精品解析：广东仲元中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

2026-2027学年广东省仲元中学10月月考 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每题5分，共8小题） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元一次不等式确定集合，再求两个集合的交集. 【详解】由，得，即，故. 又，所以，即. 2. 已知命题:，则命题 的否定为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】存在量词改为全称量词，并否定结论，得 . 3. 已知满足且，下列选项中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以． 对于A，因为，所以； 对于B，因为，所以，又，所以； 对于D，因为，所以，又，所以； 对于C，因为且，所以或，因此与的大小不能确定，即不一定成立． 4. ，，，则的最小值是（ ） A. 12 B. 13 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】先将变形得到，再通过“乘1”法结合基本不等式求最小值. 【详解】，，，得. ，当且仅当即时等号成立. 的最小值为18. 5. 已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用已知条件将等式变形为1的表达式，再通过“1的代换”将展开，最后应用基本不等式求出最小值，再根据不等式恒成立的条件，将问题转化为关于的不等式，从而确定的取值范围. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 若不等式恒成立，则， 所以，解得. 故选：C 6. 若函数是增函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当时，为增函数，且. 当时，若，在上单调递减，不符合题意， 若，则，开口向下，对称轴，不可能在单调递增，不符合题意， 若，要使二次函数在上递增，其对称轴须满足，解得. 还需保证分段处的大小关系，即，解得. 等号成立时，右段在处的函数值仍严格大于，符合题意. 综上，的取值范围为. 7. 定义域为的函数满足，且当时，，若对任意的都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案； 法二：根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得. 【详解】法一：当时，，，， 根据二次函数的性质，当时，， 由此画出的图象如下图所示， 又，所以至少小于，此时， 令，得，解得或，结合图象，故. 法二：因为函数的定义域为，满足，则， 且当时，， 当，时，， 则， 当，时，， 则， 当，时，， 则， 作出函数的大致图象， 对任意，都有，设的最大值为， 则，所以，解得或， 结合图象知m的最大值为，即的取值范围是. 故选：A. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】D 【解析】 【分析】先由奇函数确定的值，然后对变形得到其单调性，结合函数奇偶性将不等式等价变形为对任意恒成立，故只需求出函数的最小值即可，由复合函数单调性，即可得出其单调性，进而得到其最小值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，得，，从而由复合函数单调性可知在上单调递增， 且注意到是定义在上的奇函数， 所以不等式等价于， 即等价于，亦即， 该不等式对任意恒成立，则不大于的最小值． 因为由复合函数单调性可知在区间上单调递增， 所以当时，的最小值为 所以，等号成立当且仅当． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是先结合已知得到在上单调递增，从而将不等式等价变形为对任意恒成立，进而即可求解. 二、多选题（每题6分，共3小题，答多或不答不得分，答对部分得部分分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A、已知， 根据不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得， 化简得，即， 因为， 所以，选项A为真命题； 选项B、当时，， 则，， 此时，不满足，选项B为假命题； 选项C、， 已知，则， 因此，即，选项C为假命题； 选项D、已知， 根据不等式两边同时加，不等号方向不变，可得， 所以． 已知， 根据不等式两边同时加，不等号方向不变，可得， 所以． 综上可得，选项D为真命题． 10. 已知正实数满足， 则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为16 【答案】AD 【解析】 【分析】结合（），对各选项分别变形，利用基本不等式或二次函数性质判断，同时验证等号成立条件. 【详解】选项A：由基本不等式得，当且仅当时取等号，故最大值为，故A正确； 选项B：将代入得，当时，的最小值为，故B错误； 选项C：由，故，当且仅当时，取得最大值，故C错误； 选项D：因，则， 当且仅当时取等号，即当时，取得最小值16，故D正确. 11. 定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（ ） A. B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】由抽象函数满足，令可得，利用奇偶性，单调性的定义可推导函数的奇偶性和单调性，可求函数在区间上的最大值，利用单调性解不等式可得解集. 【详解】因为定义在R上的函数满足， 令，得，即 ，A正确， 令，得，即，函数为奇函数，B正确， 设，则，， 由题，，即， 所以，函数在R上单调递减，所以C错误， 不等式可化为，由在R上单调递减，所以，即，不等式解集为，D错误. 故选：AB. 三、填空题（每题5分，共3小题） 12. 函数的零点是__________. 【答案】0 【解析】 【详解】令，即，解得， 所以函数的零点是0. 13. 如图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．则函数的解析式为 _______. 【答案】 【解析】 【详解】在边长为2的正中，如图， 令的中点为，连接，则， 当时，设直线与分别交于两点，则， 由，得， 因此； 当时，设直线与分别相交于两点，则， 由，得， 因此； 当时，， 所以函数的解析式为. 点睛：本题考查函数模型的选择及应用，考查分段函数解析式的求法，分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式．对于分段函数，注意处理好各段的端点，是中档题． 14. 已知函数，若方程有5个不等实根，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，利用换元法，令，将方程有5个不等实根转化为方程有2个不等实数根，结合图象确定两根的范围，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】作出函数的图象如图： 令，则方程有5个不等实根， 等价于方程有2个不等实数根， 且结合图象可知一个根在之间，一个根等于1， 或一个根在之间，一个根在内，不妨设， 当一个根等于1时，，则或， 当时，即，两根为，符合题意； 当时，即，两根为，不符合题意； 当一个根在之间，一个根在内时， 则，解得，故， 综合以上可知， 故答案为： 四、解答题（共5小题，总计79分） 15. 已知集合，. （1）当时，求，；；； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），，或，. （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据集合的交并补运算求解即可； （2）根据题意得真包含于，进而分与两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：当时，，， 所以，， 或，或. 【小问2详解】 解：因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以 当时，,即，此不等式无解，故不成立； 当时，，解不等式得， 当时，此时有，不满足真包含于，舍去 综上，实数的取值范围 16. 已知定义在上的函数是奇函数． （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并用单调性定义证明； （3）若存在，使得关于x的不等式能成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 是上的减函数，证明如下： ，设且， ∴， ∵且，∴， ∴，即， ∴是上的减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）先根据求得的值，然后再检验即可； （2）利用单调性定义判断并证明； （3）根据函数的单调性与奇偶性将问题转化为“在时能成立”，然后通过换元法求解出结果． 【小问1详解】 ∵定义在上的函数是奇函数，∴，∴． 此时，， ∴是奇函数，满足题意， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵是上的奇函数， ∴不等式即为， ∵是上的减函数， ∴在时能成立， 令，则，当且仅当时取等号， 故在时能成立， ∴， 令， ∵在上均单调递增， ∴在上单调递增， ∴， 故． 17. 玉林五彩田园种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量（单位：）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为6元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元． 【解析】 【分析】（1）依题意分段表示利润与成本关系即可； （2）利用二次函数的性质与基本不等式分段计算函数最值并比较即可. 【小问1详解】 由题意可得， 当时，， 则. 当时，， 则. 综上，的函数关系式为： . 【小问2详解】 当时，是二次函数，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 所以当时，. 当时， 当且仅当，即时等号成立，此时； ， 当时，利润最大，最大利润为64.5元. 综上，当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元. 18. 设定义在上的奇函数且， （1）求的值 （2）已知，函数，，求的值域； （3）若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求解参数即可. （2）对给定函数合理变形，将其利用换元法变为二次函数，利用二次函数的性质求解值域即可. （3）利用题意结合函数的奇偶性与单调性将问题转化为绝对值不等式恒成立问题，再利用同时平方法化为一元二次不等式恒成立问题，求解参数范围即可. 【小问1详解】 是定义域为上的奇函数， ，得到，解得， 经检验，满足题意，即的值为. 【小问2详解】 ，，即， 或舍去， ， 令，由指数函数性质得在上为增函数， ，， 由二次函数性质得当时，， 而，，的值域是， 故的值域是. 【小问3详解】 由于，， 因为是奇函数，所以， 故，且定义域关于原点对称，可得是偶函数， 由指数函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 又，， 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 左右同时平方得对恒成立. ， 解得，综上可得的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是利用函数的奇偶性和单调性对给定不等式化简，然后将其化为一元二次不等式恒成立问题，再得到所要求的参数范围即可. 19. 函数定义域为，对于，，，． （1）若，求实数的值； （2）若．证明： （ⅰ）；； （ⅱ）当时，；当时，． 【答案】（1） （2） （ⅰ）证明：，． 则， 所以， 而， 则， 所以，． （ⅱ）证法1：若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得，， ，， 综上，，， 若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得，， 则； 综上，，， 证法2：任意，， ， 所以，则在上单调递增． 若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得， 由单调性可得， 综上所述，，． 若，由（ⅰ）得， 若且，必存在使得， 由单调性可得； 综上所述，，． 【解析】 【分析】（1）由题设可得对于任意正数，，进而得到，由恒成立可得，进而得到； （2）（ⅰ）由，可得，再得到，进而求证即可； （ⅱ）证法1：结合（ⅰ）分、且可证明当时，，分、且可证明当时，； 证法2：先利用函数单调性的定义证明在上单调递增，再分情况证明即可. 【小问1详解】 因为对于任意正数，，所以，所以． 当，时，． 因为，，所以，所以，所以， 综上所述，． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年广东省仲元中学10月月考 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每题5分，共8小题） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题:，则命题 的否定为（　　） A. B. C. D. 3. 已知满足且，下列选项中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. ，，，则的最小值是（ ） A. 12 B. 13 C. 16 D. 18 5. 已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是增函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 定义域为的函数满足，且当时，，若对任意的都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最大值 二、多选题（每题6分，共3小题，答多或不答不得分，答对部分得部分分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知正实数满足， 则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为16 11. 定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（ ） A. B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 三、填空题（每题5分，共3小题） 12. 函数的零点是__________. 13. 如图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．则函数的解析式为 _______. 14. 已知函数，若方程有5个不等实根，则实数a的取值范围是______. 四、解答题（共5小题，总计79分） 15. 已知集合，. （1）当时，求，；；； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知定义在上的函数是奇函数． （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并用单调性定义证明； （3）若存在，使得关于x的不等式能成立，求实数k的取值范围． 17. 玉林五彩田园种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量（单位：）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为6元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 18. 设定义在上的奇函数且， （1）求的值 （2）已知，函数，，求的值域； （3）若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 函数定义域为，对于，，，． （1）若，求实数的值； （2）若．证明： （ⅰ）；； （ⅱ）当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $