3.7.1 弧长及扇形的面积（课件）--2026-2027学年苏科版数学九年级上册

3.7.1 专项练习已完成，按 Word 式口径约 1581 字，26 道题的题号连续编号，答案与题号一一对应。 --- # 苏科版数学九年级上册 3.7.1 弧长及扇形的面积 专项练习 ## 一、知识梳理 半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l＝nπR/180；由这条弧和经过这条弧两端的两条半径围成的图形叫做扇形，其面积S＝nπR²/360，也可以写成S＝½lR。两个公式是同一组量的两种表达，计算时先看已知的是“半径＋圆心角”还是“半径＋弧长”，选公式可以少绕一步。 扇形周长＝2R＋l，注意不要漏掉两条半径。半径不变时，弧长与圆心角成正比，扇形面积也与圆心角成正比；圆心角不变而半径变为原来的k倍时，弧长变为k倍，面积变为k²倍。 阴影面积常用三种处理：割补，把不规则部分拼成规则图形；整体减部分，即用大扇形减去三角形或小扇形；等积转化，即把同底等高的三角形或同弧的扇形互相替换。弓形面积＝扇形面积－三角形面积，这是本节最常考的组合图形。 ## 二、选择题 1. 半径为6、圆心角为60°的弧长是（　） A. π　B. 2π　C. 3π　D. 6π 2. 半径为3、圆心角为120°的扇形面积是（　） A. 2π　B. 3π　C. 6π　D. 9π 3. 一条弧长为4π，所在圆的半径为6，则它所对的圆心角是（　） A. 60°　B. 90°　C. 120°　D. 150° 4. 一个扇形的面积为6π，半径为3，则它的弧长是（　） A. 2π　B. 4π　C. 6π　D. 9π 5. 半径为2、圆心角为90°的扇形面积是（　） A. π/2　B. π　C. 2π　D. 4π 6. 半径为9，弧长为3π，则这条弧所对的圆心角是（　） A. 30°　B. 45°　C. 60°　D. 90° 7. 一个扇形的圆心角是120°，面积是12π，则它的半径是（　） A. 3　B. 4　C. 6　D. 12 8. 两个扇形的圆心角都是60°，半径分别为2和3，则它们的面积之比是（　） A. 2∶3　B. 3∶2　C. 4∶9　D. 9∶4 ## 三、填空题 9. 半径为4、圆心角为45°的弧长是______。 10. 半径为6、圆心角为120°的扇形面积是______。 11. 一条弧长为2π，半径为4，则它所对的圆心角是______。 12. 一个扇形的面积是8π，半径是4，则它的弧长是______。 13. 半径为10、弧长为5π的扇形面积是______。 14. 半径为12、圆心角为150°的弧长是______。 15. 圆的半径扩大到原来的2倍，圆心角不变，则弧长变为原来的______倍，扇形面积变为原来的______倍。 16. 圆心角为90°、弧长为π的扇形，半径是______，面积是______。 ## 四、解答题 17. 在半径为6的圆中，求60°的圆心角所对的弧长及对应扇形的面积。 18. 在半径为4的圆中，一条弧长为2π，求这条弧所对的圆心角及扇形的面积。 19. 一个扇形的圆心角为120°，弧长为4π，求它的半径和面积。 20. 正方形ABCD的边长为4，以A为圆心、AB为半径画四分之一圆，求正方形内、四分之一圆外部分的面积。 21. 在半径为6的圆中，弦AB所对的圆心角为60°，求弓形（弧AB与弦AB围成）的面积。 22. 扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝4，求这个扇形的弧长、面积和周长。 23. 一只时钟的分针长6cm，从12:00走到12:20，求分针针尖走过的路程。 24. 一块扇形铁皮的半径为10，圆心角为72°，求它的弧长和周长。 25. 两个同心圆中，小圆半径为2，大圆半径为4。求圆心角为60°的扇环（两弧之间部分）的面积。 26. 一个扇形花坛的半径为8，圆心角为60°，沿两条半径和弧修建围栏。求围栏的总长度和花坛的面积。 ## 五、参考答案与解析 1. B。l＝60π×6/180＝2π。 2. B。S＝120π×9/360＝3π。 3. C。由l＝nπR/180得n＝180l/(πR)＝180×4π/(6π)＝120。 4. B。由S＝½lR得l＝2S/R＝12π/3＝4π。 5. B。S＝90π×4/360＝π。 6. C。n＝180×3π/(9π)＝60。 7. C。由120πR²/360＝12π得R²＝36，R＝6。 8. C。圆心角相同，面积比等于半径平方之比，2²∶3²＝4∶9。 9. π。l＝45π×4/180＝π。 10. 12π。S＝120π×36/360＝12π。 11. 90°。n＝180×2π/(4π)＝90。 12. 4π。l＝2S/R＝16π/4＝4π。 13. 25π。S＝½lR＝½×5π×10＝25π。 14. 10π。l＝150π×12/180＝10π。 15. 2；4。弧长与半径成正比，面积与半径的平方成正比。 16. 半径2，面积π。由90πR/180＝π得R＝2，S＝½lR＝½×π×2＝π。 17. l＝60π×6/180＝2π；S＝½lR＝½×2π×6＝6π。 18. n＝180×2π/(4π)＝90°，即圆心角90°；S＝½×2π×4＝4π。 19. 由l＝nπR/180得4π＝120πR/180，R＝6；S＝½lR＝½×4π×6＝12π。 20. 四分之一圆的面积为(1/4)π×4²＝4π，所求面积＝4×4－4π＝16－4π。 21. 扇形面积＝60π×36/360＝6π；△OAB中OA＝OB＝6，∠AOB＝60°，是边长为6的等边三角形，面积＝√3/4×36＝9√3；弓形面积＝6π－9√3。 22. 弧长l＝90π×4/180＝2π；面积S＝90π×16/360＝4π；周长＝2OA＋l＝8＋2π。 23. 分针20分钟转过120°，针尖走过的路程即半径6、圆心角120°的弧长：l＝120π×6/180＝4π cm。 24. 弧长l＝72π×10/180＝4π；周长＝2×10＋4π＝20＋4π。 25. 圆环面积＝π(4²－2²)＝12π，扇环面积＝60π×12/360＝2π。 26. 弧长l＝60π×8/180＝8π/3；围栏长度＝2×8＋8π/3＝16＋8π/3；花坛面积＝60π×64/360＝32π/3。 ## 六、方法小结与易错提醒 1. 三量互求只用一个式子：l＝nπR/180与S＝½lR，已知任意两个量都能求第三个，不必另记新公式。 2. 阴影面积先看图形能否割补成规则图形；不能时用“大减小”，并注意减去的是三角形还是小扇形。 3. 弓形一定要“扇形减三角形”，若圆心角为60°或120°，减去的三角形往往是等边三角形，可直接用边长算面积。 4. 易错：扇形周长漏掉两条半径；求弧长时把直径代入R；面积公式误写成nπR/180；同弧的扇形与三角形混用面积公式。 --- 接下来要不要继续出 3.7.2 圆锥的侧面积和全面积？那一节会把本节公式和圆锥展开图串起来，做成一份小综合卷效果更好。 苏科版（新教材）数学九年级上册 3.7.1 弧长及扇形的面积 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第3章 圆 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 概念引入 . 如图，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫作扇形（sector）． 如图，当圆的半径 R 确定时，扇形的弧长 随圆心角度数 n 的变化而变化，它们之间有怎样的数量关系？ O R A B n° l 新知探究 整个圆对应圆心角360°，周长2πR． O 180° O 90° O 45° O n° 弧长＝·2πR 弧长＝·2πR 弧长＝·2πR 弧长＝·2πR 新知归纳 ． 一般地，在半径为 R 的圆中，弧长 l 与所对的圆心角度数 n 之间有如下关系： O R A B n° l 新知探究 当圆的半径 R 确定时,扇形的面积与扇形的圆心角度数之间有什么关系？ O 180° O 90° O 45° O n° S扇形＝·π S扇形＝·π S扇形＝·π S扇形＝·π 新知归纳 一般地，在半径为 R 的圆中，扇形的面积 S扇形 与所对的圆心角 n 之间有如下关系： ． O R A B n° l ． 两个公式之间有什么关联？ 类似于哪个公式呢？ 新知探究 O R A B n° l R R R． 把扇形看作“曲边三角形”．把弧长 l 看作三角形的“底边”，把半径 R 看作三角形的“高”． ． 例题讲解 例1 如图，△ABC 是 ⊙O 的内接三角形，∠BAC＝60°．已知 ⊙O 的 半径为 2．求 的长． 解：如图，连接 OB，OC，则∠BOC为 所对的圆心角． ∵ ∠BAC＝60°， ∴ ∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°． ∴ 的长 l＝＝π． C A B O 运用弧长公式需要知道哪些条件？ 返回 C 1. 如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则AB的长为(　　) A．30π B．25π C．20π D．10π ︵ 举一反三 9 返回 2. D 如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形OAC(阴影部分)的面积为(　　) 举一反三 返回 3. C 如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(　　) A．π cm B．2π cm C．4π cm D．6π cm 举一反三 例题讲解 O C A B D 例2 如图，折扇打开后，OA，OB的夹角为120°，OA 的长为 30 cm，AC 的长为 20 cm．求图中阴影部分的面积 S． 解：根据题意，得S＝S扇形OAB－． ∵ S扇形OAB＝ (cm2)， S扇形OCD＝ (cm2)， ∴ S＝300π－ (cm2)． 同心圆环类扇形阴影面积＝大面积扇形面积－小面积扇形面积． 新知巩固 解：l8π． 答：这条弧的长为8π． 1．已知圆弧所在圆的半径为 24，所对的圆心角为 60°．求这条弧的长． 2．已知 75° 的圆心角所对的弧长为 5π．求这条弧所在圆的半径． 解：设这条弧所在圆的半径是， 则 ＝5π，解得：R＝12． 答：这条弧所在圆的半径为12． 新知巩固 3．已知扇形的面积是6π，半径为4，求这个扇形的弧长． 解：∵ lR，∴ 6π＝， 解得 ＝3π． 答：这个扇形的弧长为3π. 4．已知扇形的圆心角为 120°，弧长为 20π．求这个扇形的面积． 解：设这条弧所在圆的半径是．则 ＝20π，解得：R＝30． S扇形＝ ． 答：这个扇形的面积为300π． 讨论归纳 公式 适用条件 注意点 ​ R 弧长与扇形面积公式该如何选择使用？有哪些注意点？ 已知圆心角n、半径R，求弧长 已知圆心角n、半径R，求面积 已知 弧长 l 、半径R，求面积 没有角度 ①公式中的n表示圆心角(不能直接带圆周角)，不带单位； ②分清分母：弧长分母 180，角度形式扇形面积分母360． 探究交流 如图，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆的三等分点．求弦CD与围成的阴影部分的面积． A B C D O 解：连接OC，OD．r＝×40＝20． ∵ C，D是半圆的三等分点， ∴ ∠COD＝＝60°． ∴ π·202＝π． ×20×＝100． ∴ ． 弓形的面积＝扇形面积－三角形面积 返回 4. (1)若90°的圆心角所对的弧长是3π cm，则此弧所在圆的半径是________； (2)南京期中已知扇形的圆心角为120°，半径是10，则扇形的面积为________； (3)一个扇形的半径为2 cm，弧长为3π cm，则此扇形的面积为________． 6 cm 3π cm2　 举一反三 返回 5. [镇江中考]如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB＝1，∠D＝60°，则BE的长l＝_____(结果保留π)． ︵ 举一反三 6. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，点D是BC上一点，以D为圆心，BD的长为半径作⊙D，BC与⊙D交于点E，AC与⊙D相切于点A． (1)求证：AC＝AB； 举一反三 证明：连接AD. ∵AC与⊙D相切于点A，∴∠DAC＝90°. ∵DA＝DB，∠B＝30°，∴∠DAB＝∠B＝30°. ∴∠BAC＝∠DAC＋∠DAB＝120°. ∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝30°.∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC. 举一反三 (2)若⊙D的半径为1，求阴影部分的面积． 返回 举一反三 21 返回 C 举一反三 返回 8. 108 “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图①是陈列在展览馆的仿真模型，图②是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1 cm和10 cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝________． 举一反三 返回 9. [资阳中考]如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，则图中阴影部分的面积为________． ︵ 举一反三 24 10. 南通中考如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB. (1)连接OB，求证：OB⊥PB； 举一反三 25 举一反三 返回 举一反三 27 课堂小结 3.7 扇形（1） 公式：①弧长；②；③R ． 常用解题方法：①直接套用公式：弧、扇形的相关计算； ②和差法：大小扇形相减求阴影； ③割补/等积变换：不规则弧形面积转化为扇形． 易错提醒： ①公式中n是不带单位的； ② n一定是圆心角，切勿误用圆周角． 谢谢观看 THANKS A．π B．π C．π D．2π π 解：∵⊙D的半径为1，∴AD＝1. ∵∠CAD＝90°，∠C＝30°， ∴∠ADC＝90°－∠C＝60°，CD＝2.易得AC＝. ∴S阴影＝S△ADC－S扇形DAE＝×1×－＝－. 7．镇江中考如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1，l2于点A，B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2，l1于直线m同侧的点C，D，∠ADB＝35°，AB＝9，则的长等于(　　) A．5 π B．4 π C. π D. π ＋π 证明：如图，连接OP.∵PA与⊙O相切，∴OA⊥PA， ∴∠OAP＝90°，在△AOP和△BOP中， ∴△AOP≌△BOP， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， ∴OB⊥PB. 解：如图，连接BC.∵∠OBP＝∠OAP＝90°，∠APB＝60°， ∴∠AOB＝120°，∴∠COB＝60°.∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠OCB＝60°.由(1)可知△AOP≌△BOP，∴∠APO＝∠BPO＝30°，∠AOP＝∠BOP＝60°， ∴易得OA＝2，∠AOP＝∠OCB，∴OP∥BC，∴S△PCB＝S△OCB， ∴S阴影＝S扇形OCB＝＝. (2)若∠APB＝60°，PA＝2，求图中阴影部分的面积． $