精品解析：上海市同济大学附属新江湾城实验学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段学情自测数学试卷

同济新江湾初三月考数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1. 已知线段a、b、c、d依次成比例，其中线段，，，那么线段d的长度为（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线，下列说法中错误的是（ ） A. 该抛物线开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点为 D. 在对称轴右侧，图像是上升的 4. 苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、抛物线孔的，富有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化．如图1是某公园的一座抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升3米后，则水面宽等于（　　） A. 4米 B. 8米 C. 米 D. 米 5. 如图是抛物线的图像的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点是，直线与抛物线交于A、B两点，下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时，有 C. D. 抛物线上有两点、，则 6. 定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分4分） 7. 在比例尺为的地图上A、B两处的距离是，那么A、B两处实际距离为________m． 8. 已知点P是线段上黄金分割点，且，如果，那么______． 9. 抛物线过原点，则________． 10. 抛物线上有两点、，若，则________． 11. 已知抛物线的顶点落在直线上，则________． 12. 如图，已知梯形中，，相交于点O，的面积为4，的面积为9，则梯形的面积为________． 13. 如图，点D、E分别在的边上，，且，若，________． 14. 抛物线向下平移3个单位后，新抛物线与轴两个交点之间的距离为________． 15. 如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为________． 16. 已知抛物线，当时函数有最小值3，当时函数有最小值2，则________． 17. 如图，在中，为上的中线，与交于点G，点M、N分别在边、上，若，当的值为________时，点G为的重心． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 如图，已知，它们依次交直线，于点和点，且，． （1）求的值； （2）当，时，求的长． 19. 用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： x … 1 4 7 … … 3 0 3 15 … （1）求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标； （2）向左或右平移该抛物线后经过点，求平移的方向和距离． 20. 如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E． （1）求证：； （2）连接，如果，求证：． 21. 某超市销售一种成本为20元/件的商品，若某个月的第x天（x为整数）的售价与销量的相关信息如下表所示： 第x天 售价（元/件） 日销售量（件） 设销售该商品的日销售利润为y元． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？ （3）如果超市每销售一件商品，就捐赠m元给希望工程，若仅在第15天销售利润额达到最大值，求m的取值范围． 22. 如图，已知线段a和线段b，根据要求使用无刻度直尺和圆规作图， （1）用两种不同的方式作出线段a的三等分点； （2）求作线段c，使得线段c是线段a和b的比例中项． 23. 已知：如图，等腰，，点D在线段上，联结．作，过点B作的平行线，交于点E、交于点F． （1）若，且点D为的中点，求的长． （2）若，设线段， ①设，写出y关于x的函数表达式． ②若，写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过，顶点为P，抛物线与x轴没有交点，对称轴交x轴于点H． （1）若，求b的值． （2）直线经过点C，分别交抛物线对称轴于点M，交抛物线于点N，若，求b的值． （3）点C和点B关于抛物线对称轴对称，当为等边三角形时，抛物线沿射线方向平移，使点B落在坐标轴上．在平移后的新抛物线上有两点和点，当，满足，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同济新江湾初三月考数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1. 已知线段a、b、c、d依次成比例，其中线段，，，那么线段d的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵线段、、、成比例， ∴. 将，，代入上式，得， ； . 2. 已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法，根据平行线的性质一一分析． 【详解】解：A、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； B、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； C、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； D、根据平行线的性质得，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 3. 抛物线，下列说法中错误的是（ ） A. 该抛物线开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点为 D. 在对称轴右侧，图像是上升的 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线顶点式中、、的几何意义解题． 【详解】解：抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下，故A正确； 该抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，故B、C正确； ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧，随的增大而减小，图象下降，D错误． 4. 苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、抛物线孔的，富有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化．如图1是某公园的一座抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升3米后，则水面宽等于（　　） A. 4米 B. 8米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，确定水位上升后的水面高度的是解题关键．根据题意，正常水位时，水面宽米，可求出当时可有，再根据水位上升3米后可知，将其代入二次函数解析式并求出的值，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， ∴当时，可有， 当水位上升3米后，可有， 将代入， 可得，解得， ∴米． 故选：B． 5. 如图是抛物线的图像的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点是，直线与抛物线交于A、B两点，下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时，有 C. D. 抛物线上有两点、，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，图象与系数的关系，二次函数的最值以及增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标是，与x轴的一个交点是， ∴，对称轴为直线， ∴，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，当时，函数值最大为， 由图象可知，抛物线与轴交于正半轴，故， ∴，故A错误； ∵直线与抛物线交于A、B两点， 由图象可知，当时，有，故B错误； ∵当时，函数值最大为， ∴， ∴，故C正确； 抛物线上有两点、， ∵， ∴；故D错误． 6. 定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据网格求出三边长度，分别以、、作为公共角，逐个寻找三个顶点都在格点上、满足两边对应成比例且夹角相等的三角形，统计得到一共4个符合条件的格点三角形． 【详解】解：由题意得，，， 如图，，，，，，， 故， 以为公共角与相似的格点三角形有， 以为公共角与相似的格点三角形有，， 以为公共角与相似的格点三角形有， 故与相似且有一个公共角的格点三角形有4个． 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分4分） 7. 在比例尺为的地图上A、B两处的距离是，那么A、B两处实际距离为________m． 【答案】24 【解析】 【分析】设A、B两处实际距离为，根据比例尺的定义计算即可． 【详解】解：设A、B两处实际距离为， 比例尺为，A、B两处的图上距离是， ， 解得（）， ， 、B两处实际距离为． 8. 已知点P是线段上黄金分割点，且，如果，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义：把一条线段分割为两部分，使其中较大部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．可以得到，设 ，则有，解出即可得到答案． 【详解】解： ，设，则 解得： 或（舍去） 故答案为： ． 【点睛】本题考查黄金分割的概念，熟练掌握其定义是解题的关键． 9. 抛物线过原点，则________． 【答案】 【解析】 【详解】解：抛物线过原点， 将点代入，可得， 化简得， 解得． 10. 抛物线上有两点、，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得抛物线的对称轴为，利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称列式计算即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为：， 又∵， ∴和关于直线对称， ∴， 解得：． 11. 已知抛物线的顶点落在直线上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的一般式求得顶点坐标，再利用顶点在直线上列方程求解． 【详解】解：已知抛物线，其中，，， 顶点横坐标为， 将代入抛物线方程，可得顶点纵坐标为， 因此，顶点坐标为． 抛物线的顶点落在直线上， 顶点的坐标满足直线的方程，将，代入直线方程，可得， 解得． 12. 如图，已知梯形中，，相交于点O，的面积为4，的面积为9，则梯形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出线段比，再根据等高三角形面积比等于底边比求出和的面积，最后求和 即可． 【详解】解：∵， 的面积为4，的面积为9， ∴，  ∴， ∴，  ∵和是分别以为底，且高相等，  ∴，  ∴， 同理可得，  ∴梯形的面积． 13. 如图，点D、E分别在的边上，，且，若，________． 【答案】6 【解析】 【分析】由平行得出，进而求出，，求出，，即可求出结论． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 14. 抛物线向下平移3个单位后，新抛物线与轴两个交点之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移规则得到新抛物线，令得到一元二次方程，利用根与系数关系求出两根和、两根积，代入距离公式算出交点距离是． 【详解】解：∵ 原抛物线解析式为 ，向下平移 3 个单位，遵循上加下减， ∴ 新抛物线解析式为， 即 令 ，则 ， 两边同时除以 2 得：． 设方程两根为，由一元二次方程根与系数的关系： ∴ ． ∴ ， ． ∴ 新抛物线与轴两个交点之间的距离为 ． 15. 如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出抛物线与轴交点，算出两交点距离，再求出顶点坐标和顶点到轴的距离，根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半列出方程，结合求出． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为 ， 令 ，则 ， ， 解得 ， ∴ 抛物线与轴两个交点为 ，． ∴ 两个交点之间的线段长：． 抛物线对称轴：． 把 代入解析式： ． ∴ 顶点坐标为 ． ∵ “特征三角形” 是等腰直角三角形，顶点到轴的垂线段就是斜边上的高，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半． ∵顶点到轴距离为 ． ∴ 化简：得， 解得 ． ∵ ， ∴ ． 16. 已知抛物线，当时函数有最小值3，当时函数有最小值2，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】分和两种情况，分别根据二次函数的图象的性质求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为， 若， 时函数有最小值3， 时，函数取最小值， 时函数有最小值2， 时，函数取最小值， ， 解得， ， ； 若， 则时函数的最小值小于时函数的最小值， 这与已知不符，舍去； 综上所述，． 17. 如图，在中，为上的中线，与交于点G，点M、N分别在边、上，若，当的值为________时，点G为的重心． 【答案】 【解析】 【分析】过点作分别交、于点、点，过点作交于，证明，得出点为的中点，由平行线分线段成比例定理得出，由三角形重心的性质可得，从而可得，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作分别交、于点、点，过点作交于， ∵， ∴， ∴， ∵为上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∵，， ∴， ∵点G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 如图，已知，它们依次交直线，于点和点，且，． （1）求的值； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得； （2）作交于点，交于点，根据对边互相平行的四边形是平行四边形可得四边形和四边形都是平行四边形，继而得到，，通过证明，得到，即可得到的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为； 【小问2详解】 解：作交于点，交于点， ∵， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 19. 用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： x … 1 4 7 … … 3 0 3 15 … （1）求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标； （2）向左或右平移该抛物线后经过点，求平移的方向和距离． 【答案】（1）二次函数的表达式为，顶点坐标为． （2）向左平移3个单位长度，或向右平移1个单位长度． 【解析】 【分析】（1）选取表格中三组对应值，通过待定系数法列方程组求解二次函数系数，再配方得到顶点坐标． （2）根据抛物线左右平移时形状不变、顶点纵坐标不变的性质，设平移后顶点式解析式，代入已知点坐标求解平移方向与距离． 【小问1详解】 解：将，，代入得 ， 解得， ∴该二次函数的表达式为， 配方得， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：设平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过点， 代入得， 整理得， 解得，， ∵原抛物线顶点横坐标为， ∴当时，平移距离为，方向向左； 当时，平移距离为，方向向右． 综上所述，抛物线向左平移3个单位长度，或向右平移1个单位长度． 20. 如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E． （1）求证：； （2）连接，如果，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， （2） 证明：∵， ∴， ∴， 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某超市销售一种成本为20元/件的商品，若某个月的第x天（x为整数）的售价与销量的相关信息如下表所示： 第x天 售价（元/件） 日销售量（件） 设销售该商品的日销售利润为y元． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？ （3）如果超市每销售一件商品，就捐赠m元给希望工程，若仅在第15天销售利润额达到最大值，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）销售该商品第25天时，日销售利润最大，最大日销售利润4900元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、二次函数的性质等知识点，正确列出函数解析式、掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据单件利润、销售数量、总利润的关系列出函数解析式，然后整理即可； （2）根据（1）所得的解析式，运用二次函数的解析式求最值即可解答； （3）设捐赠后的销售利润为元，然后求得与x的函数关系式，再求出对称轴为，再根据题意确定对称轴的取值范围并列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，y取得最大值为4900， ∴销售该商品第25天时，日销售利润最大，最大日销售利润4900元． 【小问3详解】 解：设捐赠后的销售利润为元， 由题意得：， ∴对称轴为直线， ∵仅在第15天销售利润额达到最大值， ∴，解得． ∴m的取值范围为． 22. 如图，已知线段a和线段b，根据要求使用无刻度直尺和圆规作图， （1）用两种不同的方式作出线段a的三等分点； （2）求作线段c，使得线段c是线段a和b的比例中项． 【答案】（1）解：方式一：如图1，点是线段的三等分点． 方式二：如图2，点是线段的三等分点． （2）解：如图3，线段即为所求． 【解析】 【分析】（1）方式一：设线段的两个端点分别为点，过点作一条直线，在这条直线上截取，连接，则是的中线；再作的垂直平分线，交于点，连接，交于点，则是的中线，点是的重心；进而可得，然后以点为圆心、长为半径画弧，交于点，则，由此可得点是线段的三等分点； 方式二：设线段的两个端点分别为点，过点作一条射线，在这条射线上截取，连接；再过点作的平行线，分别交于点，则可得点是线段的三等分点； （2）设线段的两个端点分别为点，延长至点，在上截取；再作的垂直平分线，交于点，以点为圆心、长为半径在上方作半圆，然后过点作的垂线，交半圆于点，则线段即为所求． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 23. 已知：如图，等腰，，点D在线段上，联结．作，过点B作的平行线，交于点E、交于点F． （1）若，且点D为的中点，求的长． （2）若，设线段， ①设，写出y关于x的函数表达式． ②若，写出的长． 【答案】（1）1 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，得出，根据三线合一的性质得出，结合已知可求出，根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质得出，证明，最后根据全等三角形的性质即可求解； （2）①根据勾股定理求出，，证明，根据相似三角形的性质得出，则，即可求解； ②根据①中，可求出，结合，可得出，两边同时平方并把代入可求出，化简得，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点D为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图， ∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②同①，设， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 化简得， 解得，（不符合题意，舍去） ∴． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过，顶点为P，抛物线与x轴没有交点，对称轴交x轴于点H． （1）若，求b的值． （2）直线经过点C，分别交抛物线对称轴于点M，交抛物线于点N，若，求b的值． （3）点C和点B关于抛物线对称轴对称，当为等边三角形时，抛物线沿射线方向平移，使点B落在坐标轴上．在平移后的新抛物线上有两点和点，当，满足，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线过点，直接得到常数项，抛物线解析式简化为，是顶点到轴的距离，等于顶点的纵坐标值，代入顶点纵坐标公式列方程，结合条件求解即可； （2）求出直线解析式为，联立直线和抛物线方程，直接求出两个交点的坐标，根据符合抛物线与轴无交点的条件，得到的值； （3）利用点C和点B关于对称轴对称，直接得到B点坐标，计算出的长度为b，结合等边三角形的高求出，得到B、P两点坐标，确定射线的方向，分点B落在y轴、点B落在x轴两种情况，列不等式求解得到的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与轴没有交点， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 又抛物线的对称轴为直线， ∴点的坐标为， 当时，， ∴顶点的坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴或， ∵，且， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线经过点， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上，且在抛物线对称轴上， ∴点的坐标为， ∴ , ∵, ∴； 联立， 解得或， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴点在之间， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，对称轴为直线，且点C和点B关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴的中点就是对称轴上的点， ∵顶点， ∴等边的边上的高， 又， ∴， ∴， ∴原抛物线解析式为， ∴，， 点向点平移，向右平移距离为，向下平移的距离为， 即抛物线沿射线每向右平移个单位，则向下平移3个单位， 设向右平移个单位，向下平移个单位（）， ∴平移后点的对应点的坐标为， 情形一：当点在轴上时，，如图， ∴， ∵原抛物线形状及开口方向不变，顶点，向右平移个单位，向下平移6个单位， ∴平移后新抛物线的顶点坐标为，即， ∴平移后新抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴； 情形二：当点在轴上时，如图， 则， ∴， ∴横坐标增加，纵坐标减少8， ∴原抛物线的顶点平移后为， ∴平移后抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴； 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $