精品解析：天津市南开区第六十三中学2026-2027学年八年级上学期数学10月基础练习

2026-2027学年度第一学期八年级数学学科10月基础练习 一、单选题（本大题共12小题） 1. 下列各组图形中，属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形的两边长为2和6，若第三边长为偶数，则第三边长为（　　） A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 3. 将一副三角板按如图方式放置，点B在边上，点C在边的延长线上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 嘉嘉不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块，她将第4块带去商店，就能配一块与原来相同的三角形玻璃，她依据的是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 6. 如图，已知，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，用尺规作出了，关于作图痕迹，下列说法错误的是（ ） A. 弧是以点O为圆心，任意长为半径的弧 B. 弧是以点C为圆心，为半径的弧 C. 弧是以点E为圆心，为半径的弧 D. 弧是以点E为圆心，为半径的弧 8. 如图，，，，图中全等的三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 9. 如图，直线EF经过AC的中点O，交AB于点E，交CD于点F，下列不能使△AOE≌△COF的条件为（　　） A. ∠A＝∠C B. AB∥CD C. AE＝CF D. OE＝OF 10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，则爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，平分交于，，，于，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图AB＝AC，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC； ②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD；④∠ADB＝∠DBC．其中正确的结论有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题） 13. 我们在生活中经常会看到如图所示的场景：一根倾斜的树木，会用一根铁棒或木棒进行支撑．这其中蕴含的数学原理________． 14. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，若，，，则的长为______． 15. 如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则______．（用含有的式子表示） 16. 如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 17. 如图，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则___________ ． 18. 如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为______cm/s． 三、解答题（本大题共6小题） 19. 如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，． （1）求线段的长． （2）求的度数． 20. 如图，是的角平分线，为延长线上一点，于点． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 21. 如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，平分，连接，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. [新情境]图①是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图②，将图①所示的仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D、点E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？如果是说明理由，如果不是举一个反例； （2）如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，求的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知，且． （1）如图1，若，且a，b满足，直接写出A，B，C点的坐标； （2）如图2，移动等腰，使点B的坐标为，点A在x轴负半轴上，点C在第一象限，在y轴上截取，使，连接，过点B作y轴的垂线交延长线于点E，请求出的长度； （3）如图3，点H在延长线上，过点H作轴于点G，若，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期八年级数学学科10月基础练习 一、单选题（本大题共12小题） 1. 下列各组图形中，属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全等图形，根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：A、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故A选项不符合题意； B、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故B选项不符合题意； C、由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，故C选项符合题意； D、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故D选项不符合题意． 故选：C． 2. 一个三角形的两边长为2和6，若第三边长为偶数，则第三边长为（　　） A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系． 已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；又知道第三边长为偶数，就可以知道第三边的长度． 【详解】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系，得 ， 即． 又∵第三边长是偶数， ∴， 故选：C． 3. 将一副三角板按如图方式放置，点B在边上，点C在边的延长线上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的定义，三角形内角和定理，由题意可知，，，从而得到，再由，得到，根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等． 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵F是的中点，的面积为， ， ∵E是的中点， ， ， ∴的面积为：． 故选：D． 5. 嘉嘉不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块，她将第4块带去商店，就能配一块与原来相同的三角形玻璃，她依据的是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵、、块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的， ∴她依据的是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等， 故选：． 6. 如图，已知，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全等三角形性质推出，再结合对顶角性质和三角形内角和推出，即可解题． 【详解】解：如下图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 7. 如图，用尺规作出了，关于作图痕迹，下列说法错误的是（ ） A. 弧是以点O为圆心，任意长为半径的弧 B. 弧是以点C为圆心，为半径的弧 C. 弧是以点E为圆心，为半径的弧 D. 弧是以点E为圆心，为半径的弧 【答案】C 【解析】 【分析】根据尺规作图——作一个角等于已知角的方法步骤逐一判断即可得到答案． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的方法步骤可知，是以点E为圆心，为半径的弧， 故选C． 【点睛】本题考查了尺规作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法和步骤是解题关键． 8. 如图，，，，图中全等的三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 由，得到，即，再由，利用得出，由全等三角形的对应角，对应边相等得到，进而确定出． 【详解】解：图中全等三角形有 4 对，分别为， ， ， 即， 在和中， ， ； ∴， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 由，得到，即， 在和中， ， ， 故选：C． 9. 如图，直线EF经过AC的中点O，交AB于点E，交CD于点F，下列不能使△AOE≌△COF的条件为（　　） A. ∠A＝∠C B. AB∥CD C. AE＝CF D. OE＝OF 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵直线EF经过AC的中点O， ∴OA=OC， A、∵OA=OC，∠A＝∠C，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA），此选项不符合题意； B、∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C，又∵OA=OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA），此选项不符合题意； C、由OA=OC，AE＝CF，∠AOE＝∠COF，不能证明△AOE≌△COF，符合题意； D、∵OA=OC，∠AOE＝∠COF，OE＝OF， ∴△AOE≌△COF（SAS），此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、对顶角相等，熟练掌握全等三角形的判定条件是解答的关键． 10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，则爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线间的距离等知识，正确找出两个全等三角形的性质是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，，则，再求出点到地面的高度，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，与地面垂直， ∴与地面平行， ∵处距地面， ∴处距地面， ∴点距地面， 同理可得：与地面平行， ∴点到地面的高度等于点到地面的高度， ∴爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是， 故选：B． 11. 如图，在中，，平分交于，，，于，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，外角的性质． 延长交于点，由平分和，可以证明，由全等三角形的性质和可以证明，且，即可求出的长． 【详解】解：延长交于点， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ，，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 12. 如图AB＝AC，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC； ②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD；④∠ADB＝∠DBC．其中正确的结论有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，依据三角形的外角性质以及平行线的判定和性质，即可得到正确结论． 【详解】解：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC=2∠EAD， ∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，AC=AB， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠EAD=∠ABC， ∴AD∥BC，故①正确； ∴∠ADB=∠DBC，故④正确； ∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACF ∴∠DCF=∠ACF，∠DBC=∠ABC， ∵∠DCF是△BCD的外角， ∴∠BDC=∠DCF-∠DBC=∠ACF-∠ABC=（∠ACF-∠ABC）=∠BAC，故②错误； ∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF， ∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ACF， ∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∴∠ADC=180°-（∠DAC+∠ACD） =180°-（∠EAC+∠ACF） =180°-（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC） =180°-（180°+∠ABC） =90°-∠ABC =90°-∠ABD，故③正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力． 二、填空题（本大题共6小题） 13. 我们在生活中经常会看到如图所示的场景：一根倾斜的树木，会用一根铁棒或木棒进行支撑．这其中蕴含的数学原理________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟记相关结论即可； 【详解】解：当树干与支撑杆及地面的接触点连成三角形时，三边固定后不易发生变形，因此能稳固支撑倾斜的树干； 这利用了三角形在几何中最稳定、不易变形的特性． 故答案为：三角形具有稳定性． 14. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，若，，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由角平分线的性质定理可得，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则______．（用含有的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 由根据三角形的高可得，得，，再根据三角形角平分线的定义可得，得，最后根据角的和差关系即可求解； 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，，可以得到，再根据，可以得到，从而求得，然后利用全等三角形的性质可以求得的长． 【详解】解：，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，． ， ． 17. 如图，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则___________ ． 【答案】##114度 【解析】 【分析】先根据邻补角定义得到，，再根据折叠的性质得到，，进而利用三角形的内角和定理求得，然后利用角平分线的定义和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据邻补角定义得：，， 根据折叠的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、的角平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． 18. 如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为______cm/s． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：5或． 三、解答题（本大题共6小题） 19. 如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，． （1）求线段的长． （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等即可求解； （2）由得到，，再结合三角形内角和求得，再根据角度和差计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 20. 如图，是的角平分线，为延长线上一点，于点． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，解题的关键是通过角之间的关系逐步推导，利用直角三角形两锐角互余求出目标角的度数． （1）先求，再得；利用外角性质求；结合，由直角三角形互余关系求． （2）用和内角和表示，同（1）的推导逻辑求． 【小问1详解】 ∵在中，， ∴ ∵ 是角平分线 ∴ ∵ 是 的外角 ∴ ∵ ∴ ∴ 【小问2详解】 设，则 ∵ ∴ ∵ 是角平分线 ∴ ∵ ∵ ∴ 21. 如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， 又， ， 又， ， ， ． （2）4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分，，， ． 在和中， ， ∴． ． ， ． 22. 如图，平分，连接，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，作交的延长线于点F， ，，平分， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）4 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）作交的延长线于点F，根据角平分线的性质定理证明，再证，，即可证明； （2）由得，再证，得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 23. [新情境]图①是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图②，将图①所示的仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D、点E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？如果是说明理由，如果不是举一个反例； （2）如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，求的面积． 【答案】（1）解：是，理由如下： 由题意，，， ∵点O与顶点A重合，点D、点E分别在边，上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）12 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可； （2）根据角平分线的性质，结合三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：是的平分线， ∴点到的距离相等， ∵， ∴点到的距离均为的长， ∵，， ∴的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知，且． （1）如图1，若，且a，b满足，直接写出A，B，C点的坐标； （2）如图2，移动等腰，使点B的坐标为，点A在x轴负半轴上，点C在第一象限，在y轴上截取，使，连接，过点B作y轴的垂线交延长线于点E，请求出的长度； （3）如图3，点H在延长线上，过点H作轴于点G，若，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）， （2） （3） ，证明如下： 如图②，在上取一点，使得，连接并延长交延长线于点， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）非负性求出的值，进而得到A，B的坐标，过点B作轴，过点A作，过点C作，证明，得到，进而求出点坐标即可； （2）过点作轴于点F，同（1）可得：，进而得到，推出，再证明，即可求出的长； （3）在上取一点，使得，连接并延长交延长线于点，证明，得到，，再利用直角和三角形内角和定理，得到，证明，得到，即可得到线段，，之间的数量关系． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点B作轴，过点A作，过点C作， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作轴于点F， 同（1）法可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形的特征，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $