3.5.5 三角形的内切圆（课件）--2026-2027学年苏科版数学九年级上册

3.5.5 专项练习已完成，按 Word 式统计口径约 1564 字，答案全部核算过。 --- # 苏科版数学九年级上册 3.5.5 三角形的内切圆 专项练习 ## 一、知识梳理 与三角形各边都相切的圆，叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点。内心在三角形内部，到三边的距离相等，这个距离就是内切圆半径 r。 基本关系： 1. 面积法：S＝½(a＋b＋c)r，即 r＝2S/(a＋b＋c)（p为半周长时写作 r＝S/p），这是求内切圆半径的通用方法。 2. 直角三角形：r＝(a＋b－c)/2，c为斜边；外接圆半径 R＝c/2。 3. 等边三角形：r＝√3a/6，R＝√3a/3，且 r∶R＝1∶2。 4. 角度关系：∠BIC＝90°＋½∠A，∠AIC＝90°＋½∠B，∠AIB＝90°＋½∠C。 内切圆与三边的切点把边分成三组相等的线段：设 AD＝AF＝x，BD＝BE＝y，CE＝CF＝z，则 x＝(b＋c－a)/2，y＝(a＋c－b)/2，z＝(a＋b－c)/2。 ## 二、选择题 1. 三角形的内心是（　） A. 三条边的垂直平分线的交点　B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点　D. 三条高的交点 2. ⊙I是△ABC的内切圆，半径为2，△ABC的周长为12，则△ABC的面积是（　） A. 12　B. 18　C. 24　D. 36 3. 在△ABC中，∠A＝80°，I为内心，则∠BIC的度数是（　） A. 100°　B. 120°　C. 130°　D. 140° 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则内切圆半径与外接圆半径分别是（　） A. 1和2.5　B. 1和5　C. 2和2.5　D. 1.5和2.5 5. 等边三角形的边长为4，则它的内切圆半径是（　） A. 2√3/3　B. √3　C. 4√3/3　D. 2 6. 在△ABC中，AB＝7，BC＝5，CA＝6，内切圆切AB于点D，则AD的长是（　） A. 2　B. 3　C. 4　D. 5 ## 三、填空题 7. 三角形的内心到三边的距离______，这个距离等于内切圆的______。 8. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则内切圆半径是______，外接圆半径是______。 9. 等边三角形的边长为6，则内切圆半径是______，外接圆半径是______。 10. 在△ABC中，I为内心，若∠BIC＝110°，则∠A＝______。 11. △ABC的面积为24，周长为16，则内切圆半径是______。 12. 在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，I为内心，则∠AIB＝______。 ## 四、解答题 13. 已知I是△ABC三条角平分线的交点，ID⊥BC于D，IE⊥CA于E，IF⊥AB于F。求证：ID＝IE＝IF，并说明以I为圆心、ID为半径的圆与△ABC三边都相切。 14. 在△ABC中，AB＝20，BC＝13，CA＝11，求△ABC的面积及内切圆半径。 15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙I是内切圆，D、E、F为切点。求内切圆半径r及AD、BD的长，并求AI的长。 16. 在△ABC中，AB＝13，BC＝14，CA＝15，内切圆分别切AB、BC、CA于D、E、F。求AD、BE、CF的长。 17. 在△ABC中，I为内心。求证：∠BIC＝90°＋½∠A。 18. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，内切圆半径为r。求证：r＝(a＋b－c)/2。 19. 等边三角形ABC的边长为a，内切圆半径为r，外接圆半径为R。求证：R＝2r，并求r与a的关系。 ## 五、参考答案与解析 1. C。内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等。 2. A。S＝½×12×2＝12。 3. C。∠BIC＝90°＋½∠A＝90°＋40°＝130°。 4. A。AB＝5，r＝(3＋4－5)/2＝1，R＝5/2＝2.5。 5. A。r＝√3/6×4＝2√3/3。 6. C。AD＝(AB＋CA－BC)/2＝(7＋6－5)/2＝4。 7. 相等；半径。这是内心最基本的性质。 8. 内切圆半径2，外接圆半径6.5。AB＝13，r＝(5＋12－13)/2＝2，R＝13/2＝6.5。 9. 内切圆半径√3，外接圆半径2√3。r＝√3/6×6＝√3，R＝√3/3×6＝2√3。 10. ∠A＝40°。由90°＋½∠A＝110°得½∠A＝20°。 11. r＝3。r＝2S/(a＋b＋c)＝48/16＝3。 12. ∠AIB＝125°。∠AIB＝90°＋½∠C，而∠C＝180°－60°－70°＝50°，故∠AIB＝90°＋25°＝125°。 13. 证明：因为BI平分∠ABC，且IF⊥AB，ID⊥BC，所以ID＝IF（角平分线上的点到角两边距离相等）。同理CI平分∠ACB，得ID＝IE。故ID＝IE＝IF。设此距离为r，则点I到三边的距离都等于r，以I为圆心、r为半径的圆与三边都相切，即⊙I是△ABC的内切圆。 14. 设p＝½(20＋13＋11)＝22，由海伦公式S＝√(22×2×9×11)＝√4356＝66；又S＝½×(20＋13＋11)×r＝22r，故r＝66/22＝3。 15. AB＝10。r＝(6＋8－10)/2＝2。AD＝(AC＋AB－BC)/2＝(6＋10－8)/2＝4，BD＝(BC＋AB－AC)/2＝(8＋10－6)/2＝6。设⊙I切AC于F，则AF＝AD＝4，IF＝r＝2，由IF⊥AC得AI＝√(AF²＋IF²)＝√(16＋4)＝2√5。 16. AD＝(AB＋AC－BC)/2＝(13＋15－14)/2＝7；BE＝(AB＋BC－AC)/2＝(13＋14－15)/2＝6；CF＝(BC＋CA－AB)/2＝(14＋15－13)/2＝8。 17. 证明：因为BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，所以∠IBC＝½∠ABC，∠ICB＝½∠ACB。在△IBC中，∠BIC＝180°－(∠IBC＋∠ICB)＝180°－½(∠ABC＋∠ACB)＝180°－½(180°－∠A)＝90°＋½∠A。 18. 证明：设内切圆分别切BC、CA、AB于D、E、F。由ID⊥BC、IE⊥CA且ID＝IE＝r，知四边形CDIE是正方形，故CD＝CE＝r，于是BD＝a－r，AE＝b－r。由切线长定理得BF＝BD＝a－r，AF＝AE＝b－r，而AF＋BF＝c，所以(a－r)＋(b－r)＝c，即r＝(a＋b－c)/2。 19. 证明：等边三角形中，内心与外心重合，均为三条角平分线（也是中线、高）的交点，且该点到顶点的距离是它到对边距离的2倍，故R＝2r。又高h＝√3a/2，r＝⅓h＝√3a/6，于是R＝√3a/3。 ## 六、方法小结与易错提醒 1. 求内切圆半径优先用面积法r＝2S/(a＋b＋c)；已知直角三角形三边则直接用r＝(a＋b－c)/2，比面积法更快。 2. 内心的角度题固定套路：先算∠BIC＝90°＋½∠A，再由三角形内角和反求∠A，不要逐角相加。 3. 内切圆的切点分割要会“设而不求”：先写出x＋y、y＋z、z＋x三个等式，再整体相加或两式相减。 4. 易错：把内心与外心混淆（内心是角平分线交点、到三边等距；外心是垂直平分线交点、到三顶点等距）；求面积时把周长当作半周长；用r＝a＋b－c这类错误公式。 --- 第14题用了海伦公式，如果你们课时还没学，我可以把它换成“已知高或已知面积”的版本；也可以接着补 3.5.6 或第3章整章复习卷。 苏科版（新教材）数学九年级上册 3.5.5 三角形的内切圆 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第3章 圆 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 新知探究 1．当圆与三角形的各边都相切时，圆心有什么特点？ ● 圆心到三条边的距离相等（都等于半径）． 2．到一个角两边距离相等的点，在哪条线上？ 在这个角的平分线上． 3．如何找一个点，使它到三角形三边的距离相等？ 三角形两条内角平分线的交点． 新知探究 已知：△ABC（如图）． 求作：和△ABC的各边都相切的圆． C A B 要作出这个圆，我们首先需要确定哪两个要素？圆心应该定在哪儿？半径又该怎样选取？ M O N D ┛ 作法: ① 分别作∠ABC，∠ACB的平分线BM， CN，BM与CN的交点为O． ② 过点 O 作 OD⊥BC，垂足为 D． ③ 以点 O 为圆心，OD 长为半径作⊙O． ⊙O 就是所求的圆． 这样的圆能作几个？ 三角形三条角平分线必定交于唯一一点，所以 这样的圆有且只有一个． 概念引入 ● O C A B 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆．内切圆的圆心叫作三角形的内心，是三条角平分线的交点，这个三角形叫作圆的外切三角形． 如图，⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的外切三角形． 注意：三角形的边与圆的位置关系称为切．而“内”、“外”是相对的. 任意三角形都有内切圆吗？ 新知巩固 C A B O C A B O C A B O ┛ 分别画出下图各个三角形的内切圆． 想一想内心有什么性质？内心和外心有什么区别？ 任意三角形都有内切圆 新知归纳 图形 圆的名称 三角形名称 圆心名称 确定圆心的方法 圆心的性质 三角形的内切圆 三角形的外接圆 圆的外切三角形 圆的内接三角形 三角形的内心 (一定在三角形内部) 三角形的外心(不一定在三角形内部) 三角形的三条 角平分线的交点 三角形的三边 垂直分线的交点 到三角形的 三边距离相等 到三角形的三个顶点距离相等 三角形的内心与外心对比 返回 C 1. ⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(　　) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点　 C．三条角平分线的交点　 D．三条高的交点 举一反三 7 返回 2. B 如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是劣弧DF上一点，则∠EPF的度数是(　　) A．65° B．60° C．58° D．50° 举一反三 返回 3. A 已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为(　　) 举一反三 方法点拨：要求内切圆上切点构成的圆周角，先找内心，连半径，利用切线的性质定理与四边形内角和360°求圆心角，再用圆周角定理计算． 例题讲解 例6 如图，⊙O是△ABC 的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的大小． C O A B F E D 解：连接OE、OF． 在△ABC中， ∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(60°＋70°)＝50°． ∵⊙O是△ABC 的内切圆， ∴OE⊥AC，OF⊥AB． 在四边形AFOE中， ∵∠EOF＝360°－(∠AEO＋∠AFO＋∠A) ＝ 360°－( 90°＋90°＋50°)＝130°， ∴∠EDF＝∠EOF ＝× 130° ＝65°． 思考：∠EDF与∠A之间有什么关系？ 重要结论：∠EDF＝90°－∠A 例题讲解 变式 当☉O 上有一点P（不与点E、F 重合）， ∠EPF 的度数与∠A之间有什么关系？ C O A B F E D P P 当点P与点D在E，F的异侧时， ∠EPF＝180°－∠EDF ＝180°－(90°－∠A) ＝90°＋∠A． 解：当点P与点D在E，F的同侧时， ∠EPF＝∠EDF＝90°－∠A． 归纳总结 三角形内切圆和外接圆中的有关角 基本图形 角之间的关系 ∠BOC＝90°＋ ∠A ∠EDF＝90°－ ∠A ∠BOC＝2∠A 返回 4. 131° 如图，在△ABC中，∠A＝82°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为______． 举一反三 返回 5. 2.4 如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则该菱形的内切圆的半径r＝________． 举一反三 返回 6. 4 如图，点I为△ABC的三个内角的角平分线的交点， AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为________． 举一反三 7. 解：如图，⊙O即为所求． 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°. (1)画出△ABC的内切圆，圆心为O(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； 举一反三 (2)若AB＝6，AC＝8，求⊙O的半径． 返回 举一反三 17 返回 8. C 如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为(　　) A．15° B．17.5° C．20° D．25° 举一反三 返回 9. D 在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是(　　) 举一反三 19 返回 10. 135° 如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为点D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为________． 举一反三 20 返回 11. [无锡期末]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，AM＝1，I为△ABC的内心，则IM＝________． 举一反三 21 12. 如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于点E，过点A作AB⊥OP于点D，交⊙O于点B，连接BC，PB． 求证：(1)PB是⊙O的切线； 证明：连接OB.∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°. ∴AB⊥BC.又∵AB⊥OP，∴OP∥BC. ∴∠AOP＝∠C，∠BOP＝∠OBC. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠BOP. 举一反三 22 举一反三 证明：连接AE.∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE＋∠OAE＝90°.∵AD⊥ED，∴∠EAD＋∠AED＝90°.∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD.由(1)得△BOP≌△AOP，∴∠BPO＝∠APO.∴PE平分∠APB，∴E为△PAB的内心． (2)E为△PAB的内心． 返回 举一反三 24 课堂小结 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（5） 概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形． 作图：两步角平分线找圆心，作垂线段取半径画内切圆． 应用：角度计算：切线上半径+四边形内角和+圆周角定理 公式：三角形内切半径 r＝ ； 直角三角形内切圆半径 ． 谢谢观看 THANKS A．rl B．πrl C．rl D．πrl 解：∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10. 设⊙O的半径为r.∵△ABC的面积为×6×8＝24， ∴易知(AB＋AC＋BC)·r＝24， 即×(6＋8＋10)×r＝24，解得r＝2. ∴⊙O的半径为2. A．5 B．2 C．5或2 D．2或－1 2 在△BOP和△AOP中， ∴△BOP≌△AOP(SAS)．∴∠OBP＝∠OAP. ∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OBP＝90°. 又∵OB为⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线． $