2.2.2 反比例函数的性质（课件）2026-2027学年苏科版数学九年级上册

# 苏科版数学九年级上册 2.2.2 反比例函数的性质 专项练习 ## 一、知识梳理（先填空，再做题） 1. 当 k＞0 时，反比例函数图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而______；当 k＜0 时，图象的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而______。 2. 增减性必须限定在“______”内；跨象限比较函数值时，要代入具体数值，或根据正负号直接判断。 3. 从反比例函数 y＝k/x 图象上任意一点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于______；若连接 OP（O 为原点），则三角形 POA（A 为垂足）的面积等于______。 4. 上述面积与点的位置______（填“有关”或“无关”），只由______的绝对值决定。 5. 图象上点的横、纵坐标之积恒等于______。 ## 二、填空：性质与几何意义 1. 反比例函数 y＝5/x 在每一个象限内，y 随 x 的增大而______。 2. 反比例函数 y＝－3/x 在每一个象限内，y 随 x 的增大而______。 3. 若点 P 在反比例函数 y＝k/x 的图象上，先后过 P 向两坐标轴作垂线，围成矩形面积为 7，则 |k|＝______，k＝______。 4. 若点 P 在 y＝－8/x 的图象上，过 P 向 x 轴作垂线，垂足为 A，则 △POA 的面积为______。 5. 若反比例函数图象上一点与两坐标轴围成的矩形面积为 4，且图象位于第二、四象限，则 k＝______。 ## 三、比较函数值的大小 1. 点 A(－2，y₁)、B(－3，y₂) 在 y＝6/x 的图象上，比较 y₁ 与 y₂ 的大小。 2. 点 A(1，y₁)、B(3，y₂) 在 y＝6/x 的图象上，比较 y₁ 与 y₂ 的大小。 3. 点 A(－1，y₁)、B(2，y₂) 在 y＝－4/x 的图象上，比较 y₁ 与 y₂ 的大小。 4. 点 A(－2，y₁)、B(－1，y₂)、C(3，y₃) 都在 y＝2/x 的图象上，把 y₁、y₂、y₃ 从小到大排列。 5. 若点 (x₁，y₁)、(x₂，y₂) 都在 y＝3/x 的图象上，且 x₁＜x₂＜0，比较 y₁ 与 y₂ 的大小。 ## 四、k 的几何意义 1. 点 A 是反比例函数 y＝6/x 图象上的一点，AB⊥x 轴于点 B，则 △AOB 的面积是多少？ 2. 点 P 在 y＝－8/x 的图象上，过 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，求围成的矩形的面积。 3. 若反比例函数图象上一点与两坐标轴围成的三角形面积为 5/2，求 |k| 的值，并说明 k 可能取哪些值。 ## 五、参数问题 1. 若反比例函数 y＝(m－3)/x 在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是______。 2. 若反比例函数 y＝(2m＋1)/x 的图象位于第二、四象限，则 m 的取值范围是______。 3. 若反比例函数 y＝k/x 的图象上一点到两坐标轴围成的矩形面积为 6，且图象位于第一、三象限，则 k＝______。 4. 若反比例函数 y＝(k－1)/x 的图象经过点 (－2，3)，则 k＝______，图象位于第______象限。 ## 六、选择题（每题只有一个正确选项） 1. 关于反比例函数 y＝－2/x，下列说法正确的是（　　） A. 图象位于第一、三象限　B. 在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大　C. 图象与 y 轴相交　D. 图象关于 x 轴对称 2. 若点 (－1，2) 在反比例函数 y＝k/x 的图象上，则下列点也在图象上的是（　　） A. (1，2)　B. (2，1)　C. (1，－2)　D. (－1，－2) 3. 若点 A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂) 都在 y＝4/x 的图象上，且 x₁＜0＜x₂，则（　　） A. y₁＜y₂＜0　B. y₁＜0＜y₂　C. y₂＜0＜y₁　D. 0＜y₁＜y₂ 4. 若反比例函数图象上一点与两坐标轴围成的三角形面积为 3，则 |k| 等于（　　） A. 3　B. 6　C. 9　D. 1.5 5. 若反比例函数 y＝(k＋2)/x 的图象位于第二、四象限，则 k 的取值范围是（　　） A. k＞－2　B. k＜－2　C. k＞2　D. k≠－2 ## 七、诊断纠错：下面的解法对不对？错的说明错在哪，并写出正确结果 1. 判断 y＝－3/x 的增减性。解：因为 k＝－3＜0，所以 y 随 x 的增大而增大。 2. 点 A(1，2)、B(－2，－1) 都在反比例函数 y＝k/x 的图象上，比较 y_A 与 y_B 的大小。解：k＝2＞0，y 随 x 增大而减小，因为 1＞－2，所以 y_A＜y_B。 3. 点 P 在 y＝6/x 的图象上，PA⊥x 轴于点 A，求 △POA 的面积。解：面积为 6。 ## 八、易错提醒与方法小结 - 说“y 随 x 的增大而减小（增大）”时，必须加上“在每一个象限内”这一前提；漏掉这半句，结论就是错的。 - 跨象限比较两个函数值，不能用单调性，要分别算出 y 的值，或直接由 k 的符号判断正负。 - 矩形面积等于 |k|，三角形面积等于 |k|/2，这两个结论都只与 |k| 有关，与点 P 的具体位置无关。 - 由面积反求 k 时，要结合图象所在象限确定符号：第一、三象限 k＞0，第二、四象限 k＜0，不要只写正值。 - 点 (x₀，y₀) 在图象上等价于 x₀y₀＝k，判断点是否在图象上用它最快。 ## 参考答案 一、1. 减小；增大　2. 每一个象限　3. |k|；|k|/2　4. 无关；k　5. k 二、1. 减小　2. 增大　3. 7；k＝7 或 k＝－7　4. 4　5. －4 三、1. y₁＝－3，y₂＝－2，故 y₁＜y₂　2. y₁＝6，y₂＝2，故 y₁＞y₂　3. y₁＝4，y₂＝－2，故 y₁＞y₂　4. y₁＝－1，y₂＝－2，y₃＝2/3，故 y₂＜y₁＜y₃　5. y₁＝3/x₁，y₂＝3/x₂，因 x₁＜x₂＜0，故 y₁＞y₂ 四、1. △AOB 的面积＝|k|/2＝3　2. 矩形面积＝|k|＝8　3. |k|/2＝5/2，故 |k|＝5，k＝5 或 k＝－5 五、1. m－3＞0，故 m＞3　2. 2m＋1＜0，故 m＜－1/2　3. k＝6　4. k－1＝－6，故 k＝－5，图象位于第二、四象限 六、1. B　2. C　3. B　4. B　5. B 七、1. 错，漏了“在每一个象限内”。正确：在每个象限内 y 随 x 增大而增大　2. 错，A、B 在不同象限，不能用单调性。正确：y_A＝2＞y_B＝－1　3. 错，三角形面积是 |k|/2 而不是 |k|。正确：面积为 3 > 建议限时 40 分钟完成第二至第五题；每道比较大小的题先在草稿纸上标出各点所在象限，再判断，比凭“单调性”硬套可靠得多。 --- 全文约 1618 字（按 Word 统计口径，含字母和数字），八类板块：性质梳理、填空、跨象限与同象限比较大小、k 的几何意义、参数、选择、诊断纠错、易错小结，答案与解析附后，可直接打印。这张的核心考点可概括为“带限定语说增减性”和“矩形 |k|、三角 |k|/2”两条，掌握这两句就能应付大多数判性质题。 苏科版（新教材）数学九年级上册 2.2.2 反比例函数的性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第2章 反比例函数 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. 能解决反比例函数与一次函数的综合问题． 深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法. 新课引入 回顾 1.反比例函数具有什么性质？ 形状 双曲线 所在象限与性质 一、三象限 每象限内， 随 增大而减小 二、四象限 每象限内， 随 增大而增大 本节课我们将运用这些性质解决具体的数学问题，包括如何求反比例函数的解析式、如何判断点是否在函数图象上，以及如何利用增减性比较函数值的大小. 问题导入 如何研究反比例函数 y＝ （k为常数，k≠0）的图象特征和性质？ 像研究一次函数图象时那样，多画几个函数图象看看! 要分k＞0，k＜0 两种情况. 探究新知 -3 -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 x y 4 5 6 -6 -5 -4 -4 -5 -6 4 5 6 y＝ y＝ y＝ y＝ (3) 在每个象限内，随着x的增大，y是怎样变化的？ 观察图象，回答下列问题： (1) 函数图象的形状有何共同特征？ (2) 函数图象分布的象限有什么特点？ 归纳总结 函数表达式 函数图象 图象对称性 图象所在的象限 函数变化趋势 y＝（k＞0） y x O y＝（k＜0） y x O 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 函数图象的两支曲线关于原点成中心对称 一、三 二、四 在每一个象限内， y随x的增大而减小 在每一个象限内， y随x的增大而增大 为什么要强调“在每一个象限内”？ 例题讲解 例2 已知反比例函数 y＝的图象经过点A (2,－4)． (1) 求k的值，并画出这个函数的图象； 解：(1) 因为函数 y＝ 的图象经过点A (2,－4)， 所以把 x＝2，y＝－4 代入 y＝ ，得－4＝ ， 解得k＝－8；函数y＝－ 的图象如图所示． -3 -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 x y 4 5 -6 -5 -4 -4 -5 -6 4 5 6 6 y＝－ 7 8 -7 -8 待定系数法 例题讲解 例2 已知反比例函数 y＝的图象经过点A (2,－4)． (2) 如果点 B(1，n)在这个函数的图象上， 比较 n 与－4的大小． 解：(2) 根据函数的变化趋势，当x＞0时，y随x 的增大而增大，因为点A (2，－4)、点 B(1，n) 都在函数图象上．且1＜2，所以n＜－4． -3 -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 x y 4 5 -6 -5 -4 -4 -5 -6 4 5 6 6 y＝－ 7 8 -7 -8 A (2,－4) B(1，n) 探究交流 如果点 C（a，b）在例 2 中的反比例函数图象上，且a＜2，比较 b 与 －4 的大小． -3 -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 x y 4 5 -6 -5 -4 -4 -5 -6 4 5 6 6 y＝－ 7 8 -7 -8 解：由反比例函数y＝－ 的图象得： 当a＜0时，点C(a，b)在第二象限的反 比例函数图象上，此时b＞0＞－4； 当0＜a＜2时，点C(a，b)在第四象限的 反比例函数图象上，此时b＜－4． 返回 D 举一反三 10 返回 C 举一反三 返回 1(答案不唯一)　 举一反三 返回 m＜1 举一反三 返回 －8≤k＜0 举一反三 返回 4(答案不唯一) 举一反三 举一反三 举一反三 (2)求△AOB的面积． 举一反三 返回 (3)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是该反比例函数图象上的两点，且当x1＜x2时，y1＞y2，指出点P，Q各位于哪个象限？ 解：∵当x1＜x2时，y1＞y2， ∴点P和点Q不在同一象限． ∴点P在第二象限，点Q在第四象限． 举一反三 课堂小结 2.2 反比例函数的图象与性质（2） 图象特征→双曲线的象限分布 函数性质→对称性与增减性 用“待定系数法”求函数表达式 谢谢观看 THANKS 1．关于反比例函数y＝－，下列说法正确的是(　　) A．函数图象位于第一、三象限 B．函数图象经过点(－2，－3) C．函数图象关于y轴对称 D．当x＞0时，y随x值的增大而增大 2．已知点A，B，C都在反比例函数y＝(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y3<y2<y1 3. 某反比例函数y＝具有下列性质：当x>0时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值：______________． 4．已知A(1，y1)，B(2，y2)两点都在反比例函数y＝的图象上，且y1＜y2，则m的取值范围为________． 5．已知点A在第二象限，OA＝4.反比例函数y＝的图象经过点A，则k的取值范围是____________． 6. 如图，已知点A(3，3)，B(3，1)，反比例函数y＝(k≠0)的图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值：_____________________________. 7．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(－3，m＋8)，B(n，－6)两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． 解：将点A(－3，m＋8)的坐标代入y＝， 得－3(m＋8)＝m，解得m＝－6， ∴反比例函数的表达式为y＝－，点A的坐标为(－3，2)． 将点B(n，－6)的坐标代入y＝－，得－6n＝－6，解得n＝1， ∴点B的坐标为(1，－6)． 将A，B两点的坐标分别代入y＝kx＋b， 得解得 ∴一次函数的表达式为y＝－2x－4. 解：设直线y＝－2x－4与y轴相交于点C. 当x＝0时，y＝－2x－4＝－4，∴点C的坐标为(0，－4)． ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×4×3＋×4×1＝6＋2＝8. $