精品解析：北京市第六十六中学2026-2027学年第一学期期中质量检测高三数学试卷

北京市第六十六中学2026—2027学年第一学期期中质量检测 高三数学 2026.11 试卷说明： 1．本试卷共 三 道大题，共 4 页. 2．卷面满分 150 分，考试时间 120 分钟. 3．试题答案一律在答题纸上作答，在试卷上作答无效. —、选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 2. 下列函数中，与函数的奇偶性和值域都相同的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定基准函数的奇偶性与值域两个特征，再对每个选项，依次判断函数定义域、奇偶性，分析单调性或取值范围得到值域，对照两个条件同时满足即为答案. 【详解】∵函数 ，定义域为， ，故为奇函数， 单调递增，值域为， 选项A： 为非奇非偶函数，A 错误； 选项B：令 ，可知定义域为， ∵，∴ 为奇函数， 当，当，∴ ，B正确； 选项C：令 ， 的定义域为， ∵，∴ 为非奇非偶函数，C错误； 选项D：，∴是偶函数，D错误. 3. 若等比数列满足，且公比，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：方法一：根据观察，数列可以为，即，那么. 方法二：对于，又，则. 方法三：对于，解方程可得，，那么通项，可知，，则. 故选C. 考点：1等比数列的基本性质;2等比数列的通项公式. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，即． ，即． ，因为，所以． 所以． 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数图象平移求解即可. 【详解】由函数的图象向左平移个单位长度， 则所得图象对应的函数为. 故选：B. 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出的值，然后利用正弦定理可求得的值. 【详解】因为，，所以. 又因为，，所以由正弦定理得. 故选：B. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于基础题. 7. 已知是等比数列，则“，，”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比递增数列的定义判断即可. 【详解】（1）充分性证明：设数列的公比为q, 由，得， 当时，，则或，当时，显然是递增数列， 当时，则数列为摆动数列不能保证对任意正整数n使得（舍去）， 同理当时，，当时，显然是递增数列， 当，为摆动数列不能保证对任意正整数n使得（舍去）， 故充分性成立. （2）必要性证明：若是递增数列，则从第二项开始，每一项都比它的前一项大， 所以，，故，由上两个式子可得，，必要性成立. 故选：C 8. 已知函数（且），若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件判断函数为偶函数，同时，再利用单调性即可求出结果. 【详解】因为函数定义域为，且， 所以函数为偶函数， 则， 因为，则，即， 所以， 所以可以转化为， 则， 所以， 故选：B. 9. 已知等差数列与等比数列的首项均为－3，且，，则数列（ ） A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【答案】A 【解析】 【分析】求出等差数列和等比数列的通项公式，得出，确定数列中项的正负，然后设，用作差法得出的单调性，从而可得数列的最值． 【详解】，，则，， ，，，，， ，显然第一项为正，第二项为负，时，奇数项都是负数，偶数项都是正数， 设， 则， 时，，，即数列从往后递减， 且， 所以中，最大， 又 所以是最小项． 故选：A． 10. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ） A. 2h B. 4h C. 20h D. 40h 【答案】B 【解析】 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 二、选择题（每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 12. 函数的最小正周期是__________． 【答案】 【解析】 【分析】对给定函数式用二倍角的余弦公式降幂即可得解 【详解】由已知得：，其最小正周期为. 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点．若角的终边逆时针旋转得到角的终边，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先依据任意角的三角函数定义求出角的正弦、余弦值，再结合两角和的正弦公式计算旋转后角的正弦值． 【详解】解：因为角的终边经过点， 所以点到坐标原点的距离， 则，． 已知角的终边逆时针旋转得到角的终边， 所以， 则， 故． 14. 设函数 ①当时， _________； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a的取值范围. 【详解】当时，， 所以， 所以， 令，可得 当时，， 所以或， 当或时，方程在上有唯一解， 当或时，方程在上的解为或， 当时，， 所以当时，， 当时，方程在上无解， 综上，当时，函数有两个零点， 当时，函数有两个零点， 当时，函数有三个零点， 当时，函数有两个零点， 因为恰有2个零点，所以或， 所以a的取值范围是. 故答案为：；. 15. 给出下列四个结论： ①存在定义域为且单调递增的函数使得恒成立； ②存在定义域为且单调递减的函数使得恒成立； ③使得，恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得，恒成立的函数存在且有无穷多个. 其中所有正确结论的序号为______. 【答案】②④ 【解析】 【分析】借助复合函数单调性及指数函数单调性判断可得①；构造符合要求的函数可得②；利用偶函数定义判断可得③；构造符合要求的函数可得④. 【详解】对①：若在上单调递增，由也在上单调递增， 则也在上单调递增，故也在上单调递增， 又在上单调递减，故不能恒成立，故①错误； 对②：例如，该函数在上单调递减， 有恒成立，故②正确； 对③：令，则， 又定义域为，故为偶函数， 由为奇函数， 故不存在函数，使得恒成立，故③错误； 对④：令，其中为任意偶函数， 则 ， 由偶函数可有无数种选择，故存在无穷多个，故④正确. 故答案为：②④. 三、解答题（共6道题，共85分） 16. 已知函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的单调递增区间. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）将代入解析式直接计算即可. （Ⅱ）先用正弦的两角和公式将展开，再将化简为的形式，将整体角代入正弦的单调增区间，计算可得的单调增区间. 【详解】（Ⅰ）. （Ⅱ） . 函数的单调递增区间为， 由， 得. 所以 的单调递增区间为. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值． 【答案】（1）； （2）极小值为，极大值为． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求解直线方程， （2）由导数确定单调性即可解极值. 【小问1详解】 由已知得， 所以． 因为，所以切点为， 故曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 由（1）知，，． 令，得， 令，得或， 所以的单调递增区间为， 单调递减区间为，． 所以有极小值为，极大值为． 18. 在中，. （1）求的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理将已知边角关系转化为角的三角函数关系，结合三角形内角和恒等变换求解角； （2）结合已求得的角，利用余弦定理求出边的长度，代入三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 在中，已知. 由正弦定理得：.  因为，所以， 代入上式得 ， 化简得. 在中，，故，故. 又，所以. 【小问2详解】 已知，，，由余弦定理， 代入得 ， 化简得： ，即 ，解得  . 因为三角形边长，故取正根. 由三角形面积公式得. 19. 已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定. （1）求的值； （2）若不等式在区间内有解，求的取值范围. 条件①：； 条件②：的图象可由的图象平移得到； 条件③：在区间内无极值点，且. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）选条件②或③，； （2）. 【解析】 【分析】（1）选条件①，由的解不唯一，此条件不符合题意；选条件②，由周期求出；选条件③，由给定等式确定最大最小值条件，求出周期范围，由给定区间内无极值点求出周期即可. （2）由（1）求出函数的解析式，再借助不等式有解列式求解即得. 【小问1详解】 依题意，， 选条件①，由，得，即， 于是或，显然的值不唯一， 因此函数不唯一，不符合题意. 选条件②，的图象可由的图象平移得到， 因此的最小正周期为函数的最小正周期，而，则， 所以. 选条件③，在区间内无极值点，且， 则，即函数分别在时取得最大值､最小值， 于是的最小正周期， 由在区间内无极值点，得的最小正周期， 因此，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由，得， 由不等式在区间内有解，即在区间内有解， 则有，解得， 所以的取值范围是. 20. 某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了名男生和名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（年）到高中三年级（年）每年的视力平均值，如图所示． （1）从年到年中随机选取年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率； （2）从年到年这年中随机选取年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求的分布列和数学期望： （3）由图判断，这名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） ；数学期望 （3）自年开始的连续三年，名学生的视力平均值方差最小 【解析】 【分析】（1）根据折线图可确定该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有个，由此可计算得到概率； （2）由折线图知女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有个，根据超几何分布概率公式可确定每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值； （3）根据折线图可确定自年开始的连续三年，学生视力波动程度最小，由此可得结论. 【小问1详解】 由折线图可知：从年到年中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有个； 所求概率. 【小问2详解】 从年到年这年中，女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有个； 所有可能的取值为， ；；； 则的分布列为： 的数学期望. 【小问3详解】 由折线图知：自年开始的连续三年视力平均值接近且连续三年数据相差不大， 自年开始的连续三年，名学生的视力平均值波动幅度最小， 则自年开始的连续三年，名学生的视力平均值方差最小. 21. 已知函数. （1）当时，求的定义域； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围； （3）当时，证明：若，，则.（参考数据：，，） 【答案】（1）； （2）； （3）当，则，且， 设，则， 当，则，当，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当， 0 0 单调递减 极小值 单调递增 ； 当，，，故使， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 由，又，则， 综上，得证. 【解析】 【分析】（1）根据对数、分式性质求函数定义域； （2）对函数求导，根据题设有在上恒成立，构造函数研究最值，列不等式求参数范围. （3）应用导数分别求在、上的最值，进而得到、，即可证结论. 【小问1详解】 由题设，则，故定义域为. 【小问2详解】 由，则必有，且， 由在区间上单调递减，则在上恒成立， 令且，则， 在上，则单调递增，故， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问，应用导数求出在、上的最值为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第六十六中学2026—2027学年第一学期期中质量检测 高三数学 2026.11 试卷说明： 1．本试卷共 三 道大题，共 4 页. 2．卷面满分 150 分，考试时间 120 分钟. 3．试题答案一律在答题纸上作答，在试卷上作答无效. —、选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，与函数的奇偶性和值域都相同的函数为（ ） A. B. C. D. 3. 若等比数列满足，且公比，则 A. B. C. D. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是等比数列，则“，，”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数（且），若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 已知等差数列与等比数列的首项均为－3，且，，则数列（ ） A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 10. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ） A. 2h B. 4h C. 20h D. 40h 二、选择题（每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是_________． 12. 函数的最小正周期是__________． 13. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点．若角的终边逆时针旋转得到角的终边，则______． 14. 设函数 ①当时， _________； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________． 15. 给出下列四个结论： ①存在定义域为且单调递增的函数使得恒成立； ②存在定义域为且单调递减的函数使得恒成立； ③使得，恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得，恒成立的函数存在且有无穷多个. 其中所有正确结论的序号为______. 三、解答题（共6道题，共85分） 16. 已知函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的单调递增区间. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值． 18. 在中，. （1）求的大小； （2）若，求的面积. 19. 已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定. （1）求的值； （2）若不等式在区间内有解，求的取值范围. 条件①：； 条件②：的图象可由的图象平移得到； 条件③：在区间内无极值点，且. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了名男生和名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（年）到高中三年级（年）每年的视力平均值，如图所示． （1）从年到年中随机选取年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率； （2）从年到年这年中随机选取年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求的分布列和数学期望： （3）由图判断，这名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明） 21. 已知函数. （1）当时，求的定义域； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围； （3）当时，证明：若，，则.（参考数据：，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $