第28章 旋转 章节复习讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第二十八章 旋转 专题基础讲义 一、知识点总结 知识点01 旋转的概念与性质 1.旋转的定义 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转。 2.旋转的三要素 点O叫做 旋转中心 ，转动的角度叫做 旋转角 ，顺时针或逆时针叫做 旋转方向 。它们是旋转的三要素。 3.旋转的相关概念 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做 对应点 ，如果图形上的线段AB经过旋转变为点A′B′，那么这两条线段叫做 对应线段 ，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这两个角叫做 对应角 。 4. 旋转的性质 图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转。 图形经过旋转，具有以下三条基本性质： ①全等性：旋转前、后的图形全等(△ABC≌△)；即图形的形状、大小没有发生变化。 ②距离相等：对应点到旋转中心的距离相等(OA= OA′)； ③夹角相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 知识点02 旋转作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形。 作图的步骤： ①连接图形中的每一个关键点与旋转中心； ②把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)； ③在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； ④连接所得到的各对应点。 知识点03 中心对称及其性质 1.中心对称的定义 如图，把一个图形绕着某个点旋转 180° ，如果它能够与另一个图形 完全重合 ，那么就说这两个图形关于这个点 对称或中心对称 ，这个点叫做 对称中心 ，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的 对称点 。 即：△ABC绕点O旋转180°与△A'B'C'完全重合，则△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，点O是对称中心，A与A'，B与B'，C与C' 都是对称点，中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。 2.中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够 完全重合 ；即 。 ②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过 对称中心 ，并且被对称中心 平分 。 即：。 ③中心对称的两个图形对应边 平行或共线 。 3.对称中心的确定 连接任意两组 对称点 得到两条线段，这两条线段的 交点 就是对称中心。 4.中心对称作图的基本步骤 步骤： ①确定图形的 关键点 与 对称中心 。 ②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离 相等 ；得到 对称点 。 ③按照原图形连接各对称点。 知识点04 中心对称图形 1.中心对称图形的定义 一个图形绕某一点旋转 180°后，如果旋转后的图形能够与旋转前 完全重合 ，那么这个图形就叫做 中心对称图形 ，这个点叫做中心对称图形的 对称中心 。 补充拓展：中心对称图形属于旋转对称图形的一种特例（旋转角恰好为180∘）。除180∘外，若一个图形绕某点旋转角α（0<α<360∘）后能与自身重合，则称其为旋转对称图形。圆是其中最为特殊的，它关于圆心具有任意角的旋转对称性，这也是许多需平稳旋转的零部件（如水泵叶轮）常设计成中心对称或圆形的原因。 2.中心对称图形的性质 性质1：对应点连线都经过 对称中心 ，且被对称中心 平分 。 性质2：对应线段的数量关系是 相等 的，位置关系为 平行 或 共线 。 性质3：对应角 相等 。 性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个 全等 的图形。 特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。两者的区别与联系类似于“轴对称”与“轴对称图形”。 3.常见中心对称图形及其对称中心 ①线段（对称中心为线段的中点）； ②平行四边形（对称中心为对角线的交点）； ③矩形、菱形、正方形（既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴的交点即为其对称中心）； ④圆（对称中心为圆心）。 4.对称中心的确定方法 连接图形上任意一对对应点（或连接具有对称关系的两个点），所连线段的中点即为该中心对称图形的对称中心。 知识点05 关于原点对称的点的坐标 1.关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为 相反数 。 即若点与点关于原点对称，则有 ， 。 2.关于点对称的点坐标 关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。 知识点06 全等变换的综合运用 1.全等变换的本质 旋转（含中心对称）、平移、轴对称，这些变换的共性在于只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，即变换前后的图形全等（图形上任意两点间的距离、任意三点所成的角保持不变）。 2.图案设计与应用 综合运用旋转、平移和轴对称（全等变换的组合），由简单的基本图形可以生成复杂、美观的图案。如风车或几何拼贴图案，以及过中心对称图形对称中心的任意直线将图形分成面积相等的两个部分，可用于解决分割土地面积等实际问题。 知识点07 平移、轴对称、中心对称对比 平移 轴对称 旋转 相同点 都是全等变换(合同变换)，即变换前后的图形全等。 不同点 定义 把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换。 把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换。 把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换。 图形 要素 平移方向、平移距离 对称轴 旋转中心、旋转方向、旋转角度 性质 连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等。 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分。 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。 对应线段平行(或共线)且相等。 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分。 *对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等。 二、题型练习 题型01 生活中的旋转现象 【例题】（25-26九年级上·江西上饶·期中）数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【答案】A 【详解】解：A．钟表时针围绕中心轴转动，属于旋转，符合题意； B． 火箭升空是直线平移运动，不符合题意； C． 月亮倒影是光的反射形成的像，不是物体运动，不符合题意；    D． 足球滚动时接触点变化，旋转中心移动，不属于固定点旋转，不符合题意． 故选A． 【变式1】制作传统万花筒，主要利用的几何变换是（     ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．中心对称 【答案】B 【分析】本题考查几何变换的实际应用，结合万花筒的工作原理，对应不同几何变换的定义即可作出判断． 【详解】解：传统万花筒内部装有多块平面镜，依靠平面镜反射成像， ∵平面镜所成的像与原物体关于镜面所在直线对称，符合轴对称变换的定义， ∴制作传统万花筒主要利用的几何变换是轴对称． 【变式2】（广东韶关·期末）下列现象：①地下水位逐年下降，②传送带的移动，③方向盘的转动，④水龙头的转动；其中属于旋转的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：①地下水位逐年下降，不是旋转现象； ②传送带的移动，不是旋转现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④水龙头的转动，是旋转现象， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的判断，解题的关键是掌握旋转的概念：在平面内，将一个图形沿某一个定点转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【变式3】有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】旋转定义：在平面内，把一个图形绕某一定点转动一个角度的图形变换叫做旋转，根据旋转定义逐一判断各现象，即可找出不属于旋转的选项. 【详解】解：①温度计中液柱的上升或下降是沿直线的平移运动，不属于旋转； ②打气筒活塞的运动是沿直线的平移运动，不属于旋转； ③钟摆的摆动是绕悬挂定点转动，属于旋转； ④风车轮叶片绕中心转动移动到新位置，属于旋转.， 故不属于旋转的是①②. 【变式4】(23-24九上·广东韶关翁源县·期中)下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程 【答案】D 【分析】此题主要考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误； B、飞机起飞后冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误； C、笔直的铁轨上飞驰而过的火车不是旋转，故此选项错误； D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确． 故选：D． 【变式5】．(23-24九上·广东珠海前山中学·期中)下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 【答案】②④⑤ 【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平移变换：把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换． 【详解】解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移； ②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆,属于旋转， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键． 【变式6】下面图形不能通过旋转变换得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 【变式7】数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A．国旗上升的过程 B．输送带运输的行李箱 C．轮船航行时的螺旋桨的转动 D．商场的扶手电梯载着顾客上下楼 【答案】C 【分析】在平面内，绕一个定点沿某个方向转动一个角度的图形变换称为旋转，沿某一方向直线移动的变换称为平移，根据定义逐一判断各选项的运动类型即可． 【详解】解：选项A国旗上升是沿竖直方向直线运动，属于平移，不符合要求； 选项B输送带运输的行李箱沿直线运动，属于平移，不符合要求； 选项C轮船航行时螺旋桨绕中心定点转动，符合旋转的定义，属于旋转，符合要求； 选项D扶手电梯载顾客上下楼沿直线运动，属于平移，不符合要求． 题型02 轴对称、中心对称图形识别 【例题】（2026年广东中考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A． B． C． D． 【答案】C 【变式1】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 【变式2】（26-27九年级上·北京·开学考试）现有一组平面绘图作品，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 【变式3】(23-24九上·广东珠海九洲中学·期中)垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．厨余垃圾 B．有害垃圾 C．其他垃圾 D．可回收物 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但它不是中心对称图形； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 故选：B． 【变式4】(24-25九上·广东阳江第一中学实验学校·期中)下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项图形分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 【变式5】(24-25九上·广东东莞沙田瑞风实验学校·期中)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选A． 【变式6】(24-25九上·广东广州番禺区香江实验中学·期中)下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，正确把握相关定义是解决问题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 【变式7】(24-25九上·广东汕头金平区金园实验中学·期中)下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键． 根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【变式8】中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、是中心对称图形． 题型03 识别旋转中心、旋转角、对应线段、对应角 【例题】（2026·江苏无锡·中考真题）如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是． ∵， ∴． 即旋转角为． 【变式1】(24-25九上·广东云浮罗定·期中)风车山因其山顶的风车而得名，这些巨大的风车在山巅屹立，仿佛守护着这片净土．如图是罗定风车山的图片，图中风力发电装置的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原图案重合，则n的值可以是（   ） A．60 B．90 C．120 D．180 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称，将除以转子叶片个数即可求出的值． 【详解】解： 故选：C． 【变式2】如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，其中点，，的对应点分别为点，，，则能作为旋转中心的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据旋转中心的定义和性质，利用格点构造对应点连线的垂直平分线，即可解答． 【详解】解：如图，连接，， 分别作，的垂直平分线，交点为点，即点是旋转中心． 【变式3】如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意逐项分析． 【详解】解：A、旋转前后图像全等，对应线段相等，即，选项说法正确，不符合题意； B、旋转前后图像全等，对应角相等，即，选项说法正确，不符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法错误，符合题意； D、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法正确，不符合题意． 【变式4】如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【答案】D 【分析】根据两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由图形可知：绕着点顺时针旋转得到， ∴旋转中心及旋转角分别是点，旋转角为 【变式5】已知和关于点O成中心对称，下列说法不正确的是（ ） A． B． C．点的对应点是点 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握该知识点是解题的关键． 由中心对称的性质判断即可． 【详解】解：和关于点O成中心对称， 由中心对称的性质可得，，点A的对应点是点，， 所以D选项不正确． 故选：D． 【变式6】如图所示，直角顺时针旋转后与重合，若，则旋转角度是________． 【答案】/度 【详解】解：由图可知，是对应边，是旋转角， 所以，旋转角． 【变式7】（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵绕点逆时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴． 题型05 平面直角坐标中的坐标变换 【例题】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 【变式1】在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解；∵、， ∴点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴，两点关于y轴对称， 故选：C． 【变式2】如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知点关于原点的对称点的坐标是，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标分别互为相反数，点关于原点的对称点的坐标为， ∴，， ∴． 【变式4】已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于，纵坐标大于， ∵点的纵坐标为，已经满足要求， ∴只需满足横坐标小于，即 ， 解得． 【变式5】（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：点关于原点的对称点为点， ∵点在第三象限，且， ∴， 解得． 【变式6】(24-25九上·广东广州西关外国语学校·期中)点与点关于原点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了原点对称，熟练掌握关于原点对称的规律是解题的关键．利用关于原点对称点的性质可得a、b的值，再计算的值即可解答． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 【变式7】（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点在第二象限， ． 【变式8】（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点． 因为是边长为2的等边三角形， 所以． 因为， 所以． 在中，由勾股定理得． 因为点在第二象限，所以点的坐标为． 因为是以原点为中心作中心对称得到的，所以点与点关于原点对称． 所以点的坐标为． 题型05 画对称图形 【例题】4．（2026·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点，，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)将线段向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 【答案】(1)解：下图为所求： (2)解：下图线段为所求： (3) 下图线段为所求，点的坐标为 【变式1】(23-24九上·广东惠州惠阳区第一中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标，请解答下列问题：      (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点O顺时针旋转后得到，并写出的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题主要考查了画关于原点对称的图形，画绕原点旋转的图形，正确找到A、B、C对应点的位置是解题的关键． （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）先找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接，再写出的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求， ∴．    【变式2】（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求： 点的坐标为； (2)如图，即为所求： 点的坐标为． 【变式3】（九年级上·广东东莞·期末）如图，的顶点坐标分别为、和． (1)作出关于原点O对称的． (2)作出绕点O逆时针旋转90度的． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】（1）根据中心对称的定义找到各点的对称点，然后顺次连接即可 （2）根据旋转的性质可进行作图； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 【点睛】本题主要考查中心对称图形、旋转的性质及扇形面积，熟练掌握中心对称图形、旋转的性质及扇形面积是解题的关键． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变换，熟练掌握点的对称与旋转是解决本题的关键． 先根据图中的位置求出点A的坐标，再根据关于y轴的对称可求解点，再根据绕原点O旋转即可求解点的坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于y轴对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴如图，点． 故选：A． 【变式5】(24-25九上·广东珠海城东中学·期中)如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是、． (1)将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出，则点的坐标是（______，______）； (2)连接，则的面积为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)5 【分析】本题考查作图——旋转变换，网格中三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求 则， 故答案为：； （2）解：如图， 则 题型06 求线段长度/周长及其综合 【例题】(24-25九上·广东珠海香洲区立才学校·期中)如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转性质可判定为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得的长．熟悉以上性质是解题关键． 【详解】解：由旋转性质可知，，， 则为等腰直角三角形， ． 故选：B． 【变式1】如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，的对应边正好过点，此时与交于点，则的长为______． 【答案】 【详解】解：在中，，，， ，， ， 由旋转可得，，，， 是等边三角形， ， 旋转角， 在中，，， ， 是直角三角形， ∴． 【变式2】（23-24九年级上·广东汕头·期末）如图，与关于点C成中心对称，则的长是 【答案】 【分析】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且，时，的长为_____． 【答案】5 【分析】由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转一定的角度得到， ，， ． 【变式4】如图，中，． (1)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的三角形； (2)若，，点旋转后的对应点为，求的长． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由旋转性质可知：，， ，，， ， ， ． 【变式5】（2026广东中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（ ） A. B. 18 C. D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：在中，，，，  ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，，  ∵， ∴，  ∴， 过点作于点，则四边形为矩形，  ∴，，  ∴， 在中，， ∴的周长为． 【变式6】如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意，得，， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用等边对等角求得，即可得到； （2）根据旋转的性质可得，，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得，， ，， ， ， ， ． 【变式7】如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点，求证：．    【答案】 证明：是由绕点A按逆时针方向旋转得到的， ， ，即， 在和中, , ∴， ．    【分析】本题主要考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．利用旋转性质得,再证明和全等． 【变式8】如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 【答案】证明：由旋转的性质可得，，，， ∴，即， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由旋转的性质可得，，，，结合容易证明，因此． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章 旋转 专题讲义 一、知识点总结 知识点01 旋转的概念与性质 1.旋转的定义 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转。 2.旋转的三要素 点O叫做 旋转中心 ，转动的角度叫做 旋转角 ，顺时针或逆时针叫做 旋转方向 。它们是旋转的三要素。 3.旋转的相关概念 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做 对应点 ，如果图形上的线段AB经过旋转变为点A′B′，那么这两条线段叫做 对应线段 ，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这两个角叫做 对应角 。 4. 旋转的性质 图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转。 图形经过旋转，具有以下三条基本性质： ①全等性：旋转前、后的图形全等(△ABC≌△)；即图形的形状、大小没有发生变化。 ②距离相等：对应点到旋转中心的距离相等(OA= OA′)； ③夹角相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 知识点02 旋转作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形。 作图的步骤： ①连接图形中的每一个关键点与旋转中心； ②把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)； ③在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； ④连接所得到的各对应点。 知识点03 中心对称及其性质 1.中心对称的定义 如图，把一个图形绕着某个点旋转 180° ，如果它能够与另一个图形 完全重合 ，那么就说这两个图形关于这个点 对称或中心对称 ，这个点叫做 对称中心 ，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的 对称点 。 即：△ABC绕点O旋转180°与△A'B'C'完全重合，则△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，点O是对称中心，A与A'，B与B'，C与C' 都是对称点，中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。 2.中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够 完全重合 ；即 。 ②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过 对称中心 ，并且被对称中心 平分 。 即：。 ③中心对称的两个图形对应边 平行或共线 。 3.对称中心的确定 连接任意两组 对称点 得到两条线段，这两条线段的 交点 就是对称中心。 4.中心对称作图的基本步骤 步骤： ①确定图形的 关键点 与 对称中心 。 ②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离 相等 ；得到 对称点 。 ③按照原图形连接各对称点。 知识点04 中心对称图形 1.中心对称图形的定义 一个图形绕某一点旋转 180°后，如果旋转后的图形能够与旋转前 完全重合 ，那么这个图形就叫做 中心对称图形 ，这个点叫做中心对称图形的 对称中心 。 补充拓展：中心对称图形属于旋转对称图形的一种特例（旋转角恰好为180∘）。除180∘外，若一个图形绕某点旋转角α（0<α<360∘）后能与自身重合，则称其为旋转对称图形。圆是其中最为特殊的，它关于圆心具有任意角的旋转对称性，这也是许多需平稳旋转的零部件（如水泵叶轮）常设计成中心对称或圆形的原因。 2.中心对称图形的性质 性质1：对应点连线都经过 对称中心 ，且被对称中心 平分 。 性质2：对应线段的数量关系是 相等 的，位置关系为 平行 或 共线 。 性质3：对应角 相等 。 性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个 全等 的图形。 特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。两者的区别与联系类似于“轴对称”与“轴对称图形”。 3.常见中心对称图形及其对称中心 ①线段（对称中心为线段的中点）； ②平行四边形（对称中心为对角线的交点）； ③矩形、菱形、正方形（既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴的交点即为其对称中心）； ④圆（对称中心为圆心）。 4.对称中心的确定方法 连接图形上任意一对对应点（或连接具有对称关系的两个点），所连线段的中点即为该中心对称图形的对称中心。 知识点05 关于原点对称的点的坐标 1.关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为 相反数 。 即若点与点关于原点对称，则有 ， 。 2.关于点对称的点坐标 关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。 知识点06 全等变换的综合运用 1.全等变换的本质 旋转（含中心对称）、平移、轴对称，这些变换的共性在于只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，即变换前后的图形全等（图形上任意两点间的距离、任意三点所成的角保持不变）。 2.图案设计与应用 综合运用旋转、平移和轴对称（全等变换的组合），由简单的基本图形可以生成复杂、美观的图案。如风车或几何拼贴图案，以及过中心对称图形对称中心的任意直线将图形分成面积相等的两个部分，可用于解决分割土地面积等实际问题。 知识点07 平移、轴对称、中心对称对比 平移 轴对称 旋转 相同点 都是全等变换(合同变换)，即变换前后的图形全等。 不同点 定义 把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换。 把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换。 把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换。 图形 要素 平移方向、平移距离 对称轴 旋转中心、旋转方向、旋转角度 性质 连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等。 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分。 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。 对应线段平行(或共线)且相等。 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分。 *对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等。 二、题型练习 题型01 生活中的旋转现象 【例题】（25-26九年级上·江西上饶·期中）数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【变式1】制作传统万花筒，主要利用的几何变换是（     ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．中心对称 【变式2】（广东韶关·期末）下列现象：①地下水位逐年下降，②传送带的移动，③方向盘的转动，④水龙头的转动；其中属于旋转的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【变式4】(23-24九上·广东韶关翁源县·期中)下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程 【变式5】．(23-24九上·广东珠海前山中学·期中)下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 【变式6】下面图形不能通过旋转变换得到的是（ ） A． B． C． D． 【变式7】数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A．国旗上升的过程 B．输送带运输的行李箱 C．轮船航行时的螺旋桨的转动 D．商场的扶手电梯载着顾客上下楼 题型02 轴对称、中心对称图形识别 【例题】（2026年广东中考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A． B． C． D． 【变式1】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·北京·开学考试）现有一组平面绘图作品，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】(23-24九上·广东珠海九洲中学·期中)垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．厨余垃圾 B．有害垃圾 C．其他垃圾 D．可回收物 【变式4】(24-25九上·广东阳江第一中学实验学校·期中)下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式5】(24-25九上·广东东莞沙田瑞风实验学校·期中)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【变式6】(24-25九上·广东广州番禺区香江实验中学·期中)下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式7】(24-25九上·广东汕头金平区金园实验中学·期中)下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式8】中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 题型03 识别旋转中心、旋转角、对应线段、对应角 【例题】（2026·江苏无锡·中考真题）如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·广东云浮罗定·期中)风车山因其山顶的风车而得名，这些巨大的风车在山巅屹立，仿佛守护着这片净土．如图是罗定风车山的图片，图中风力发电装置的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原图案重合，则n的值可以是（   ） A．60 B．90 C．120 D．180 【变式2】如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，其中点，，的对应点分别为点，，，则能作为旋转中心的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3】如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【变式5】已知和关于点O成中心对称，下列说法不正确的是（ ） A． B． C．点的对应点是点 D． 【变式6】如图所示，直角顺时针旋转后与重合，若，则旋转角度是________． 【变式7】（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则（     ） A． B． C． D． 题型05 平面直角坐标中的坐标变换 【例题】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 【变式2】如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知点关于原点的对称点的坐标是，则的值为___________． 【变式4】已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式5】（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 【变式6】(24-25九上·广东广州西关外国语学校·期中)点与点关于原点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2024 【变式7】（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8】（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 题型05 画对称图形 【例题】4．（2026·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点，，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)将线段向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 【变式1】(23-24九上·广东惠州惠阳区第一中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标，请解答下列问题：      (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点O顺时针旋转后得到，并写出的坐标． 【变式2】（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 【变式3】（九年级上·广东东莞·期末）如图，的顶点坐标分别为、和． (1)作出关于原点O对称的． (2)作出绕点O逆时针旋转90度的． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式5】(24-25九上·广东珠海城东中学·期中)如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是、． (1)将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出，则点的坐标是（______，______）； (2)连接，则的面积为______． 题型06 求线段长度/周长及其综合 【例题】(24-25九上·广东珠海香洲区立才学校·期中)如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（  ） A．1 B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，的对应边正好过点，此时与交于点，则的长为______． 【变式2】（23-24九年级上·广东汕头·期末）如图，与关于点C成中心对称，则的长是 【变式3】如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且，时，的长为_____． 【变式4】如图，中，． (1)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的三角形； (2)若，，点旋转后的对应点为，求的长． 【变式5】（2026广东中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（ ） A. B. 18 C. D. 24 【变式6】如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【变式7】如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点，求证：．    【变式8】如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $