精品解析：上海市市南中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题（10月）

初三年级阶段性素养检测数学学科 （考试时间100分钟 满分150分） 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（ ） A. 42.5 B. 36 C. 33 D. 27.5 二、填空题（每题4分，共48分） 7. 若是关于x的二次函数，则m的值为___________． 8. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 9. 已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 10. 已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 11. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 12. 已知函数，当时，y的取值范围____________． 13. 如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 14. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 15. 若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 16. 一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 17. 已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 18. 如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是______． 三、解答题（共78分） 19. 如图，中，点D在边上，，．求证：． 20. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为 的形式； （2）指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）当 时，求函数的最大值和最小值． 21. 已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）当时，相应函数值的取值范围是________． 22. 已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求： （1）求a和k． （2）求点B坐标． （3）的面积． 23. 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． （3）【模型应用】 由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 24. 综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． （1）某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 （2）为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 （3）有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 25. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级阶段性素养检测数学学科 （考试时间100分钟 满分150分） 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【详解】解： . ∴ 该二次函数的对称轴是直线. 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据二次函数的定义，二次函数必须满足表达式为整式，自变量最高次数为2且二次项系数不为0，根据能否满足这些条件进行判断． 【详解】解：A选项：中含分式，表达式不是整式，不是二次函数，不符合题意； B选项：化简，得，自变量最高次数为1，不是二次函数，不符合题意； C选项：符合二次函数定义，是二次函数，符合题意； D选项：自变量最高次数为1，不是二次函数，不符合题意． 3. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把代入中得到，再把作为整体求解即可． 【详解】解：把代入中得， ， ． 4. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 5. 以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 6. 如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（ ） A. 42.5 B. 36 C. 33 D. 27.5 【答案】C 【解析】 【分析】设，用含的代数式表示六边形面积，利用二次函数性质求最小值.  【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ； ， 同理； ∴ 六边形的面积 ； 点在边上， ， 即， 解得； ，且二次项系数， 当时，取得最小值 33. 二、填空题（每题4分，共48分） 7. 若是关于x的二次函数，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数中自变量的最高次项次数为2且二次项系数不能为0来分析即可． 【详解】解：∵，计算得， ∴； 又∵，即， ∴． 8. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， 解得． 9. 已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 10. 已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分类讨论求出比例的值，分别计算即可． 【详解】解：设所求的线段是，根据题意得到， ， 解得． ， 解得． ， 解得． 11. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图像平移规则“左加右减，上加下减”，按平移顺序依次计算即可得到结果． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度， 得到的抛物线的解析式为． 12. 已知函数，当时，y的取值范围____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 13. 如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由图可知为较长线段，根据黄金分割点的定义可得，代入数据列一元二次方程求解即可． 【详解】解：由图可知，点是线段的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，先根据表格中值相等的点求出对称轴，再得到对应对称点的函数值即可得到结果． 【详解】解：由表格可得，当时，，当时，， ∵二次函数上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵关于直线的对称点为， 由表格可知时，， ∴当时，． 15. 若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解后根据第二象限点的坐标特征筛选出符合条件的的值即可； 【详解】解：， 顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上， ， 整理得， 则， ， 解得：，， 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 当时，顶点横坐标为，不符合要求，舍去； 当时，顶点横坐标为，纵坐标为，符合要求； 故的值为． 16. 一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 【答案】 4 【解析】 【分析】将给定二次函数配方为顶点式，二次项系数小于0，开口向下，顶点横坐标即为所求引爆时间． 【详解】解：， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为18， ∴从点火升空到引爆需要的时间为． 17. 已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 18. 如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形对角线在轴上及顶点在抛物线上，确定直线，等的表达式，联立抛物线方程求出，等点的坐标，计算边长并总结规律即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，且对角线在轴上， ，  ∴直线的表达式为，  联立，解得或，  ， ∴第个正方形的边长，  ，即，  ∵四边形是正方形， ∴， ∴直线的表达式为，  联立，解得或， ， ∴第个正方形的边长，  ，即， 同理可得直线的表达式为，  联立，解得或， , ∴第个正方形的边长， ， ∴第个正方形的边长为， ∴第个正方形的边长是． 三、解答题（共78分） 19. 如图，中，点D在边上，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例即可证明． 【详解】略 20. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为 的形式； （2）指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）当 时，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）开口向上，对称轴， 顶点坐标 （3）最大值，最小值 【解析】 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ，所以开口向上，对称轴， 顶点坐标， 【小问3详解】 开口向上，对称轴，， 当时，最小值为； 当时，最大值为8； 综上，当 时，函数最大值 ，最小值． 21. 已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）当时，相应函数值的取值范围是________． 【答案】（1），直线 （2）所画函数图象如图所示 （3） 【解析】 【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴； （2）先求出5个点的坐标，再描点、连线，即可得到抛物线的图象； （3）根据（2）中函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为，对称轴是直线； 【小问2详解】 解：由（1）得顶点坐标为， 当时，， ， ，， ∴与x轴交点为，， 当时，， ∵与关于直线对称， ∴当时，， ∴五个点为（、、、、，所画函数图象略． 【小问3详解】 解：当时，由图象可得：． 22. 已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求： （1）求a和k． （2）求点B坐标． （3）的面积． 【答案】（1）， （2） （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点的坐标． （1）利用点的坐标可求出直线与抛物线的解析式； （2）由一次函数与二次函数联立后求解方程即可； （3）求出点的坐标，利用求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象过点， ，解得， 一次函数表达式为， 过点， ，解得， 二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由一次函数与二次函数联立可得， 解得或 ∵， ∴； 【小问3详解】 解：在中，令，得， ， ∴， ∴． 23. 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． （3）【模型应用】 由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【答案】（1） 与的函数关系式为；当时，该充电站的收入为2000元 （2） 此时的值为20或100 （3） 符合条件的值为60． 理由如下： 设净收益为元， ， ， 该二次函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值， 对称轴为直线， 当时净收益取得最大值， ， 解得． 【解析】 【分析】（1）因为收入y与充电汽车数量x成正比例关系，所以设函数关系式为，代入表格中任意一组x、y的对应值，求解比例系数k，再将代入所得函数式计算对应收入． （2）因为收支平衡时收入等于成本，所以令，将已得的y关于x的函数式和给定的w关于x的函数式联立，得到一元二次方程，求解该方程并结合x的实际意义确定符合条件的解． （3）先根据净收益=收入-成本，写出净收益关于x的二次函数表达式，因为二次函数在顶点处取得最值，所以结合已知的最值点横坐标，利用二次函数顶点横坐标公式建立关于m的方程，求解得到m的取值． 【小问1详解】  解：已知y与x成正比例关系，设（）， 代入表格中任意一组数据，比如， 得， 即． 验证其余表格数据均满足， ∴函数关系式为． 将代入， 得（元）． 【小问2详解】 解：收支平衡即收入等于成本，也就是， 代入两个函数关系式：   整理得一元二次方程：， ∴分解为， 解得，，两个解都符合实际意义． 【小问3详解】  略． 24. 综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． （1）某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 （2）为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 （3）有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 【答案】（1）米 （2）解：设正方形边长为， 由第一步折叠得是中点， ∴， 在中，， 由第二步折叠性质得， ∴， 设，则， 由折叠得，， 连接 ， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ， ∴在矩形中，长边，短边​， ∴ ， ∴四边形是黄金矩形． （3）①②或 【解析】 【分析】（1）首先明确黄金矩形短边与长边的比值为，因为已知短边长度，所以根据比值关系列方程即可求长边，过程中用到分母有理化化简结果； （2）先设正方形边长为参数，由第一步折叠得是中点，用勾股定理求的长度；根据第二步折叠的性质得，进而求出的长度，再结合角度关系推导，得到的长度；最后计算矩形的短边与长边的比值，验证其等于​即可； （3）先判断分割线是垂直于长还是垂直于宽，分情况讨论两种分割方式下两个小矩形均为黄金矩形的条件，根据黄金矩形的比例关系列关于的方程求解，再统计解的个数和时的解． 【小问1详解】 解：设长边为米， ∵短边为米， ∴ ， 解得 ， 分母有理化得：， ∴该画报的长边长度为米． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①若，， 第一种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， ∴在矩形中，， ∴， 第二种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， 同理，在矩形中，， ∴， ②若，， 第一种情况：若， ∵， ∴ ∴， 解得，， ∵， ∴， 即， 解得， 第二种情况：若， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 综上所述，的值为或或或， ∴的不同取值共有个； ②由①可得，当时，的值为或． 25. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $