北京市第八中学2025-2026学年高三上学期期中练习数学试题

北京八中2025-2026学年度第一学期期中絲习题 2025-2026学年度第一学期期中练习题 年级：高三科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。 1.设全集U=R,集合A={x|x2-x-2>0},B={x|x≥1}，则(CA)∩B=（) A.{x|1≤x≤2} B.{x|1<x≤2}C.{x|x>2} D.{xl1≤x<2} 2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,2)，则复数1的虚部是( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.下列函数中，与函数y=x3的奇偶性和值域都相同的函数为( ) A.·y=x3-1 B.y=x-1 C.y=*l D.y=x.sinx 4若椭圆C的短轴长为焦距的√6倍，则C的离心率为( A.6 D √6 6 > 6 1 5.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=() A.8 B.7 C.6 D.5 x+1,x≤a 6.己知函数f(x)= 若f(x)的值域是R,则实数a的取值范围是( 2*,x>a A.(-0,0] B.[0,] C.[0,+∞) D.(-0,1] 7.在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,则“bcosA-c<0”,是“△ABC 为锐角三角形”的( )条件 A.必要不充分 B.充分不必要C.充分必要 D.既不充分也不必要 第1页共6页 北京八中20252026学年度第一学期期中练习题 8.已知实数x,y满足山x<ny,则下列结论正确的是( A.tanx<tan y 孕< c. 1+y< x2 y2 D.x+y>xy 9已知函数f)=如ax+爱+cos@x(0>≥0)，若f-智-f闪恒废立，且f内 在[0，π]内至少有3个零点，则o的最小值是( A.2 B.3 C.4 D.5 10.在平面直角坐标系xOy中，lO=32,loB=4V2,AB=52,M(0,-10), N(0,0),则2Ma+ABM的最大值为( A.280 B.280V2 C.300 D.300√2 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 的展开式中x的系数 (用数字作答) 12.已知双曲线女-y 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角的范围是 则侧该双曲线的离心率的取值范围是 13.等腰直角△ABC中，点P是斜边BC边上一点，若AP= 44B 则△ABC 的面积为 14.我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道 形状抽象而来，如图所示，在五面体ABCDEF中，EF∥AD∥BC,四边形ADEF, ADCB,EFBC为等腰梯形，且平面ADEF⊥平面ADCB.其中EF=a,AD=b, 第2页共6页 北京八中2025-2026学年度第一学期期中练习题 BC=c(b>c>a),且EF到平面ADCB的距离为h, BC和AD的距离为d,若a=4,b=10,c=6, h=3,d=4,则该“羡除"的体积为 15.给出下列四个结论： @存在定义域为@，+)且单调递增的函数使得代)+儿)-( 恒成立； ②存在定义域为(0，+o)且单调递减的函数fx)使得f(x)-fx2)=lnx恒成立； ③使得x∈R,fx)+f(x)=sinxcosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个： ④使得xeR,fx)-f(x)=sinxcosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个. 其中所有正确结论的序号为 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16. (本小题13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角，a=7, sin 2B= bcos B. 7 (I)求∠A; (Ⅱ)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存 在，求△ABC的面积. 条件@：b=7;条件@：cosB=19 条件@：csin4=V5 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条 件分别解答，按第一个解答计分， 第3页共6页 北京八中2025-2026学年度第一学期期中练习题 17.(本小题13分) 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD, ∠BAD=90°，DC=DA=2AB=25,点E为AD的中点，BD∩CE=H, PH⊥平面ABCD,且PH=4. (I)求证：PC⊥BD: (I)线段PC上是否存在一点F,使二面角B-DF-C余弦值是正？若存在， 15 请找出点F的位置；若不存在，请说明理由， 18.(本小题14分) 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100 人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学 生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： 小频率/组距 0.00500 0.00375 0.00225 0.00100 0.00025T 0380460540620700780860字分钟 第4页共6页 北京八中2025-2026学年度第一学期期中练习题 (I)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； (Ⅱ)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达 到540字分钟及以上的人数为X,求X的分布列与数学期望E(X)； (Ⅲ)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506,516,553,592， 617,632,667,693,723,776,从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中 阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y,试判断数学期望E()与（Ⅱ）中 的E(X)的大小.（结论不要求证明） 19.（本小题15分) 如图，成8是期圆C:学+茶=6>0的两个顶点，HB5,直线 3 的斜率为方，M是裤圆C长轴上的一个动点，设点M(m,0以 ()求椭圆的方程； (I)设直线1：x=-2y+m与x,y轴分别交于点M,N,与椭圆相交于C,D.证明： △OCM的面积等于△ODW的面积. (Ⅲ)在(I)的条件下证明：CM+MD为定值. 第5页共6页 北京八中20252026学年度第一学期期中练习题 20.(本小题15分) 已知函数f(x)=aln2x-xlnx+x. (I)若a=0,求f(x)的零点； (Ⅱ)若a>0,讨论f(x)的单调性； (Ⅲ)若a∈(0,1)，e为自然对数的底数，证明：f(e)<1. 21.(本小题15分) 给定奇数n≥3，设A是n×n的数阵.a表示数阵第i行第j列的数， 1或-且，=a,=1,2,,店j=12,,m川.定义变换%为“将数 a2 0,i=j 阵中第t行和第t列的数都乘以-1”，其中t∈{L,2,…, 设T=(任1，t2,…,t),t,∈{1,2，…，n},r=1,2,…,s(s∈N).将A经过9，变换得 到A，A经过P2变换得到A2，…，A,-1经过9，变换得到A记数阵A中1的个 数为T(r). 01 (I)当n=3时，设A,= 101 T=(1,3),写出A,A2,并求T%(1),T(2): -110 (Ⅱ)当n=5,S≥2时，对给定的数阵A,证明：T(2)-T4(1)是4的倍数； (四)证明：对给定的数阵4，总存在T,使得T,6人， 2 第6页共6页