精品解析：广西南宁市青秀区凤岭南中学2026年秋季学期10月大作业九年级数学试卷

2026年秋季学期10月大作业 九年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 2026年9月16日，平陆运河正式建成通航．运河全长约公里，总投资约亿元．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为（　　） A. y＝5（x+3）2+2 B. y＝5（x+3）2﹣2 C. y＝5（x﹣3）2+2 D. y＝5（x﹣3）2﹣2 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 反比例函数的图像所在的每一个象限内，都随的增大而减小．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 2023年中秋、国庆期间，某省累计游客数量约4800万人次，2025年中秋、国庆期间，该省累计游客数量约7500万人次．设年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 下表是满足抛物线的五组数据，是方程的一个解，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点和点分别在反比例函数（）和（）两个图象上，轴且交轴于，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 12. 如图，函数的图象过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是，其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 当________时，函数是二次函数． 14. 若点，在二次函数的图象上，则与的大小关系是________． 15. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．南宁市某城区计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛需要安排场比赛，则参赛的球队数量为________． 16. 如图1，在菱形中，，为的中点，点沿对角线从点向点运动，连接，．设，，图2是点运动时随变化的关系图象，其中右端点的纵坐标为3，则图象最低点的坐标为________________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算、解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 19. 设，是关于的一元二次方程的两根． （1）当时，求及的值； （2）求证：． 20. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 21. 广西壮锦是中国四大名锦之一，与南京云锦、成都蜀锦、苏州宋锦并列．它不仅仅是一种布料，更是一部“穿在身上的史书”，凝聚了壮族人民的智慧、审美和历史记忆．为弘扬地方文化，让更多游客了解广西文化，某文旅公司推出了一款壮锦马甲．已知每件马甲的成本为40元，根据调查发现，当售价为50元时，平均每天可以售出100件；若售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件． （1）当每件马甲售价为60元时，平均每天售出马甲________件，每天的利润是________元； （2）设每件马甲售价为元（且为整数），平均每天的销售量为件，每天销售利润为元． ①求关于的函数关系式，并写出的取值范围． ②当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 定义：在平面直角坐标系中，对于双曲线和双曲线，如果，则称双曲线是双曲线的“半倍双曲线”． （1）双曲线的“半倍双曲线”的表达式为________________； （2）如图1，点是双曲线在第一象限内任意一点，过点作轴的平行线交该双曲线的“半倍双曲线”于点，交轴于点． ①图中两支曲线________交点（填“有”或“没有”）； ②证明：点是的中点： （3）如图2，已知点是双曲线在第一象限内任意一点，过点作轴的平行线交该双曲线的“半倍双曲线”于点，过点作轴的平行线交该双曲线的“半倍双曲线”于点，若的面积记为，且，求的取值范围． 23. 综合与实践 南宁地铁1号线列车在进站时会启动减速程序，以确保平稳停靠，在某次运行中，南宁地铁1号线列车于万象城站停车线196米处启动减速程序，减速一段时间后播放提示音“列车即将到达万象城站…”．提示音全程持续23秒，提示音结束时，刚好列车停止． 核心问题： （1）列车从开始减速到完全停止，共需多少秒？ （2）列车开始播放提示音时，距离停车线多远？ 为解决这些问题，某学习小组通过建立函数模型，来探究列车离停车线的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系： （1）建立模型 ①收集数据 （秒） 0 4 8 12 16 20 24 …… （米） 196 144 100 64 36 16 4 …… ②为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．请将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ③观察这条曲线的形状，它可能是________的图象． A．一次函数 B．二次函数 C．正比例函数 D．反比例函数 ④利用③中的结论，求此函数解析式． （2）应用模型 请你应用模型解答核心问题中的两个问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期10月大作业 九年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 2026年9月16日，平陆运河正式建成通航．运河全长约公里，总投资约亿元．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法标准形式：，要求、为整数，先把亿写成数字，再转化． 【详解】解：亿． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的概念判断即可． 【详解】解：A．，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B．，是一元一次方程，不符合题意； C．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 3. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征逐一验证即可． 【详解】解：反比例函数图象上的点满足， ， 点在函数图象上，故选项A符合题意； ，，，均不等于， 其余选项的点均不在函数图象上． 4. 已知方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程，即可解出的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入原方程，得， 整理得：， 解得：． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴此函数的顶点坐标为（3，1）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h． 6. 将抛物线y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为（　　） A. y＝5（x+3）2+2 B. y＝5（x+3）2﹣2 C. y＝5（x﹣3）2+2 D. y＝5（x﹣3）2﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：∵y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的顶点坐标为（3，2）， ∴所得的抛物线的解析式为y＝5（x﹣3）2+2． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式求解更简便． 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算根的判别式，根据其符号判断方程根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 8. 反比例函数的图像所在的每一个象限内，都随的增大而减小．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小，本题中，列出不等式即可求出范围． 【详解】解：反比例函数的图像所在的每一个象限内，都随的增大而减小， ，解得． 9. 2023年中秋、国庆期间，某省累计游客数量约4800万人次，2025年中秋、国庆期间，该省累计游客数量约7500万人次．设年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设年平均增长率为，根据“2023年游客数量为4800万人次，2025年游客数量为7500万人次”，可得出方程． 【详解】解：设年平均增长率为，那么依题意得， 故选：A． 10. 下表是满足抛物线的五组数据，是方程的一个解，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】查找值正负切换对应的区间，确定方程解的范围． 【详解】解： 由表格数据得，当时，；当时，， 二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标在和之间， 方程的解满足． 11. 如图，点和点分别在反比例函数（）和（）两个图象上，轴且交轴于，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：轴 点和点的纵坐标相同， ，即， ，，， ，， ， ，即， ， ． 12. 如图，函数的图象过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是，其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，会根据图象获取所需要的信息是解答本题的关键．根据对称轴，开口方向判断①，根据时的函数图象判断②，根据时的函数图象判断③，根据对称性求得函数的图象与轴的另一个交点为，进而根据函数图象在轴上方部分判断④． 【详解】解：根据图象可知： ①抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴，，即， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴，则， ∴，故①正确； ②函数的图象过点，则， 又，则，即；故②正确； ③∵时，，代入，则，即，故③错误， ④∵函数的图象过点，对称轴为直线， ∴函数的图象与轴的另一个交点为， ∴当时，的取值范围是，故④正确， ∴正确的有①②④，共3个， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 当________时，函数是二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，建立关于的不等式求解即可得答案. 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴ ， ∴. 14. 若点，在二次函数的图象上，则与的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点，在二次函数的图象上，求出与，再比较大小即可得答案. 【详解】解：∵ 点、点在二次函数的图象上， ∴ ，， ∵ ， ∴ . 15. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．南宁市某城区计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛需要安排场比赛，则参赛的球队数量为________． 【答案】 8支 【解析】 【分析】根据单循环赛的比赛规则，建立参赛球队数与总比赛场数的数量关系，列一元二次方程求解，结合实际意义舍去不符合的负根． 【详解】解：设参赛的球队数量为支， 根据题意列方程：， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因为球队数量为正整数，不符合实际意义，舍去 所以，参赛的球队数量为8支． 16. 如图1，在菱形中，，为的中点，点沿对角线从点向点运动，连接，．设，，图2是点运动时随变化的关系图象，其中右端点的纵坐标为3，则图象最低点的坐标为________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，分别交于点O，H，由题意易得，，然后可得，，由图象可知，则有，，，根据图象可知当点B、F、E三点共线时，有最小值，此时点F与点H重合，最小值为的长，进而问题可求解． 【详解】解：连接，分别交于点O，H，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∵为的中点， ∴，， ∴，， 由图象可知：右端点的实际意义为此时点与点F重合， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 由图象可知：点P是该函数的最低点，此时的值最小， ∵， ∴当点B、F、E三点共线时，有最小值，此时点F与点H重合，最小值为的长， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算、解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 即或， 解得． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 【答案】（1）如下图： （2） 【解析】 【分析】（1）线段垂直平分线的尺规作图方法是分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在线段的两侧分别交于两点，过这两点作直线，该直线即为线段的垂直平分线l． （2）利用线段垂直平分线的性质得到，进而结合推导出为等腰直角三角形，最后利用勾股定理求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴． ∴为等腰直角三角形． 在中，，即 解得． ∵线段长度为正数， ∴． 19. 设，是关于的一元二次方程的两根． （1）当时，求及的值； （2）求证：． 【答案】（1），； （2）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系求出和的值即可； （2）根据根与系数的关系进行证明即可. 【小问1详解】 解：∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 20. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2t， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【小问1详解】 解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 21. 广西壮锦是中国四大名锦之一，与南京云锦、成都蜀锦、苏州宋锦并列．它不仅仅是一种布料，更是一部“穿在身上的史书”，凝聚了壮族人民的智慧、审美和历史记忆．为弘扬地方文化，让更多游客了解广西文化，某文旅公司推出了一款壮锦马甲．已知每件马甲的成本为40元，根据调查发现，当售价为50元时，平均每天可以售出100件；若售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件． （1）当每件马甲售价为60元时，平均每天售出马甲________件，每天的利润是________元； （2）设每件马甲售价为元（且为整数），平均每天的销售量为件，每天销售利润为元． ①求关于的函数关系式，并写出的取值范围． ②当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）80，1600； （2）①（且为整数）；②当售价定为70元时，每天销售利润最大，最大利润是1800元． 【解析】 【分析】（1）根据售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件，列式计算可得平均每天售出的马甲件数；根据利润单件利润销售数量列式计算即可； （2）①根据售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件，可列出的代数式表示，根据实际情况可知的取值范围； ②根据利润单件利润销售数量，用含x的代数式表示利润，再根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：当每件马甲售价为60元时， 平均每天售出马甲（件）， 每天的利润是（元）； 【小问2详解】 解：①根据题意得， 即， ∵售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件， ∴售价上涨不得超过元， 即， ∵且为整数， ∴， 即（且为整数）； ②根据题意得 ， ∴当时，有最大值，最大值为1800， 即当售价定为70元时，每天销售利润最大，最大利润是1800元． 22. 定义：在平面直角坐标系中，对于双曲线和双曲线，如果，则称双曲线是双曲线的“半倍双曲线”． （1）双曲线的“半倍双曲线”的表达式为________________； （2）如图1，点是双曲线在第一象限内任意一点，过点作轴的平行线交该双曲线的“半倍双曲线”于点，交轴于点． ①图中两支曲线________交点（填“有”或“没有”）； ②证明：点是的中点： （3）如图2，已知点是双曲线在第一象限内任意一点，过点作轴的平行线交该双曲线的“半倍双曲线”于点，过点作轴的平行线交该双曲线的“半倍双曲线”于点，若的面积记为，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①没有 ②证明：设点的横坐标为，则， ∵平行于轴，点在“半倍双曲线”上， ∴， ∵点是与轴的交点， ∴， ∴，， ∴，即点是的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“半倍双曲线”定义，计算即可得出对应表达式； （2）①联立两条双曲线方程，通过方程无解判断无交点，②设点横坐标，分别求出三点坐标，验证与长度相等即可完成证明； （3）设点坐标，根据平行线性质求出坐标，计算直角三角形的面积得到与的关系，结 合的范围解不等式即可得的取值范围． 【小问1详解】 解：∵双曲线的半倍双曲线为， ∴，即， ∴双曲线的“半倍双曲线”的表达式为； 【小问2详解】 解：①由 “半倍双曲线”的定义知，双曲线的半倍双曲线为， ∵联立方程，解方程组得此方程组无解， ∴两支曲线没有交点； ②略； 【小问3详解】 解：由 “半倍双曲线”的定义知，双曲线的半倍双曲线为， 设点的坐标为， ∵过作轴的平行线交半倍双曲线于， ∴的横坐标为，代入半倍双曲线得； ∵过作轴的平行线交半倍双曲线于， ∴的纵坐标为，代入半倍双曲线得， ∴是直角三角形（竖直，水平）， ∴；， ∴, ∵， ∴，解得． 23. 综合与实践 南宁地铁1号线列车在进站时会启动减速程序，以确保平稳停靠，在某次运行中，南宁地铁1号线列车于万象城站停车线196米处启动减速程序，减速一段时间后播放提示音“列车即将到达万象城站…”．提示音全程持续23秒，提示音结束时，刚好列车停止． 核心问题： （1）列车从开始减速到完全停止，共需多少秒？ （2）列车开始播放提示音时，距离停车线多远？ 为解决这些问题，某学习小组通过建立函数模型，来探究列车离停车线的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系： （1）建立模型 ①收集数据 （秒） 0 4 8 12 16 20 24 …… （米） 196 144 100 64 36 16 4 …… ②为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．请将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ③观察这条曲线的形状，它可能是________的图象． A．一次函数 B．二次函数 C．正比例函数 D．反比例函数 ④利用③中的结论，求此函数解析式． （2）应用模型 请你应用模型解答核心问题中的两个问题． 【答案】（1）② ③B ④ （2）(1)；(2) 【解析】 【分析】(1)②按照描点、连线的步骤画出函数图象即可；③根据函数图象确定函数类型即可解答；④运用待定系数法求得函数解析式即可； (2)应用模型：(1)当时，求出对应的即可解答；(2)先求出鸣笛在启动减速系统后的时间秒，然后将代入求解即可． 【小问1详解】 解：②建立如图所示的平面直角坐标系．先根据表格描点并用平滑的曲线依次连接如图，图略； ③根据②可知该函数图象是二次函数图象； ④由题意，设， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：(1)当时，则， ∴， ∴， ∴共需秒； (2)由提示音全程持续秒，则鸣笛在启动减速系统后的时间为秒， ∴当时，（米）， 答：列车开始播放提示音时，距离停车线米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $