上海市格致中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

格致中学 二O二六学年度第一学期期中考试 高二年级 数学试卷 (共4页) (测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷) 友情花东：昨天，你鹿站：万了艰苦的骨日，个天，你密将责得可喜的收教7 配你：优实守信，沉看冷甘，抑政曾实，自信自服，去迎接胜利/ 一、填空题：（本题共有12个小题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满 分42分) 中 1.若直线1上有三个不同的点到平面α的距离均为1，则直线1与平面a的位置关系 为 2.已知圆锥的母线长为√2，底面半径为1，则该圆锥的体积为 3.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,若S,=21,则a4= 4.若一个奇函数的定义域为{a,b,2),则a+b的值为 5.在正方体ABCD-48CD中，异面直线4C与BD所成角的大小为 办 6.已知a=(10,1),=4,10),c=44,2),若a、和c共面，则实数t= 7.已知x>0,y>0,且x+2y=2y,则x+y的最小值为 8.已知函数f(x)= ax-2 x<2 对任意实数k,方程f(x)=k都有解，则实数a的 10g2xx22 取值范围是为 9.在正四面体P-ABC中，M和N为侧面ABP上互异的两点，则直线MN与平面ABC 所成角的最大值为为 10,如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜 面上的点C处.已知水库底面与水坝斜面所成的二面角 的大小为150°，测得从D、C两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为 DA=20N3m,CB=40m,且AB=20m,则甲乙两人相距为 m. 11.在三棱锥A-BCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为6，定长为1Q<4)的 线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动（含边界）， 若线段W的中点P的轨迹的面积为5，则1的值为为 二。二六学年度第一学期高二数学期中考试 第1页共4页 12.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为√5，M,N为体对角线BD的三等分点，动点 P在三角形AC内，且三角形PMN的面积So=5, ,则点P的轨迹长度为 6 二、选择题：（本题共有4个小题，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分， 满分14分) 13.已知3,2是复数，则“3+z2=名-z2”是“2=0”的(). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.在空间中，下列命题为真命题的是（). A.若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行： B.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直； C.若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面 垂直： D.若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线 互相垂直， 15.已知棱长均为1的正n棱柱有2n个顶点，从中任取两个顶点作为向量a的起点 与终点，设底面的一条棱为AB.若集合A={xx=a·A丽，则当A,中的元素个数 最少时，n的值为() A.3 B.4 C.6 D.8 16.已知正方体ABCD-AB,CD,设直线aC平面ABCD,直线bc平面DAB,C, 记正方体12条棱所在直线构成的集合为2，给出下列四个命题： ①2中可能有4条直线与a异面； D ②2中可能有5条直线与a异面： B ③Q中可能有8条直线与b异面： D ④0中可能有10条直线与b异面： 其中，所有正确结论的序号为（立， A.①②③ B.①④ C.①③④ D.①②④ 少下世1雨 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 17.(本题共2小题，其中第1小题4分，第2小题5分，满分9分) 已知向量a=(sin3,5),b=(cosx,1). 若a/6,求0x+5os严的值 √3sinx-cosx 2)设f)-(6-x引 若关于x的方程f(x)=m-l有解，求实数m的 取值范围。 18.(本题共2小题，其中第1小题4分，第2小题6分，满分10分) 已知圆柱的底面圆半径为r,上底面圆心为O,正六边形ABCDEF内接于下底 面圆P,OA与母线所成角为30， (1)已知=3，求圆柱的侧面积S: (2)若圆柱体积为9π，求点C到平面OEF的距离， B 19.(本题共3小题，其中第1小题3分，第2小题3分，，3小题6分，满分12 分) 长方体ABCD-ABCD,中，底面ABCD为边长为2的正方形，A4=V6,点M 在棱DD上，且DD=3DM. D (I)求直线BM与平面CCDD所成角的正切值； (2)一只小虫从顶点A出发，沿着长方体的表面爬 行到达C,求小虫爬行的最短路径长度： (3)过线段AC作截面，使截面与底面ABCD所成锐 二面角为90<<引 求该截面的面积， 二0二六学年度第一学期高二数学期中考试第3页共4页 20.(本题共3小题，其中第1小题2分，第2小题5分，第3小题6分，满分13 分) 已知函数y=(x)的定义域为D.若存在实数a,使得对于任意∈D,都存在 名∈D,使得x+f(3)=a,则称函数y=fx)具有性质P(a). (1)分别判断：y=2及y=2x+1是否具有性质P(0)；（结论不需要证明) (2)若函数y=∫(x)的定义域为D,且具有性质P(),证明：“1eD”是“函数 y=(x)存在零点”的充分非必要条件： (3)已知t∈R,设g(x)=c2+2x,若存在唯一的实数a,使得函数y=g(x), xe[0,2]具有性质P(a),求t的值. 二0二六学年度第一学期商二数学期中考试第4页共4页