内蒙古自治区赤峰第三中学2026-2027学年九年级上学期期中测试数学试卷

赤峰三中2026——2027学年度期中考试 数学试卷 一、单选题(共8小题，每小题3分，共24分) 1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 2.下列关于圆的说法中，正确的是( ) A.平分弦的直径垂直于这条弦 B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.经过三个点一定可以作一个圆 3.对于命题“如果a>b >0,那么 ”用反证法证明，应假设( ) 4.某厂前年缴税30万元，今年缴税36.3”万元，若该厂缴税的年平均增长率为x，则可列方程( ) C. 30+30(1+x)+30(1+x)² =36.3 5.如图,四边形ABCD内接于圆O, ∠B0D =108°,则∠BCD的度数是( ) A. 127° B. 108° C. 126° D. 125° 6.如图，点 A在反比例函数 的图象上, AB ⊥x轴, B为垂足，若 则这个反比例函数的解析式是( ) 7.如图，将钝角△ABC绕点A 按逆时针方向旋转110°，得到△AB'C', 连接BB', 若AC'∥BB', 则 ∠CAB'的大小为( ) A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 8. 已知点(-3,0), (0,-3)都在二次函数 的图象上，则下列结论正确的是( ) A.函数图象开口向下 B.对称轴是直线x =1 C. 当-3<x<0时,y的取值范围是-4<y<0 D. 若(-4,y₁), (-2,y₂), (5,y₃))是该二次函数图象上的三个点，则 二、填空题(共4小题，每小题3分，共12分) 9.二次函数 的图象的顶点坐标是 . 10. 已知x₁, x₂是方程: 的两个根，则 11.如图，用纸板做一个圆锥形漏斗模型，它的底面半径OB=5，高OC=12，则这个圆锥漏斗的侧面积为 .(结果保留π) 12. 如图, O是△ABC内的点, AB = AC, ∠BAC=90°, ∠BOC = 140°, 将△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°,得到△ADC,连接OD. 设∠AOB为α, 当△COD为等腰三角形时,α的度数为 . 三、解答题 (共64分) 13. (每小题3分, 共 12分) 解方程: (3) x(x-2)+x-2=0; (4) (2x+1)(x-3)=-6. 14.(8分)为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强p(kPa)是气体体积V(m³)的反比例函数，其图象如图所示. (1)(4分)求该反比例函数的表达式(不用写自变量取值范围)； (2)(4分)当气球内的气体压强大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应符合怎样的条件? 学科网（北京）股份有限公司 15.(10分)为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块矩形的劳动基地，其中一边靠墙，可利用的墙长为14m，另外三边由36m长的栅栏围成.设矩形ABCD中垂直于墙的边AB的长为 xm，矩形ABCD的面积为ym²(如图). (1)(3分)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)(3分) 若矩形的面积为144m², 求x的值; (3)(4分)当x为何值时，矩形ABCD的面积最大?最大为多少? 学科网（北京）股份有限公司 16. (10分) 如图, △ABC是⊙O的内接三角形, AD是⊙O的直径, ∠ABC = 60°,∠ACB =50°. 请解答下列问题: (1) (4分) 求∠CAD的度数; (2)(6分)若AD =4,求图中阴影部分的面积. 学科网（北京）股份有限公司 17.(12分)在某次数学兴趣小组活动中，同学们遇到了如下问题： (1) (3分)【思考探究】如图①, 点P在等边△ABC内部, 且PA =3,PC =4,∠APC =150°,求PB的长.经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°, 得到△AP'B, 连接PP', 可得∠PP'B = , 推出PA,PB，PC三边之间的数量关系是 ，即可求得PB = ； (2)(6分)【理解应用】如图②, 在等腰直角△ABC中, ∠ACB=90°, P为△ABC内一点,∠APC =135°, 可判断出 请写出证明过程； (3) (3分)【拓展提升】如图③, 在 Rt△ABC中, ∠C =90°, AC=2, ∠ABC=30°, 点O为 Rt△ABC内一点, 连接AO,BO,CO, 且∠AOC=∠COB =∠BOA =120°, 直接写出OA+OB+OC的值. 学科网（北京）股份有限公司 18.(12分)仿生跳跃机器人起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变.在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O处起跳，最高点距离地面1m，距起跳点的水平距离为2m.在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，纵截面是矩形ABCD、机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触(抛物线经过点C或点 D视为无接触)，则视为顺利越过障碍物.已知(OA=3m,AB=0.5m,BC=0.75m,，建立如图所示的平面直角坐标系. (1)(4分)求机器人跳跃的高度y与距离起跳点的水平距离x之间的函数关系式. (2)(4分)机器人能否顺利越过障碍物?请说明理由. (3)(4分)如图, E, F是x轴上的点,且(OE=4m,EF=1m..若机器人从原点正上方的点P(0，p)处起跳(其他条件不变)，当它顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域EF内(不含点E，F)时，求出p的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $赤峰三中2026一2027学年度期中考试 数学试卷 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分） 1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 赵爽弦图 B 笛卡尔心形线 科克曲线 D 斐波那契螺旋线 2.下列关于圆的说法中，正确的是( A.平分弦的直径垂直于这条弦 B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.经过三个点一定可以作一个圆 3.对于命题“如果a>b>0,那么a>b2”用反证法证明，应假设() A.a2>b2 B.a2<b2 C.a2≥b2 D.a2≤b2 4.某厂前年缴税30万元，今年缴税36.3”万元，若该厂缴税的年平均增长率为x,则可列方 程() A.30x2=36.3 B.301-x2=36.3 C.30+30(1+x)+30(1+x)2=36.3 D.301+x2=36.3 5.如图，四边形ABCD内接于圆O,∠B0D=108°，则∠BCD的度数是() A.127° B.108° C.126° D.125° 6.如图，点A在反比例函数y=k≠0的图象上，AB上x轴，B为垂足，若 C SAABO=3,则这个反比例函数的解析式是( ) (第5题图) A.y=3 B.y=-3 cy是Dy=是 X (第6题图) 7.如图，将钝角△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°， 得到 △AB'C',连接BB',若AC'∥BB',则∠CAB'的大小为( A.75 B.709 C.65° D.60° (第7题图) 8.已知点(-3,0)，(0，-3)都在二次函数y=ax2+2x+c的图象上，则下列结论正确的是( A.函数图象开口向下 B.对称轴是直线x=1 C.当-3<x<0时，y的取值范围是-4<y<0 D.若(-4，y),(-2,y2),(5,y3)》是该二次函数图象上的三个点，则y3>y>y2 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9.二次函数y=4x-32-7的图象的顶点坐标是 10.已知x1,x2是方程：2x2-4x-1=0的两个根，则X1+x2-2x1x2= 11.如图，用纸板做一个圆锥形漏斗模型，它的底面半径0B=5,高0C=12,则这个圆锥漏斗 的侧面积为 (结果保留π) 12.如图，0是△ABC内的点，AB=AC,∠BAC=90°，∠BOC=140°，将△AOB绕，点A按逆时 针方向旋转90°，得到△ADC,连接OD.设∠AOB为&，当△COD为等腰三角形时，a的度数为 (第11题图) (第12题图) 三、解答题（共64分） 13.(每小题3分，共12分)解方程： (1x+22=9; 12x2-4x+1=0; (3)x(x-2)+x-2=0; (4)(2x+1)(x-3)=-6. 14.(8分)为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充一定量 Ap/kPa 的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强p(kPa)是气体体积240 v(m3)的反比例函数，其图象如图所示. 180外 120 (1.5,120) 60 00.511.522.53Vm (第14题图) (1)(4分)求该反比例函数的表达式（不用写自变量取值范围）： (2(4分)当气球内的气体压强大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应符合 怎样的条件？ 15.(10分)为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主 义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块矩形的劳动基地，其中一边靠 墙，可利用的墙长为14m,另外三边由36m长的栅栏围成.设矩形ABCD中垂直 于墙的边AB的长为xm,矩形ABCD的面积为ym2(如图)： 14m (第15题图) (1)(3分)求y与×之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)(3分)若矩形的面积为144m2,求x的值； (3)(4分)当x为何值时，矩形ABCD的面积最大？最大为多少？ 16.(10分)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AD是⊙0的直径，∠ABC= 60°，∠ACB=50°.请解答下列问题： (1)(4分)求∠CAD的度数； (2)(6分)若AD=4,求图中阴影部分的面积. B A 0 E 17.(12分)在某次数学兴趣小组活动中，同学们遇到了如下问题： B 图① 图② 图③ (1)(3分)【思考探究】如图①，点P在等边△ABC内部，且PA=3,PC=4,∠APC=150°，求PB 的长经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A 按顺时针方向旋转60°，得到△AP'B,连接PP',可得∠PP'B= 推出PA,PB,PC三 边之间的数量关系是 即可求得PB=; (2)(6分)【理解应用】如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC内一点，∠APC =135°，可判断出PA2+2PC2=PB2,请写出证明过程； (3)(3分)【拓展提升】如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,∠ABC=30°，点0为 Rt△ABC内一点，连接AO,B0,CO,且∠AOC=∠COB=∠B0A=120°，直接写出OA+OB+OC的值. 18.(12分)仿生跳跃机器人起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运 动路线的形状保持不变.在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O处起 跳，最高点距离地面1m,距起跳点的水平距离为2m.在机器人跳跃正前方的水 平地面上有一个长方体障碍物，纵截面是矩形ABCD、机器人从障碍物上方越 过，且与障碍物无接触（抛物线经过点C或点D视为无接触），则视为顺利越过障 碍物.已知(OA=3m,AB=0.5m,BC=0.75m,,建立如图示的平面直角坐标系， (1)(4分)求机器人跳跃的高度y与距离起跳点的水平距离x之间的函数关系式. (2)(4分)机器人能否顺利越过障碍物？请说明理由. (3)(4分)如图，E,F是x轴上的点，且(oE=4m,EF=1m.若机器人从原点正上方的 点P(0,p)处起跳（其他条件不变），当它顺利越过障碍物，且落在水平地面上的 区域EP内（不含点E,)时，求出p的取值范围.赤峰三中2026一一2027学年度期中考试 数学参考答案 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D C D A D 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9.(3,-7) 10.3 11.65π 12.125°或110°或95° 二、解答题（共64分） 13.（每小题3分，共12分) 解：(1)x1=1,x2=-5: (2)x1=2+V3,x2=2-V3: (3)x1=2,X2=-1: (④x1=1,x2= 14.(8分) (1)(4分)解：设n与V的函数关系式为p=(k≠0)， Ap/kPa 点A(1.5,120)在反比例函数图象上， 240 120=名与 180 120 (1.5,120) k=120×1.5=180, 60f 这一函数的表达式为p=, 00.511.522.53/m (2)(4分)解：当p=150时，0=150， 解得：V=1.2, :当气球内的气体压强大于150Pa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于1.2m3 15.（10分) (1)（3分)解：由题意得，y=x(36-2x)=-2x2+36x, .0<36-2x≤14，.11≤x<18, 14m .∴y与x之间的函数表达式为y=-2x2+36x(11≤x<18): (2)(3分)解：当y=144时，-2x2+36x=144, 解得x1=6,x2=12, .11≤x<18, .x1=6不符合题意，舍去， ∴.X=12: (3)（4分)解：y=-2x2+36x=-2(x-9)2+162, .-2<0∴.图象开口向下，对称轴为直线x=9,当11≤x<18时，y随x的增大而减小 .当x=11,y的值最大，y最大值=-2×(11-9)2+162=154m2, 答：当x=11时，矩形ABCD的面积最大，最大为154m2. 16.（10分) (1)(4分)解：AC=AC B .∴.∠ADC=∠ABC=60°， ,AD是⊙O的直径， ∴.∠ACD=90°， ∴.∠CAD=90°-∠ADC=30°： (2)(6分) 解：如图，连接0C,过点0作0Q1AC于点Q, ,0Q⊥AC AD是⊙O的直径，AD=4, .'.AC 2AQ 2v3, ∴.0A=2, .∠A0C=2∠ABC=120°， 在Rt△A0Q中，∠CAD=30°， .S=S扇形0Ac二S△0AC=一360二)X 360 ∴.00=0A=1, 23×1=-V3 3 ∴.AQ=V0A2-0Q2=V3, 即阴影部分的面积为号智-V3 17.（12分) (1)(3分)90°；PB2=PA2+PC2:5 (2)(6分)解：理由如下：如图，将△APC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△CPB,连接 PP, B 图② 则PA=PB,∠PCP'=90°，PC=PC,∠CPB=∠APC=135°， ∴.△CPP是等腰直角三角形， ∴.Pp2=PC2+PC2=2PC2,∠CPP=45°， .'∠APC=135°， ∴.∠PPB=∠CPB-∠CPP=90°， 在Rt△BPP中，由勾股定理得PB2+PP2=PB2, 即PA2+2PC2=PB2; 3)(3分)27 18.(12分) (1)(4分)解：由题意可得，机器人运动路线的最高点为(2,1)， ∴设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2+1, ,抛物线过原点(0,0) :0=a(0-2)2+1,解得a=- 1 O ABE ∴机器人跳跃形成的抛物线的函数表达式为y=-x-2)2+1. (2)(4分)解：0B=0A+AB=3.5. 将x=3.5代入y=x-2)2+1,得y=-×3.5-22+1=6 6<0,75, ·机器人不能顺利越过障碍物. (3)(4分)解：机器人从点P(0,)处起跳， :机器人运动轨迹的新抛物线的函数表达式为y=-(x-2)2+1+卫， 当机器人恰好越过障碍物，此时抛物线过点(3.5,0.75)， 0.75=-6.5-22+1+p,解得p=高 ÷机器人要越过障碍物，需满足印之品 0E=4,EF=1, E(4,0),F(5,0), 当机器人落在E点时，将E(4,0)代入可得，0=-(4-2)2+1+p, 解得p=0, 当机器人落在F点时，将F(5,0)代入可得，0=-45-2)2+1+p, 解得p=子 综上，当机器人顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域EF内（不含点E,F)时，p的取值 范围为品≤p<