精品解析：广西南宁市创业路学校2026年秋季学期10月份九年级数学学情自测试题

2026年10月13日九年级数学作业 一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2、 B. 2、3 C. 1、 D. 、3 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 2. 下列关于的函数一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数． 【详解】A、，是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，是二次函数，故该选项正确，符合题意； C、，当时，是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； D、，未知数的最高次数不为2，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3. 将函数的图象向下平移3个单位，则所得函数图象表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，平移规律“左加右减，上加下减”．根据二次函数图象的平移规律进行解答即可． 【详解】解：将函数的图象向下平移3个单位，则所得函数图象表达式是； 故选：C． 4. 某抛物线的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式．明确抛物线的形状和开口方向相同时，两个函数的二次项系数相同是解题关键．根据顶点坐标设函数解析式为，再根据抛物线的形状和开口方向相同，确定的值，即可得到答案． 【详解】解：某抛物线的顶点坐标是， 设它的函数解析式为， 它的形状和开口方向与抛物线相同， ， 它的函数解析式为， 故选：C． 5. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故选：． 6. 如图，是二次函数的图象，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象和性质． 根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系直接得出即可． 【详解】解：由函数图象可知，的图象开口更小， 根据系数越大，开口越小， ； 故选：A． 7. 小东在用计算器估算一元二次方程的近似解时，对代数式进了代值计算，并列成下表． －0.5 0 0.5 1 2.75 1 －0.25 －1 由此可以判断，一元二次方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数y=，再由图表发现当x=0时，函数值大于0；当x=0.5时，函数值小于0，进而完成解答． 【详解】解：令y=可得函数y= 观察图表可发现： 当x=0时，函数y=的函数值为1＞0 当x=0.5时，函数y=的函数值为-0.25＜0 可得函数y=与x轴的一个交点的横坐标在x=0到x=0.5之间 所以一元二次方程的一个解的范围是． 故选B． 【点睛】本题主要考查了运用函数图象法解一元二次方程方程，理解一元二次方程的解就是对应函数图象与x轴交点的横坐标． 8. 二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求二次函数的对称轴，利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质求解即可． 【详解】解：由二次函数可知：对称轴为直线， ∵图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为， 设另一个交点的横坐标为， 则， 即， ∴， 故另一个交点的横坐标为； 故选D． 9. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 10. 若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答案． 【详解】解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 11. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数图象综合问题，掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键． 根据一次函数与二次函数的图象与性质进行逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，二次函数开口向下，此选项错误； B、当时，，解得 ，解得或 ∴一次函数与二次函数的图象都经过轴上的点，此选项错误； C、由一次函数图象知，，则，二次函数的对称轴位于轴左侧，又一次函数与二次函数的图象都经过轴上的点，此选项正确； D、由一次函数图象知，二次函数开口向上，此选项错误； 故选：C． 12. 如图，在等边三角形中，边上的中线，E是上的一个动点，F是边上的一个动点，在点E，F运动的过程中，的最小值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．连接，由题意可得，将转化为，当点C，点E，点F三点共线，且时，值最小，即的值最小，此时的长度为的最小值． 【详解】解：如图：连接， 是等边三角形，是中线， 垂直平分， ， ， 当点C，点E，点F三点共线，且时，值最小，即的值最小． 此时：是等边三角形，，， ， 即的最小值是6， 故选A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了运用提公因式法因式分解，正确确定公因式成为解答本题的关键 14. 抛物线 的对称轴是直线， 如果点、 在此抛物线上，那么 _____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，因为抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可判断． 【详解】解：抛物线的图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】为任意数 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况即可确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴的取值范围是任意数， 故答案：为任意数． 16. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，如图， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和可求出为的一半，为2米，抛物线顶点C坐标为，点A坐标为， 通过以上条件可设顶点式， 代入A点坐标，可得， 解得：，所以抛物线解析式为， 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： ，解得：， 所以水面宽度为米， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算及解方程 （1）计算； （2）用公式法解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项得：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， 即，． 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 19. 如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证： （1）四边形是平行四边形 （2）． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的对边平行得出，又，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的对边相等得出，根据矩形的对角线相等得出，等量代换即可证明． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质．掌握矩形的性质是解题的关键． 20. 某农场要建一个面积为80m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙AB长为15m），另外三边用木栏围成，木栏总长26m，求养鸡场CD边和DE边的长分别是多少？设养鸡场CD边的长为xm． （1）填空：养鸡场DE边的长为 　 　m（用含x的代数式表示）； （2）请你列出方程，求出问题的解． 【答案】（1）（26﹣2x）；（2）养鸡场CD边和DE边的长分别为8m，10m 【解析】 【分析】根据题意表示出矩形的长与宽，进而利用面积为80m2，得出等式求出答案． 【详解】解：（1）设CD＝xm，则DE＝（26﹣2x）m， 故答案是：（26﹣2x）； （2）根据题意可得： x（26﹣2x）＝80， 解得：x1＝5，x2＝8． 因为26﹣2x≤15，所以2x≥11，故x≥5.5． 所以x＝8， 则DE＝26﹣16＝10． 答：养鸡场CD边和DE边的长分别为8m，10m． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出矩形的长与宽是解题关键． 21. 随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量（）与销售单价（元）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价超过元时，此农产品下市不再销售． （1）当时，求日销售数量关于销售单价的函数关系式； （2）已知此农产品种植成本为每千克元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）农产品销售单价定为每千克元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为元，则单件利润为元，分段求解关于的函数表达式，再根据一次函数和二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设日销售数量关于销售单价的函数关系式为 代入点， 则 解得 ∴日销售数量关于销售单价的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为元，则单件利润为元， ①当时， ∴ ∵ ∴随着的增大而增大， ∴当时，（元）； ②当时， ∵，对称轴为直线 ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时， 而 ∴农产品销售单价定为每千克元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为元． 22. 一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． （1）则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ （3）汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】（1）15米/秒；2秒 （2）15米/秒 （3）秒 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； 【小问2详解】 从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； 【小问3详解】 设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 23. 【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． （2）应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）该隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶 （3）P点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）将车宽转化为横坐标，将横坐标代入解析式求解，判断，即可解题； （3）因为三角形为等腰直角三角形，需分类讨论，再根据等腰直角三角形的性质和函数解析式，即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：由图设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵车宽、高， ∴当时，， ∵，满足车顶部与隧道在竖直方向上的高度差至少为， ∴该隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶． 【小问3详解】 存在， ∵M为与的交点， 则有，解得，， ∴， ∵三角形为等腰直角三角形，需分类讨论， ①当，时， ∵N为直线与对称轴的交点， ∴， 取点，，则， ∴，即， ∴点Q为与抛物线的交点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q为与的交点， 则有，解得（舍），， ∴， ∴； ②当，时，因为轴，所以该情况不存在； ③当，时， ∵， ∴轴， ∵， ∴Q点的纵坐标为5，则，解得（舍），， ∴ 综上，P点的坐标为或． 【点睛】此题考查用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和数形结合思想，能够将题干条件转化为数学知识解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月13日九年级数学作业 一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2、 B. 2、3 C. 1、 D. 、3 2. 下列关于的函数一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象向下平移3个单位，则所得函数图象表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 某抛物线的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是二次函数的图象，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 小东在用计算器估算一元二次方程的近似解时，对代数式进了代值计算，并列成下表． －0.5 0 0.5 1 2.75 1 －0.25 －1 由此可以判断，一元二次方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 9. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 11. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在等边三角形中，边上的中线，E是上的一个动点，F是边上的一个动点，在点E，F运动的过程中，的最小值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 分解因式：______． 14. 抛物线 的对称轴是直线， 如果点、 在此抛物线上，那么 _____（填“”、“”或“”）． 15. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 16. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_____米． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算及解方程 （1）计算； （2）用公式法解． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证： （1）四边形是平行四边形 （2）． 20. 某农场要建一个面积为80m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙AB长为15m），另外三边用木栏围成，木栏总长26m，求养鸡场CD边和DE边的长分别是多少？设养鸡场CD边的长为xm． （1）填空：养鸡场DE边的长为 　 　m（用含x的代数式表示）； （2）请你列出方程，求出问题的解． 21. 随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量（）与销售单价（元）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价超过元时，此农产品下市不再销售． （1）当时，求日销售数量关于销售单价的函数关系式； （2）已知此农产品种植成本为每千克元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 22. 一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． （1）则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ （3）汽车滑行20米时用了多长时间？ 23. 【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． （2）应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $