甘肃庆阳市环县第一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

2026~2027学年度第一学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章~第2章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 数列，，，，的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，三点共线，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，，，且，，，，是等比数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若等差数列的前项和为，且，，对任意的正整数，都有，则正整数的值为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2026 D. 2027 8. 已知点为直线上一点，则的最小值是（ ） A. B. 7 C. D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 11. 某公司2025年的营业收入为2.5亿元，净利润为0.5亿元．预测显示：在2025年至2034年这十年内，该公司每年的营业收入都比上年增加0.5亿元，净利润都是上年的115%，则（ ）（参考数据：，，） A. 2030年的营业收入为5亿元 B. 2034年的净利润超过当年营业收入的27% C. 2025年至2034年这十年的营业收入总和为52.5亿元 D. 2025年至2034年这十年的净利润总和约为10.17亿元 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的前n项和，则______. 13. 已知圆与圆外切，则______________. 14. 已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知.求： （1）过点且与BC垂直的直线方程； （2）过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 16. 已知数列是等差数列，，． （1）求的通项公式； （2）记的前n项和为，求满足等式的n的值． 17. 已知直线和. （1）求证：直线过定点，且此定点在内； （2）若直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程. 18. 已知公比为正数的等比数列的前n项和为，且，，数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 19. 如图，已知圆，圆，点为上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，. （1）当点的坐标为时， （ⅰ）判断，，，四点是否共圆，若共圆，求出该圆的方程；若不共圆，说明理由； （ⅱ）求直线的方程； （2）当在圆上运动时，求四边形面积的最大值与最小值. 2026~2027学年度第一学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章~第2章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】－3750 【13题答案】 【答案】13 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）； （2） 【16题答案】 【答案】（1）() （2） 【17题答案】 【答案】（1） 直线的方程可变形为， 令，则，所以直线过定点， 因为，所以点在内部； （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）(i)存在，方程为； (ii)方程为. （2）四边形面积的最大值为，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026~2027学年度第一学期期中考试·高二数学试题 参考答案、提示及评分细则 L.B因为直线方程为4一5y十19=0，即y一专十号，所以直线的斜率为号·放选B 2.C记数列-1,3，-5,7，…为{an},则a=(-1)×(2×1-1),a2=(-1)2×(2×2-1),a3=(-1)3× (2×3-1),a4=(一1)4×(2×4-1)，所以{am}的通项公式可能是am=(-1)”(2-1).故选C. 8D由题意知2名气写”名部得a=4放述D 4.A因为81，x,y,,1是等比数列，所以y2=81×1=81,x2=81y>0,所以y=9.故选A. 5.C因为数列{a冫是等差数列，所以S2,S4一S2,S一S4也成等差数列，即2(S4一S2)=S2+S6一S4,所以 2(11-号)=号+S-11,解得S。=号故选C. d-4(d-2)>0, 6.B由题意得 解得-2<a<0,或号<a<2.故选B 1+1-a+-2>0 7.B因为数列{a,}是等差数列，S%<0,S>0,所以S,6=2026Ca,十a2<0,即a1十as<0,则 2 410B十a14<0,又S7=2027Ca,+》=2027a14>0,所以4104>0,41B<0,且44<-4a,即 2 |am4|<|a113|,所以等差数列{a}是递增数列，即a<a2<…<a1u2<a3<0<am4<a1o5<…,且 |a|>|a2|>…>|am2|>|a13,|a4|<|am6|<…,又|a4|<|a3|,对任意的正整数，都 有|am|≥|a|,所以k=1014.故选B. n×1=-1, 8.D因为C在直线y=x十2上，设点A关于直线y=x十2的对称点为A,(m,n),则 解得 =m1+2, 2 2 m=2, 故A(一2,3)，连接AB交直线y=x十2于点P,当C在P点时，CA+|CB取得最小值，其 n=3. 最小值为|AB引=W√(-2-2)2+(3-0)=5.故选D. BD由题意，得=2。-号所以a,=2a--1a,-“-么，所以数列a是以3为周期 a2 a3 【高二期中考试·数学试题参考答案第1页（共4页）】 27-T-094B 的周期数列，a2025=a65x3=一1，a2025=a65×3+1=2.故选BD. 10.AB设直线6的方程为x-2十入=0，则，2间的距离d=1-L =√5，解得λ=6，或λ=一4，所 √1+(-2)z 以直线2的方程为x一2y十6=0或x一2y-4=0.故选AB. 11.AD在2025年至2034年这十年内，该公司每年的营业收人记为数列{am},净利润记为数列{b.},数列 {an},{bn的前n项和分别为Sm,Tm,所以数列{an}是首项a1=2.5,公差d=0.5的等差数列，数列 {b.}是首项b1=0.5,公比q=1.15的等比数列，所以2030年的营业收人为a6=a1+5d=5(亿元)，故A正 确：2034年的营业收人为ao=a+9d=7(亿元)，2034年的净利润为w=bg≈1.76（亿元），如≈76< a10 7 0,27,故B错误：这十年的营业收人总和为S=10X2.5十10X9×0.5=47.5(亿元)，故C错误：这十年的 2 净利润总和为T,=0.5115)≈10.17（亿元），故D正确.故选AD. 1-1.15 12.-3750a6=S6-S=[(-5)5+3]-[(-5)4+3]=-3750. 13.13圆O:(x+2)2+y2=4的圆心为O(-2,0),半径r1=2,圆O2:(x-2)2+(y+3)2=m-4的圆心 为O(2,一3)，半径r2=√m-4,因为两圆外切，所以|OO2=r1+r2,即5=2+√m一4，解得m=13. 18器 因为a=1,an-a-1=n(n≥2)，所以当n≥2时，am=a+(a2-a)+(ag-a2)+…+(a-a-1)= 1十2+3+…十n=.因为a=1也满是a=安，所以a=,=2 2 'dn(n+= 2(日)所以8=2[(1-日)+（分吉）+…+（分）】兴所以ss腮 5.解：(1)设过点A且与BC垂直的直线的斜率为k,直线BC的斜率k一号三一1，…2分 由k以·k=-1,得k=1,…4分 所以y-2=1×(x一2)，即所求直线的方程为x一y=0. …6分 (2)直线AB的斜率ks}二 =一1，设直线AB的倾斜角为a,则tana=一1，…9分 又0°≤Q<180°，所以a=135°，…10分 由题意所求直线的领斜角为罗-45，放所求直线的斜率为m4行=1， …11分 所以y-1=1X(x-3),即x-y-2=0.…13分 【高二期中考试·数学试题参考答案第2页（共4页）】 27-T-094B 16.解：(1)设等差数列{am}的公差为d, 由a3十a?=-26,得(-1+2d)十(-1十6d)=-26,解得d=-3.…4分 所以an=a1十(n-1)d=-31十2.…7分 (2)由(1)知a=-1,d=-3,所以S,=a+,Dd=二3+n, 2 2 10分 由5=a,-51,得一3+1--3m十2-51，即3m2-7一98=0，解得1=7或= 14 2 …13分 又n∈八N”,所以=7.…15分 x-1=0, x=1, 17.(1)证明：直线1的方程可变形为k(x一1)十(1一y)=0,令 则 所以直线1过定点(1,1). 1-y=0, 3分 因为12十12-4X1=-2<0,…5分 所以点(1,1)在⊙C内部.… …7分 (2)解：⊙C的方程可化为(x一2)2+y2=4, 所以⊙C的圆心为C(2,0),半径r=2.…9分 因为AB=2，所以圆心C到直线1的距离d=√P-(=2，…1分 即2k-0+1一=2，解得k=1.… 13分 2+1 所以直线l的方程为x一y=0.… 15分 18.解：(1)设等比数列{am}的公比为q(q>0), 由S=13a,得a十ag+a=13a,f,又a≠0，所以12f-g一1=0，解得g=号或g=-(舍去). ……2分 又a=2a:十则a=号a+日解得a=， …3分 所以a,=ag1=(）八 4分 由c2+36=(2a十1a1,得会- …5分 所以会会-号一产心2》 【高二期中考试·数学试题参考答案第3页（共4页）】 27-T-094B 以上各式相乘，得2=2XX…X5X乙X…X2十121十m≥2，…7分 bw-131 21-1 3 又b1= 1=3,所以b,=2十1，且b=3满足上式，所以b,=21十1(n∈N).…8分 (2)由(D,得a,b,=(2+1)(号)》 10分 所以T.=3X(号)+5×（号）》‘+7×(3）++(2m-1D(号）+(2+1)(3），…12分 3工=3×（号）厂+5x(号)+7X(号）广++2m-1)(号)广+2+1D(号)》， 两式相减，得号T。=1+2[(兮)》广+（兮）》°++(3)”门-(2+1D(兮）， …14分 所以号T.=1+2× i-(号》-21传》-号-2r号) 1-3 即T.=2-(+2)(号)” 17分 19.解：(1)(i)连接DE,因为DA,DB为圆E的切线，所以DA⊥AE,DB⊥BE,…1分 所以A,B,D,E四点均在以DE为直径的圆上，… ……2分 由题意知D(一1，一2)，E(3,4),故DE的中点F的坐标为(1,1)，DE引=2√13，…3分 所以所求圆F的方程为(x一1)2十(y一1)2=13.… …4分 (iⅱ)由(1)知圆F:(x-1)2+(y一1)2=13与圆E相交于A,B, 所以(x-3)2+(y-4)2-[(x-1)2+(y-1)2]=16-13,… 6分 化简，得2x十3y-10=0,即直线AB的方程为2x十3y-10=0.…8分 (2)记四边形ADBE的面积为S,则S=|AD·|AE引=4√DE2-16,… 10分 所以当DE最大时，S取得最大值，当DE最小时，S取得最小值，…12分 易求得|CEl=/4I,所以|DE|mx=√4红+1，I DEIm=√4红-1， 14分 所以Smx=4√（√4+1）-16=4V√26+2V/4T, Smm=4/(√/4I-1)2-16=4√/26-2/4I. 即四边形ADBE的面积的最大值为4√26+2√4红，最小值为4√26-24红. …17分 【高二期中考试·数学试题参考答案第4页（共4页）】 27-T-094B