精品解析：广东广州市为明学校2026-2027学年高一上学期入学摸底考试数学试题

为明学校2026级高一入学摸底考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､学校､年级､班级填写在答题卡上.将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列描述正确的是（ ） A. 素数 B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 集合，，，则实数的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 0或1 4. 已知有意义，则化简等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知某二次函数的最大值为2，其图象的顶点在一次函数的图象上，并且二次函数图象经过点，则二次函数的二次项系数为（ ） A. B. C. D. 6. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 8. 已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 下列表达式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 11. 在整数集中，所有被除，余数为的整数组成一个“类”，记为，即，给出以下四个结论，正确的是（ ） A. B. C. D. 当整数属于同一“类”时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 因式分解______ 13. 若为常数，则_________. 14. 已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是______． 四、解答题 15. 设集合是小于9的正整数.求 （1）； （2）； （3）. 16. 已知关于的方程有两个实数根. （1）求实数的取值集合； （2）若这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求的值. 17. （1）在氯化钠完全溶解的情况下，氯化钠加得越多，溶液越咸.请你用数学不等式知识描述上述结论（已知原盐水质量为a，氯化钠质量为b，添加的氯化钠质量为c），并证明之. （2）结合（1）中的不等式关系证明：当a，b，c是三角形的三边长时，恒成立. 18. 解答下列各小题： （1）已知，且，求的最小值； （2）利用（1）中的方法，求的最小值； （3）已知，且，求的最小值. 19. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且 （1）求集合； （2）求集合； （3）集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 为明学校2026级高一入学摸底考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､学校､年级､班级填写在答题卡上.将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列描述正确的是（ ） A. 素数 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合与元素的关系、集合与集合的关系及常用数集判断即可. 【详解】对于A，2为素数，故{素数}，A正确. 对于B，是自然数，故，B错误. 对于C，是无理数，故，C错误. 对于D，是元素与集合的关系符号，的元素为全体实数，是集合不是实数，不属于，故D错误. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项逐一分析 【详解】对于A，，故A正确 B，C，D均不成立，可举反例，取， 故选：A 3. 集合，，，则实数的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，列式，再检验集合中元素是否满足互异性. 【详解】由条件，则或， 当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去， 当时，或（舍）， 所以. 4. 已知有意义，则化简等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为有意义，所以， 所以，所以. 5. 已知某二次函数的最大值为2，其图象的顶点在一次函数的图象上，并且二次函数图象经过点，则二次函数的二次项系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设二次函数，则顶点坐标为. 二次函数的最大值为2，，顶点坐标为. 二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，且过点， ，解得，即二次函数的二次项系数. 6. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解恒成立问题得到命题的充分必要条件，再将充分不必要条件转化为集合间的关系求解即可. 【详解】“，”为真命题的充分必要条件为， 由二次函数的性质可知，所以. 设命题“，”为真命题的一个充分不必要条件为集合， 则真包含于，故只有D符合题意. 7. 与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方作差，再判断差的正负即可得解. 【详解】因，， 则， 所以. 故选：B 8. 已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】按区间端点平移，分类讨论，确定中的整数个数，即可求得答案. 【详解】中的整数为. 当时，，此时中不可能含有中的两个，不符合题意； 当时，中整数为，恰两个； 当时，，此时， 此时中整数为，恰两个； 当时，有三个整数，不符合题意； 当时，，此时， 有三个整数，不符合题意； 当时，，，有四个整数，不符合题意； 当时，，此时， 有三个整数，不符合题意； 当时，，，有三个整数，不符合题意； 当时，，此时， 有两个整数，符合题意； 当时，中整数为，恰两个，符合题意； 当时，，此时中不可能含有中的两个，不符合题意； 综上可知，实数的取值范围是或. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 下列表达式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】A：是平方差公式，恒成立，正确. B：，错误. C：展开，与等式右边一致，正确. D：，错误. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D. 【详解】命题p的否定是，，故A正确； 不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 当时，，故C错误； 若关于x的方程有一正一负根，则， 所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：AD. 11. 在整数集中，所有被除，余数为的整数组成一个“类”，记为，即，给出以下四个结论，正确的是（ ） A. B. C. D. 当整数属于同一“类”时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，结合集合间的关系判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为整数集中的数被除的余数为，所以，故C正确； 对于D：若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，其差能被整除，故； 当时，，所以，所以， 即整数属于同一“类”，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 因式分解______ 【答案】 【解析】 【详解】 13. 若为常数，则_________. 【答案】6 【解析】 【分析】将右侧分式通分后，利用左右两边分子多项式恒等、对应项系数相等列方程组，即可求出常数 A、B 并计算乘积. 【详解】因为， 解得则. 14. 已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，当时，求解；当时，求解即可. 【详解】由题意，, 当时，则， 则， 又， 所以集合. 故答案为：. 四、解答题 15. 设集合是小于9的正整数.求 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【详解】（1）由题设，，则. （2）由，所以. （3）由题设，，所以. 16. 已知关于的方程有两个实数根. （1）求实数的取值集合； （2）若这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由求解即可； （2）结合韦达定理求解即可. 【小问1详解】 因为关于的方程有两个实数根 所以，即，解得， 所以实数的取值集合为. 【小问2详解】 设是方程的两根， 由韦达定理，得. 依题意，则， 即， 化简得， 解得或， 由（1）知， 所以. 17. （1）在氯化钠完全溶解的情况下，氯化钠加得越多，溶液越咸.请你用数学不等式知识描述上述结论（已知原盐水质量为a，氯化钠质量为b，添加的氯化钠质量为c），并证明之. （2）结合（1）中的不等式关系证明：当a，b，c是三角形的三边长时，恒成立. 【答案】（1）盐水越咸，浓度越大，当 �� > �� > 0 , �� > 0 时，； 证明：， 因为，所以，， 即，所以. （2）由三角形的三边关系可得，且， 先证左边， 由三角形不等式可得， 同理可得， 三式相加可得； 再证右边， 因为，由（1）中的结论可得， 同理可得， 三式相加即可得到， 综上：. 【解析】 【分析】（1）由作差法即可证明；（2）由三角形的三边关系以及（1）中的结论，分别证明不等式的左右两边，即可得到结果. 【详解】（1）原盐水质量为a，氯化钠质量为b，所以原来盐水浓度为， 添加新的氯化钠质量为c，则新溶质质量，新盐水总质量，新浓度， 结论：盐水越咸，浓度越大，即，. 证明：略 （2）略 18. 解答下列各小题： （1）已知，且，求的最小值； （2）利用（1）中的方法，求的最小值； （3）已知，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得从而得，利用基本不等式求解即可； （2）令，结合（1）可得，利用基本不等式求解即可； （3）由，得，从而得，利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，由，得， 所以， 又因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为； 【小问2详解】 令，则原题变为已知，求的最小值， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为； 【小问3详解】 由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 19. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且 （1）求集合； （2）求集合； （3）集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）能，且. 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）易知，假设集合能满足，则且，代入求解即可. 【小问1详解】 因为对任意的，有， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. 【小问2详解】 ， 因为且，所以， 则，所以. 【小问3详解】 因为，所以 若要集合能满足，则只需且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得 若要且，则且 综上所述，存在集合能满足， 实数的取值范围为且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $