河北省唐山市开滦第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

河北省唐山市开滦一中高一上学期期中考试（数学） 一、单选题 1．下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合相等的条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，集合中只有一个元素，所以A错误， 对于B，集合的元素是点，所以B错误， 对于C，由，解得或， 所以，故C正确， 对于D，集合中有二个元素，，所以D错误， 故选：C. 2．已知是常数，幂函数在上单调递增，则（   ） A．9 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义、单调性求得，进而求得. 【详解】由于是幂函数，所以，解得， 当时，，在上单调递减，不符合题意. 当时，，在上单调递增，符合题意， 则. 故选：A 3．已知实数，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性可比较的大小及的大小，根据幂函数的单调性可比较的大小. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即. 因为在上单调递减，且, 所以，即. 因为在上单调递增， 所以，所以， 所以. 故选：A 4．下列命题中正确的个数是（   ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，；则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由不等式的性质和特殊值逐项判断即可. 【详解】对于①，取，满足，显然不成立，错误； 对于②，取，满足，显然不成立，错误； 对于③，由可得，所以正确， 对于④，若，；则，错误， 故选：A 5．函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【详解】根据飘带函数图象可知，选D 6．已知函数满足在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的单调性法则以及二次函数的单调性可得答案. 【详解】由分段函数的单调性可得：， 解得：. 故选：B 7．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g，则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质量的取值范围，进而得到选项. 【详解】设天平左、右两边的臂长分别为x，y， 设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克， 则，解之得， 则顾客购得的黄金为（克）， （当且仅当时等号成立）， 由题意知，，则克. 故选：A 8．已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的奇偶性及单调性，结合特殊值，分别讨论和两种情况，分析即可得答案. 【详解】若，则等价于. 因为是偶函数，所以. 所以在上单调递减，则由可得. 若，则等价于. 由题意，在上单调递增，则由可得. 综上，的解集为. 故选：B 二、多选题 9．下列四个结论正确的是（    ） A．若，则或 B．命题“”的否定是“” C．“”是“”的必要不充分条件 D．“是关于的方程有一正一负根的充要条件” 【答案】AD 【分析】根据并集的定义即可求解A，根据存在性命题的否定为全称命题即可求解B，根据绝对值的性质即可求解C，根据一元二次方程根的情况，即可求解D. 【详解】对于A：或若，则或，A正确 对于B：的否定是，B错误 对于C：若，则一定成立反之，若，则或 “”是“”的充分不必要条件,故C错误， 对于D：对于方程有一正一负根， 其判别式，两根之积为，解得 反之，当时，，两根之积，方程有一正一负根 “是关于的方程有一正一负根的充要条件”，D正确 故选：AD 10．下列命题中正确的是（    ） A．函数的最小值为2 B．函数（且）恒过定点 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数，则 【答案】BCD 【分析】由时可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据抽象函数的定义域可判断C，根据配凑法求函数解析式可判断D. 【详解】A选项，当，，故A错误； B选项，且，当时，， 故函数（且）恒过定点，故B正确； C选项，由得：，故函数函数的定义域为，故C正确； D选项，，且， 故，D正确. 故选：BCD. 11．设正实数满足，则（    ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】AC 【分析】利用基本不等式判断AB；利用及基本不等式判断C；利用结合B选项判断D. 【详解】.A选项：，其中，则，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项：，当且仅当时，等号成立，B错误； C选项：， 当且仅当时等号成立，C正确； D选项：，当且仅当时等号成立，D错误，故选：AC. 三、填空题 12．； 【详解】（1） 13．若函数的图像不经过第二象限，求实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，依题意可得当时即可. 【详解】因为在定义域上单调递增， 又的图像不经过第二象限， 所以当时，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14．如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为 . 【答案】4 【分析】集合只有1个元素，即方程只有1个解，分一元一次、一元二次方程进行讨论即可. 【详解】当时，只有1个解，符合题意； 当时，对于一元二次方程只有1解，则，解得. 综上实数的所有可能值的和为， 故答案为：4. 四、解答题 15．已知全集，集合，． (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据交集和补集的运算，即可求解； （2）直接由，即可确定实数a的取值范围. 【详解】（1）若，则，所以，所以； （2）因为，且，，所以，即实数a的取值范围是． 16．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断的单调性，无需证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)1 (2)函数为减函数 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，利用，建立方程求出； （2）根据函数单调性的定义进行证明； （3）结合函数的单调性对不等式进行转化后求解． 【详解】（1）为定义域内的奇函数， ，即，解得， ， ，为奇函数，符合题意， ． （2）函数为减函数； 对于任意实数，令，则， , ， ，即，故为减函数． （3）是上的减函数， ，解得， 不等式的解集为． 17．已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)求关于的不等式（其中）的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）方程的两根为1和，且，及求解； （2）原不等式可以化为，对a分类讨论求解． 【详解】（1）关于的不等式的解集为 方程的两根为1和，且 由韦达定理得：，解得. （2）原不等式可以化为. 方程的两根为， ①当，即时，不等式即为，解集为， ②当，即时，不等式的解集为， ③当，即时，不等式的解集为 综上所述，当时，不等式解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为. 18．如图，在函数的图象上一动点，由此函数图象、直线、轴和直线围成如图阴影部分，设阴影部分的面积为. （1）请计算、，并写出函数的解析式； （2）画出函数的图象. 【答案】（1）；；（2）作图见解析. 【分析】（1）讨论的取值范围，根据三角形的面积公式即可求解. （2）利用分段函数图像以及二次函数图像的作法即可求解. 【详解】解：（1）当时，； 当时， ； 所以 . （2）作出函数的图象如图： 【点睛】本题考查了分段函数解析式、分段函数的图像，属于基础题. 19．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元 【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. 【详解】（1）当时，； 当时，， 故； （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 试卷第6页，共12页 试卷第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省唐山市开滦一中高一上学期期中考试（数学） 一、单选题 1．下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是常数，幂函数在上单调递增，则（   ） A．9 B．3 C． D． 3．已知实数，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列命题中正确的个数是（   ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，；则. A．1 B．2 C．3 D．4 5．函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6．已知函数满足在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g，则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 8．已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列四个结论正确的是（    ） A．若，则或 B．命题“”的否定是“” C．“”是“”的必要不充分条件 D．“是关于的方程有一正一负根的充要条件” 10．下列命题中正确的是（    ） A．函数的最小值为2 B．函数（且）恒过定点 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数，则 11．设正实数满足，则（    ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 三、填空题 12．； 13．若函数的图像不经过第二象限，求实数的取值范围为 ． 14．如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为 . 四、解答题 15．已知全集，集合，． (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围． 16．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断的单调性，无需证明； (3)求不等式的解集． 17．已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)求关于的不等式（其中）的解集. 18．如图，在函数的图象上一动点，由此函数图象、直线、轴和直线围成如图阴影部分，设阴影部分的面积为. （1）请计算、，并写出函数的解析式； （2）画出函数的图象. 19．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $