3.5.3 切线的判定与性质（课件）--2026-2027学年苏科版数学九年级上册

3.5.3 专项练习已完成，按 Word 式口径约 1668 字，全部题目答案均已核算过。 --- # 苏科版数学九年级上册 3.5.3 切线的判定与性质 专项练习 ## 一、知识梳理 切线判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。做题时先看“切点是否已知”： 1. 有切点：连半径，证垂直（OB⊥l即可）； 2. 无切点：作垂线，证d＝r，即圆心到直线的距离等于半径。 切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。由此得两条推论：过圆心且垂直于切线的直线必过切点；过切点且垂直于切线的直线必过圆心。见切线先连半径，见到直角再找相似或勾股。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与该点的连线平分两切线的夹角，并且垂直平分两切点间的线段。 本节高频模型有两个：一是以三角形一边为直径作圆，用“直径所对的圆周角是直角”造出垂直；二是等腰三角形加圆上一点，由两条半径构成等腰得等角，进而得到OD∥AC，用于证切线或把切线条件转化为垂直。 ## 二、选择题 1. 下列条件中，能判定直线l是⊙O切线的是（　） A. l与⊙O有一个公共点　B. 圆心O到l的距离等于⊙O的半径 C. l垂直于⊙O的一条半径　D. l经过⊙O半径的中点 2. PA切⊙O于点A，PA＝4，PO＝5，则⊙O的半径是（　） A. 3　B. 4　C. 5　D. √41 3. ⊙O的半径为3，直线l上一点P满足OP＝3，则l与⊙O的位置关系是（　） A. 相切　B. 相交　C. 相离　D. 相切或相交 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则△ABC内切圆的半径是（　） A. 1　B. 2　C. 2.4　D. 4 5. PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB＝70°，则∠AOB的度数是（　） A. 110°　B. 125°　C. 140°　D. 145° 6. 等边三角形的边长为2√3，则它的内切圆半径是（　） A. 1　B. √3　C. 2　D. 2√3 ## 三、填空题 7. ⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为5，则l与⊙O有______个公共点。 8. PA切⊙O于A，OP＝10，∠APO＝30°，则⊙O的半径是______，PA＝______。 9. AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过C的切线交AB的延长线于P，若∠A＝30°，则∠P＝______。 10. 三边长分别为5、12、13的三角形，其内切圆半径是______。 11. 从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，若∠APB＝60°，PA＝6，则⊙O的半径是______，AB＝______。 12. 在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为原点，半径为2，直线y＝√3x＋b与⊙O相切，则b＝______。 ## 四、解答题 13. AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB。求证：DC是⊙O的切线。 14. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8。求△ABC内切圆的半径r及外接圆的半径R。 15. PA、PB切⊙O于A、B，∠APB＝60°，PA＝6。求OP、⊙O的半径、AB及△PAB的面积。 16. △ABC的三边AB＝10，BC＝8，CA＝6，内切圆⊙I分别切三边于D、E、F。求AD、BD的长及内切圆半径。 17. 在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E。求证：DE⊥AC。 18. 在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E。求证：EB＝ED。 ## 五、参考答案与解析 1. B。判定切线本质是d＝r；A项“有一个公共点”需先确定相切，C项缺“经过半径外端”，D项半径中点不是半径外端。 2. A。由切线性质得∠OAP＝90°，OA＝√(PO²－PA²)＝√(25－16)＝3。 3. D。OP＝3只能说明直线过圆上一点，若l为该点切线则相切，否则相交。 4. B。AB＝10，r＝(AC＋BC－AB)/2＝(8＋6－10)/2＝2。 5. A。四边形AOBP中∠OAP＝∠OBP＝90°，故∠AOB＝180°－70°＝110°。 6. A。r＝√3/6×2√3＝1。 7. 1个。d＝r＝5，相切。 8. 半径5，PA＝5√3。∠OAP＝90°，OA＝OP·sin30°＝5，PA＝OP·cos30°＝5√3。 9. ∠P＝30°。∠BOC＝2∠A＝60°，△OBC为等边三角形，∠OCB＝60°，而OC⊥PC，故∠PCB＝30°，∠P＝180°－90°－60°＝30°。 10. r＝(5＋12－13)/2＝2。 11. 半径2√3，AB＝6。OP平分∠APB，∠APO＝30°，r＝PA·tan30°＝2√3；又PA＝PB、∠APB＝60°，△PAB为等边三角形，AB＝6。 12. b＝±4。直线化为√3x－y＋b＝0，由|b|/√(3＋1)＝|b|/2＝2得b＝±4。 13. 证明：连结OC。因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠OCA；又AC平分∠DAB，所以∠DAC＝∠OAC，从而∠DAC＝∠OCA，得OC∥AD。因为AD⊥CD，所以OC⊥CD，又C在⊙O上，故DC是⊙O的切线。 14. AB＝10。r＝(AC＋BC－AB)/2＝(6＋8－10)/2＝2；R＝AB/2＝5（直角三角形外接圆直径即斜边）。 15. 连结OP、OA，则∠APO＝30°，∠OAP＝90°。OP＝PA/cos30°＝4√3；r＝PA·tan30°＝2√3；由PA＝PB、∠APB＝60°得△PAB为等边三角形，AB＝6，S＝√3/4×36＝9√3。 16. 设AD＝AF＝x，BD＝BE＝y，CE＝CF＝z，则x＋y＝10，y＋z＝8，z＋x＝6，解得x＝4，y＝6，z＝2，故AD＝4，BD＝6。由S＝½(a＋b＋c)r及面积公式得r＝2。 17. 证明：连结OD。DE切⊙O于D，故OD⊥DE；因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B，又AB＝AC，所以∠B＝∠C，得∠ODB＝∠C，于是OD∥AC。由OD⊥DE得DE⊥AC。 18. 证明：连结OD、CD。因为AC为直径，所以∠ADC＝∠CDB＝90°。因为OA＝OD，所以∠ODA＝∠OAD＝∠A，又A、D、B三点共线，故∠ODB＝180°－∠A。因为DE切⊙O于D，所以OD⊥DE，即∠ODE＝90°，于是∠BDE＝∠ODB－90°＝90°－∠A＝∠B，而∠EBD＝∠B，故ED＝EB。另由∠ODC＝∠OCD＝∠ACD＝90°－∠A得∠EDC＝90°－∠ODC＝∠A，而在Rt△CDB中∠ECD＝90°－∠B＝∠A，所以∠EDC＝∠ECD，得ED＝EC，即E为BC中点。 ## 六、方法小结与易错提醒 1. 判定与性质方向相反：证切线用“连半径证垂直”或“作垂线证d＝r”，已知切线则用“切线垂直于半径”得直角，不要用反。 2. 有切点才连半径，无切点不能凭空连；作垂线时必须落到“圆心到直线的距离”上，否则d＝r无从比较。 3. 直角三角形内切圆半径记r＝(a＋b－c)/2（c为斜边），外接圆半径R＝c/2，是本节高频结论。 4. 易错：把直径当半径代入；忘记“半径外端”这一前提；求切线长时不做直角三角形而直接套切线长定理。 5. 证切线写结论时一定要交代“该点在圆上”，否则只能说明直线与这条半径垂直，不能推出相切。 --- 需要更贴近你手头那一版的课时顺序，或者想加难度到中考压轴（含切线长定理综合证明），告诉我即可。 苏科版（新教材）数学九年级上册 3.5.3 切线的判定与性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第3章 圆 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 知识回顾 直线和圆有哪三种位置关系？判定方法是什么？ 直线与圆的 位置关系 图形 相 交 相 切 相 离 公共点个数 2 1 0 圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系 d＜r d＝r d＞r 新知探究 如何过圆上的一点作圆的切线？ 根据直线与圆的三种位置关系，我们知道，如果经过一条半径 OD 的外端 D 作OD 的垂线 l，那么圆心 O 到直线 l 的距离 OD 等于圆的半径r，所以直线 l 与圆 O 相切，D 为切点． O l r D 新知归纳 于是，我们得到圆的切线判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 条件1 条件2 O D l r ∵ OD 为⊙O 的半径，OD⊥直线 l 于点 D， ∴ 直线 l 为 ⊙O 的切线． 符号语言： 注：这两个条件与“d＝r”的条件在本质上是相同的，仅是说法不同而已． 新知探究 反过来，已知直线 l 是⊙O 的切线，切点为 D， OD和直线 l 有什么位置关系？ O D l r 直线 l 与⊙O相切，则 OD＝r，而 OD为圆心 O 到直线 l 的距离，所以 OD⊥l． 新知归纳 由此可得圆的切线性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径． O D l r ∵ 直线 l 与⊙O相切于点 D， ∴ OD⊥直线 l ． 符号语言： 讨论交流 定理类型 已知条件 推导结论 用途 判定定理 性质定理 半径＋垂直（过半径外端点） 该直线是圆的切线 证明“相切” 直线是圆的切线 半径⊥切线(过切点) 得到“直角” 圆的切线的判定定理和性质定理的条件和结论有什么不同？用途是什么？ 例题讲解 例3 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC 是⊙O的直径，∠BAD＝∠ACB， 判断直线 AD 与 ⊙O 的位置关系，并加以证明． D O A B C 解：直线 AD 与☉O相切．理由如下： ∵ AC 是☉O 的直径， ∴ ∠ABC＝90 °． ∴ ∠ACB＋∠BAC＝90°． ∵ ∠BAD＝∠ACB， ∴ ∠BAD＋∠BAC＝90°， 即 ∠DAC＝90°， ∴ AD⊥AC． ∴ 直线AD与☉O相切（圆的切线判定定理）． 证明“相切”，用判定定理 返回 B 1. 下列直线中一定是圆的切线的是(　　) A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆的直径端点的直线 举一反三 9 返回 2. D 如图，在△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是(　　) A．∠O＋∠P＝90° B．∠O＋∠P＝∠M C．OM2＋PM2＝OP2 D．ON＝NP 举一反三 返回 3. A [福建中考]如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为AB的中点，则∠ACM等于(　　) A．18° B．30° C．36° D．72° ︵ 举一反三 例题讲解 变式 △ABC内接于⊙O，AB是⊙O的弦，∠BAD＝∠ACB，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由． D O A B C E 解：直线AD与⊙O相切．理由如下： 连接AO并延长交☉O于E，连接BE，则AE为☉O的直径． ∴ ∠ABE＝90°， ∴ ∠BAE＋∠E＝90°． ∵ ∠E＝∠ACB， ∠BAD＝∠ACB， ∴ ∠E＝∠BAD， ∴ ∠BAE＋∠BAD＝90°． 即 ∠DAE＝90 °， ∴ AD⊥AE． ∴直线AD与⊙O相切. 连半径，证垂直 新知巩固 1．如图，P 是⊙O 外一点，以 OP 为直径作圆，与⊙O 相交于 A，B 两点．连接 PA，PB．求证： PA，PB 是⊙O 的切线． O A B P 证明：∵ OP是⊙O 的直径， ∴ ∠OAP＝90°． ∴ OA⊥AP， ∵ OA 是 ⊙O 的半径， ∴ PA 是⊙O 的切线（圆的切线判定定理） 同理可证 PB 是 ⊙O 的切线． 新知巩固 2．如图，直线 AB 经过⊙O上一点 C，且 OA＝OB，CA＝CB．直线 AB 与⊙O相切吗？为什么？ O A B C 解：直线 AB 与⊙O相切．理由如下： 连接 OC． ∵ OA＝OB，CA＝CB， ∴ OC⊥AB． ∵点 C 在⊙O 上， ∴直线 AB 与⊙O 相切． 例题讲解 例4 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 AD 平分∠BAC，过点 D 的切线交 AC 于点 E． 求证：DE⊥AC． ● O B A D C E 解：如图，连接OD． ∵ OD＝OA， ∴ ∠ODA＝∠OAD． ∵ AD 平分∠BAC， ∴ ∠OAD＝∠CAD． ∴ ∠ODA＝∠CAD． ∴ OD∥AC． ∴ ∠ODE＋∠AED＝180°． ∵ DE 是⊙O的切线， ∴ DE⊥OD （圆的切线性质定理）， 即 ∠ODE＝90°． ∴ ∠AED＝90°． ∴ DE⊥AC． 见切线，连半径，得垂直 返回 4. 35° [徐州中考]如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C＝20°，则∠CAD＝________． 举一反三 返回 5. 5 举一反三 6. [镇江中考]如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A，D．若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由． 举一反三 返回 解：BC与⊙O相切，理由如下： 如图，连接OD. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. 由折叠的性质得：∠CAD＝∠OAD， ∴∠CAD＝∠ODA.∴AC∥OD. ∴∠ODB＝∠ACB＝90°. ∴OD⊥BC. ∵OD是⊙O的半径，∴BC与⊙O相切． 举一反三 返回 7. C 泸州中考如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(　　) A．56° B．60° C．68° D．70° 举一反三 返回 8. C 举一反三 返回 9. 无锡期中如图，⊙P与y轴相切于点C(0，3)，与x轴相交于点A(1，0)，B(9，0)．直线y＝kx－3恰好平分⊙P的面积，那么k的值是________． 举一反三 22 返回 10. 如图，已知半圆O的直径AB＝4，沿弦EF翻折EF，翻折后的EF与直径AB相切于点D，且AD＝3DB，则折痕EF的长度是________． ︵ ︵ 举一反三 23 11. 常州期中如图，正方形ABCD的边长为6，E是DC的中点，F是BC边上的动点，连接EF，以点F为圆心，EF长为半径作⊙F.当⊙F与正方形ABCD的边相切时，BF的长为____________． 返回 举一反三 24 课堂小结 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（3） 判定定理：连半径，证垂直，从而证明直线是切线． 性质定理：见切线，连切点，即可得垂直关系，快速构造直角三角形． 证切线时常用的添加辅助线方法：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径． 与切线性质相关的辅助线的作法：见切线，连半径，得垂直． 谢谢观看 THANKS [靖江一模]如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC＝PC＝5，则PB的长为________． 如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 或6－3 $