精品解析：天津市静海区大邱庄中学2026-2027学年第一学期第一次阶段性检测高二数学试卷

静海区2026—2027学年度第一学期第一次阶段性检测 高二数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，试卷满分120分，考试时间100分钟. 第I卷 一、选择题（共10题；每题4分，共40分） 1. 已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点的斜率公式即可得到答案. 【详解】 故选：D. 2. 已知空间向量，，，则等于（ ） A. 18 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算计算得解. 【详解】由，，得，而， 所以. 故选：B 3. 已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用斜率公式求得直线的斜率，结合，求得，得到，即可求解. 【详解】因为直线过，两点，可得， 又因为，所以，可得， 设直线的倾斜角为，则，因为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 4. 设点是关于坐标平面的对称点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的坐标特点得点坐标，根据空间中两点间的距离公式计算即可得. 【详解】解：因为点是关于坐标平面的对称点，所以 所以. 故选：A. 5. 已知，，，则向量与的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量与的坐标，根据空间向量数量积，求空间向量夹角. 【详解】因为，，， 所以，. 所以. 所以向量与的夹角为. 故选：C. 6. 在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】直线与平面垂直则直线的方向向量与平面的法向量平行，再根据空间中两平行向量的坐标关系进行求解. 【详解】因为，所以∥，则，解得. 故选：A. 7. 在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】连接， 因为为的中点，所以在中， ，  因为底面是正方形，所以， 所以，  又因为，，且，  所以，  因为，，， 所以． 8. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A利用向量模长的坐标表示判断；B根据向量平行的判定，是否存在实数使即可判断；C向量数量积的坐标表示求即可判断；D利用向量坐标的线性运算及数量积的坐标表示求即可. 【详解】因为，所以A不正确： 因为不存在实数使，所以B不正确； 因为，故，所以C正确； 因为，所以，所以D不正确． 故选：C． 9. 空间中两个非零向量和满足，且在方向上的投影的数量为，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设与的夹角为，则在方向上的投影的数量为, 由题意，又因为， 代入得，即. 10. 已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，将和用、、表示，再根据空间向量的数量积运算可得解. 【详解】，， 则 . 故选：C． 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了空间向量的数量积，属于基础题. 第II卷 二、填空题（共5题；每题4分，共20分） 11. 若三点，，在同一条直线上，则实数＝________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据三点共线，斜率相等，列式计算即可. 【详解】由题可知：， 因为三点共线，故， 解得. 故答案为：6. 【点睛】本题考查斜率的计算，属基础题. 12. 已知向量，为单位向量，，的夹角为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算法则，结合转化法即可求得. 【详解】因为向量，为单位向量，，的夹角为， 所以，，， 故， 所以. 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中，向量若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示，结合已知条件，直接计算即可. 【详解】若，则， 解得，，故. 故答案为：. 14. 已知空间，，，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案. 【详解】由，且，，则，解得， 故. 故答案为：. 15. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离公式可得解. 【详解】， 故，， 设直线与直线所成的角为，则， 故， 点到直线的距离， 故答案为：. 三、解答题（共5题；共60分） 16. 先判断经过下列两点的直线斜率是否存在，若存在，求出其斜率并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角？ （1），； （2），； （3），； 【答案】（1）斜率存在，，倾斜角为锐角. （2）斜率存在，，倾斜角为钝角. （3）斜率不存在，倾斜角为直角. 【解析】 【分析】由斜率的两点式求出斜率，再判定倾斜角. 【小问1详解】 设，，得，斜率存在，，故倾斜角为锐角. 【小问2详解】 设，，，斜率存在，，故倾斜角为钝角. 【小问3详解】 设，，，斜率不存在，故倾斜角为直角. 17. 已知直线经过两点，，直线经过两点，. （1）若，求的值， （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 直线的斜率. ∵ ，∴ 直线的斜率存在且. 又直线经过点，， ∴ ， 整理得，解得. 验证：此时直线的方程为，与截距不同，不重合，符合题意. 【小问2详解】 ∵ ，， ∴ 直线的斜率存在，且满足. 即， 整理得， 解得. 18. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，. （1）用，，表示； （2）求的长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量的首尾相连原则及图形可得答案； （2）由（1）及计算模公式可得答案. 【小问1详解】 由图形及向量相加的首尾相连原则，； 【小问2详解】 由题可得，. 则 ，则，即的长为. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 则, 设平面的法向量为， 则，取，则， 由于，故， 又平面，故平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量垂直求证， （2）根据两平面法向量的夹角，即可求解， （3）利用点面距离的向量法公式，即可代入求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为，则， 由于，故； 【小问3详解】 由于，平面的法向量， 点到平面的距离. 20. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点H，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 由题意知在三棱柱中，平面，平面， 则，，又，建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， 得，所以． （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据，，，建立空间直角坐标系，由证明； （2）求得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为θ，由求解； （3）假设存在满足题意的点，设，求得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，，，． ∴，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设直线与平面所成的角为θ， 则， ∴与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（1）（2）知：，，，， 假设存在满足题意的点，设， 则， 得，解得， 即，所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令解得： 所以 又∵平面的一个法向量为 ∴． 整理得，由，得． 即当点H为的中点时，平面与平面所成角的余弦值为， 此时，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海区2026—2027学年度第一学期第一次阶段性检测 高二数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，试卷满分120分，考试时间100分钟. 第I卷 一、选择题（共10题；每题4分，共40分） 1. 已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，，则等于（ ） A. 18 B. C. D. 3. 已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 设点是关于坐标平面的对称点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则向量与的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6. 在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. -2 7. 在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 9. 空间中两个非零向量和满足，且在方向上的投影的数量为，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 第II卷 二、填空题（共5题；每题4分，共20分） 11. 若三点，，在同一条直线上，则实数＝________. 12. 已知向量，为单位向量，，的夹角为，则_______． 13. 在空间直角坐标系中，向量若，则____. 14. 已知空间，，，则＝_____． 15. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为______． 三、解答题（共5题；共60分） 16. 先判断经过下列两点的直线斜率是否存在，若存在，求出其斜率并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角？ （1），； （2），； （3），； 17. 已知直线经过两点，，直线经过两点，. （1）若，求的值， （2）若，求的值. 18. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，. （1）用，，表示； （2）求的长. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 20. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点H，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $