长交于点F，点F即为所求． 反思：以上作图都利用了图形的对称性，这种方法可以迁移到其他对称图形的作图中． 任务一：推理解释 (1)借助图2，证明勤学小组作出的四边形是平行四边形． 任务二：类比操作 已知菱形，请仅用无刻度直尺按照下面要求作图．（要求保留作图痕迹，不写作法） (2)如图5，点M，N分别为的中点，求作一个矩形，使P，Q分别在边上； (3)如图6，点M为边上一点，求作一个矩形，使得N，P，Q分别在上． 22．（12分）综合与实践 【项目背景】玉米是重要的粮食作物，科学合理施肥能有效提高玉米的产量与种植收益．某农作物种植研究团队对玉米产量与钾肥施用量的关系进行试验研究．为实现利润最大化，该团队通过市场调研，建立销售收入、种植成本与钾肥施用量的函数模型，优化种植策略． 【信息收集】 信息1：该试验中每亩玉米的钾肥施用量（公斤）的取值范围是． 信息2：每亩玉米的销售收入（元）与钾肥施用量（公斤）之间的关系如下表所示： 钾肥施用量（公斤） 0 5 销售收入（元） 信息3：经市场调查，每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）满足一次函数关系，如果不施用钾肥，那么每亩玉米的种植成本为m元；如果钾肥施用量为公斤，那么每亩玉米的种植成本为元． 信息4：每亩玉米的销售利润为w元，． 【建立模型】 (1)根据信息2可知，销售收入（元）与钾肥施用量x（公斤）满足 函数关系（选填“一次”、“二次”、“反比例”），其函数解析式为 ． (2)当时，解决下列问题： ①每亩玉米的种植成本（元）与钾肥施用量x（公斤）之间的函数解析式为 . ②若每亩玉米的销售利润为元，求每亩玉米的钾肥施用量． (3)当每亩玉米的钾肥施用量为公斤时，销售利润最大，请通过计算确定m的值． 23．（13分）综合与探究 如图，四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． (1)如图1，当点E是线段的中点时，以为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； (2)如图2，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段于点F，以为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，请证明你的结论，如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连接．试探究的数量关系，直接写出结论． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $