精品解析：河北唐山市东方集团（唐山实验，东方学校）2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

唐山东方教育集团 2026-2027 学年高一年级第一学期期中考试 数学试卷 （考试时间：120分钟，试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 自然数满足条件的有，即， 又， 所以. 2. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案 【详解】因为命题p：，是全称命题， 所以命题的否定为，. 故选：A 3. 设，，则有（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作差法即可比大小. 【详解】， 故， 故选：C. 4. 下列各组函数中， 表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】AD选项，两函数定义域不同；B选项，对应法则不同；C选项，定义域和对应法则均相同，为同一函数. 【详解】A选项，的定义域为R，的定义域为， 定义域不同，故不是同一函数，A错误； B选项，的对应法则不同，不是同一函数，B错误； C选项，，为同一函数，C正确； D选项，令，解得，故的定义域为， 令，解得或，故的定义域为， 定义域不同，不是同一函数，D错误. 故选：C 5. 设a为非零实数，则“”是“”的什么条件？（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，一定成立，是充分的；时，或，即不一定成立，不必要，因此应为充分不必要条件． 故选：A． 6. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】当时，，解得，解集不为R，不合要求，舍去； 当时，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：A 7. 函数均为正数），若在上有最大值8，则在上（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】C 【解析】 【分析】设，可求在上的最大值，另外发现为奇函数，根据奇函数的对称性，可以求出在上的最小值，进而可求出在上有最小值． 【详解】设， 则为奇函数，且在上的最大值为3， 所以在上的最小值为， 故在上有最小值． 故选C． 【点睛】考查奇函数的定义，奇函数图象的对称性，是基础题． 8. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，函数取得最小值， 令，则，解得或， 函数在闭区间上最小值为，最大值为， 要取到最小值，需对称轴落在区间内，即， 要保证最大值不超过，区间右端点不能大于，即， 解得， 故的取值范围是. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A和C利用不等式性质即可判断，对B和D举反例即可反驳. 【详解】对A，因为，则两边同乘得，两边同乘得， 则，故A正确； 对B，当时，，故B错误； 对C，因为，则，又因为，所以，故C正确； 对D，举例，则，而， 此时两者相等，故D错误. 故选：AC. 10. 已知全集，，则下列选项正确的为（   ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知有，结合已知交补运算的结果确定、，进而判断各项的正误. 【详解】由题设，又， 所以，，，则的不同子集的个数为个，B对， 由，则，故， 所以，C错，A、D对. 故选：ABD 11. 已知函数满足：任意给定，都有函数关于对称，且任意，，，则下列结论正确的题号是（ ） A. B. 任意给定， C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由单调性的定义和对称性得到函数在上单调递减，在上单调递增，进而可得BC，再由抽象函数的单调性可判断AD. 【详解】任意给定，函数关于对称， 又任意，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取最大值，B正确； ，C错误； ，所以，A正确； 若，则，解得，D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知幂函数 为偶函数，则_______ 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符合题意， 所以. 13. ，，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式中“1”的代换求得，进而，解不等式即可. 【详解】， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 又恒成立，所以， 即，解得， 所以k的取值范围为. 故答案为： 14. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，不等式的解集为____________；若不等式恒成立，则正实数的最小值为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由奇函数的性质求出时的函数解析式，从而可求出不等式的解集，分和三种情况分别根据不等式恒成立计算求解即可. 【详解】设，则，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 即， 所以当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为， ， 因为，所以， 当时，， 因为不等式恒成立，所以，即恒成立， 所以，即； 当时，， 因为不等式恒成立，所以当，恒成立， 即，即，所以； 当时，， 因为不等式恒成立，所以当，恒成立， 即，即，所以； 综上，所以，即正实数的最小值为； 故答案为：；． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，，，求： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【小问1详解】 因为集合，， 所以； 【小问2详解】 因为集合，， 所以． 又因为， 所以； 【小问3详解】 因为集合，， 所以或， 可得或． 16. 已知函数 （1）计算的值； （2）在直角坐标系中，画出函数的图象 （3）若，求实数的值； （4）若直线与函数的图象有3个公共点，直接写出的范围． 【答案】（1）3 （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）嵌套分段函数求值，由内向外逐层代入，每一步都根据自变量范围匹配对应解析式；（2）画分段函数图象需分段处理，二次函数配方定顶点，一次函数定斜率，注意分段点的实心与空心；（3）已知函数值求自变量，按分段定义域分类解方程，解出后必须验证是否符合对应区间；（4）分析直线与分段函数交点个数，结合图象值域与走势，判断参数临界位置与区间. 【小问1详解】 因为，所以， 因此. 【小问2详解】 当时，是开口向上的抛物线，顶点为，过、，保留左侧（含）部分，为实心点， 当时，是斜率为的射线，过（空心点，不含端点），向右下方延伸. 【小问3详解】 因为， 当时，，即，解得，满足； 当时，，解得，满足； 综上，实数的值为或. 【小问4详解】 结合图象走势分析： 抛物线段（）值域为，射线段（）值域为， 当时，抛物线对应2个交点、射线对应1个交点，总计3个公共点， 因此直线与函数的图象有3个公共点时，的取值范围是. 17. 设命题，；命题， （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知 ， 是真命题，则，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 若是真命题，则 ，得， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 若是假命题，则 ， 是真命题， 由 解得，即实数的取值范围是. 18. 上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为. （1）求的解析式； （2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？ 【答案】（1）；（2）分钟. 【解析】 【分析】(1)时，求出正比例系数k，写出函数式即可得解； (2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解. 【详解】（1）由题意知，（k为常数）， 因，则， 所以； （2）由得， 即， ①当时，，当且仅当等号成立； ②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24， 由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元. 19. 已知函数，． （1）当时： （i）用单调性的定义证明函数在上单调递减； （ii）求函数的值域． （2）当时，若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 【答案】（1）（i）当时，． 任取，则 ． 因为，所以，，从而， 所以，即， 故在上单调递减． （ii）； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据单调性的定义及作差法证明即可. （ii）换元，将原函数化为二次函数求解即可. （2）待求问题等价于，结合一次函数的单调性求出，根据对勾函数及基本不等式对分情况求出，列不等式求解即可． 【小问1详解】 （1）（i）略 （ii）， 令，则，且． 所以可化为． 当时，单调递增，； 当时，单调递减，． 所以的值域为，即的值域为． 【小问2详解】 对任意，存在使，等价于． 因为，所以在上单调递减，所以． 当时，在上单调递增，此时； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时； 当时，在上单调递减，此时. 当时，，，，所以不成立， 故只能是的情况，所以，得， 又，所以. 故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山东方教育集团 2026-2027 学年高一年级第一学期期中考试 数学试卷 （考试时间：120分钟，试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，，则有（　　） A. B. C. D. 4. 下列各组函数中， 表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 设a为非零实数，则“”是“”的什么条件？（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 6. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数均为正数），若在上有最大值8，则在上（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 8. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知全集，，则下列选项正确的为（   ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 11. 已知函数满足：任意给定，都有函数关于对称，且任意，，，则下列结论正确的题号是（ ） A. B. 任意给定， C. D. 若，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知幂函数 为偶函数，则_______ 13. ，，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 14. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，不等式的解集为____________；若不等式恒成立，则正实数的最小值为____________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，，，求： （1）； （2）； （3）． 16. 已知函数 （1）计算的值； （2）在直角坐标系中，画出函数的图象 （3）若，求实数的值； （4）若直线与函数的图象有3个公共点，直接写出的范围． 17. 设命题，；命题， （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，求实数的取值范围； 18. 上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为. （1）求的解析式； （2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？ 19. 已知函数，． （1）当时： （i）用单调性的定义证明函数在上单调递减； （ii）求函数的值域． （2）当时，若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $