精品解析：江苏宿迁市沭阳县外国语实验学校2026-2027学年 第一学期八年级数学第一次定时作业

2026-2027学年度第一学期第一次定时作业 初二年级数学学科 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 三角形的两边长分别是2和3，则第三边的边长可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，即构成三角形的条件—“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值． 【详解】解：设这个三角形的第三边长为， 根据三角形的三边关系定理，得：， 解得， 在四个选项的数值中，只有数值3符合， 故选：B． 2. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形高的定义，准确理解 “从顶点向对边作垂线” 的核心条件是解题的关键． 根据三角形高的定义（从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段为高），逐一分析各选项中线段与对边的垂直关系及垂足位置，进而确定符合定义的选项． 【详解】：线段未垂直于，不符合高的定义； ：垂直于，且是垂足，符合 “从向作垂线，垂足为” 的高的定义； ：的垂足不在上（在的延长线上），不符合 “对边” 的要求； ：未对应的边，且位置关系不符合高的定义． 故选：． 3. 如图，，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，准确计算是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等可得到，然后根据线段关系求出，即可求出． 【详解】解： 由图可知， 即，解得： 故选：B． 4. 如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：由题意可知， 当时，不一定能使，则A符合题意； 当时，，则B不符合题意； 当时，，则C不符合题意； 当时，，则D不符合题意． 5. 到三角形各顶点距离相等的点是（ ） A. 三条高交点 B. 三个内角平分线交点 C. 三条中线交点 D. 三条边垂直平分线交点 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上， ∴到三角形两个顶点距离相等的点在这两点所连边的垂直平分线上， ∴到三角形各顶点距离相等的点是三条边垂直平分线的交点． 6. 如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解． 【详解】解：∵F是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，用尺规作已知角的角平分线的理论依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接,根据作图可知，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，角平分线定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 8. 如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的转化，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将的面积与的面积建立等量关系． 延长交于点利用平分和证明得出且与面积相等；由可知与面积相等；通过面积转化可得的面积是面积的2倍，进而求出的面积． 【详解】延长交于点G． ∵ 平分 ∴． ∵ ∴． 在和中， ∴． ∴ ． ∵ ∴和等底同高（以、为底，高均为点C到的距离）， ∴． ∵ 且 ∴ ∵ ∴即． 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．） 9. 已知，若，，则_______度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理求得，再根据全等三角形的对应角相等得到求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60． 10. 已知等腰三角形的一内角度数为，则它的底角的度数是______． 【答案】40°或70°． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．首先要讨论40°的角是顶角还是底角，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角． 【详解】解：当等腰三角形的顶角为40°时，则底角等于70°； 当等腰三角形的底角为40°时，则底角等于40°， 则它的底角的度数是40°或70°． 故答案为：40°或70°． 11. 若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形两腰相等的性质分两种情况讨论，并依据三角形三边关系筛选可构成三角形的情况，再计算对应周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三角形三边长为，，， ∵ ，不满足三角形任意两边之和大于第三边 ∴ 该情况无法构成三角形，舍去； 当腰长为时，三角形三边长为，， ∵ ，，满足三角形三边关系 ∴ 该情况可构成三角形，此时三角形周长为． 综上，该等腰三角形的周长为． 12. 如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点是三角形的稳定性．将四边形的上部固定为两个三角形，根据的原理就是三角形的稳定性． 【详解】解：钉上斜拉的木板条后，门框的结构中会形成三角形，而三角形的三边一旦确定，形状和大小就不会改变，这种特性就是三角形的稳定性，能有效防止门框变形． 故答案为：三角形具有稳定性． 13. 已知的三边，则化简的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，绝对值意义，掌握三角形的三边关系和绝对值意义是解题的关键．先根据三角形的三边关系判断出，的值的情况，再去绝对值计算即可． 【详解】解：∵在中，，, ，， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和的度数，利用证明，得到，再利用平角的定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ． 15. 如图，平分，平分，经过点 O，且若 ，， 则的周长是________． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定，根据平行线的性质及角平分线的性质得，，进而可得，，再利用三角形周长公式即可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， 的周长为： , 故答案为：27． 16. 如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当点的速度是______ 时，与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，先求出，设运动时间为秒，则，，然后分当时，当时两种情况分析即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点， ∴， 设运动时间为秒， ∴，， 当时， ∴，， ∴，解得：， ∴点的速度是； 当时， ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴点的速度是； 故答案为：或． 18. 如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ___________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：连接， ∵， ∴垂直平分， ， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、、三点共线，且时，最小， 过点作于点交于点，如图所示： ∴当点在点处，点Q在点E处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF． 求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】由“”即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法“SSS”是本题的关键． 20. 如图，AB＝AD ，∠BAD＝∠CAE，AC=AE ，求证：BC=DE 【答案】 证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中 ∴△ABC≌△ADE(SAS)， ∴BC＝DE． 【解析】 【分析】由条件可得到∠BAC＝∠DAE，从而可证明△ABC≌△ADE，可得出BD＝DE． 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件得到∠BAC＝∠DAE是解题的关键． 21. 如图，在中，点在边上，求证：． 【答案】 证明：在中，（三角形两边之和大于第三边）， ∴（不等式的性质）， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，不等式的性质，根据三角形中，任意两边之和大于第三边可得，进而得到，即可证明结论． 【详解】略 22. 如图，，是的两条高． （1）若，，求的度数； （2），，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得 ，，再根据平角定义即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：是的高线， ． ， ． 同理， ． 【小问2详解】 解：，是的两条高， ，， ， ． 23. 利用网格画图： （1）在上找一点，使点到和的距离相等； （2）在射线上找一点，使． 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） 如图，点Q即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点，正确找出格点是解题的关键． （1）取格点，连接，与交点即为点，此时由等腰可得，那么平分，则由角平分线性质定理可得点到和的距离相等； （2）由可证明，那么． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的平分线，，于E， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）设，则，证明，则，得到,据此列方程并解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴， 解得，即的长为． 25. 如图，在中，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2） 解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意可根据“”得到，然后问题可求证； （2）由题意可根据“”得到，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若AB＝3cm，求△CMN的周长； （2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数． 【答案】（1）3cm；（2）40° 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，则△CMN的周长． （2）根据等边对等角可得，，根据三角形内角和定理，列式求出，再求出，即可求解． 【详解】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴，， ∴△CMN的周长； （2）由（1）得，，由DM，EN分别垂直平分AC和BC，可得∠MDA=∠NEB=90°， ∴，， ∵在中，， ∴， 根据对顶角的性质可得：，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质和整体思想的利用． 27. 如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． （1）求证：； （2）与有何位置关系？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 解：；理由如下： 如图，交于点O， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关键． （1）根据证明即可； （2）利用三角形全等的性质得到角度相等，再通过互余证明垂直即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】 （1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）60 【解析】 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一次定时作业 初二年级数学学科 （考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 三角形的两边长分别是2和3，则第三边的边长可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 2. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（ ） A. B. C. D. 5. 到三角形各顶点距离相等的点是（ ） A. 三条高交点 B. 三个内角平分线交点 C. 三条中线交点 D. 三条边垂直平分线交点 6. 如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 7. 如图，用尺规作已知角的角平分线的理论依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．） 9. 已知，若，，则_______度． 10. 已知等腰三角形的一内角度数为，则它的底角的度数是______． 11. 若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为_______． 12. 如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是________． 13. 已知的三边，则化简的值是______． 14. 如图，在中，，，，，则的度数是________． 15. 如图，平分，平分，经过点 O，且若 ，， 则的周长是________． 16. 如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 17. 如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当点的速度是______ 时，与全等． 18. 如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ___________________ ． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF． 求证：． 20. 如图，AB＝AD ，∠BAD＝∠CAE，AC=AE ，求证：BC=DE 21. 如图，在中，点在边上，求证：． 22. 如图，，是的两条高． （1）若，，求的度数； （2），，，求的长． 23. 利用网格画图： （1）在上找一点，使点到和的距离相等； （2）在射线上找一点，使． 24. 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． （1）求证：． （2）若，求的长． 25. 如图，在中，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 26. 如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若AB＝3cm，求△CMN的周长； （2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数． 27. 如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． （1）求证：； （2）与有何位置关系？请说明理由． 28. 数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $