29.1.1 圆的有关概念 教学设计 2026—2027学年数学人教版九年级上册

29.1.1 圆的有关概念 教学设计 课题 29.1.1 圆的有关概念 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1 课时 课型 新授课 教学目标 1. 通过观察、操作、归纳等数学活动理解圆的定义，理解并掌握点和圆的三种位置关系及判断方法，理解弦、直径、弧、优弧、半圆、劣弧、等圆、等弧的概念，能够在图形中识别弦和弧；2. 经历点和圆的位置关系的探究过程，体会数形结合、分类讨论的数学思想方法，感受圆和实际生活的联系，发展分析问题、解决问题的能力；3. 理解概念之间的区别和联系，能灵活运用圆的有关概念解决问题. 教学重点 圆的定义的形成过程；点和圆的位置关系；理解与圆有关的概念. 教学难点 圆的集合性定义；利用点和圆位置的关系的判断方法解决实际问题. 教学方法 情境导入、动手操作、讲练结合 教学准备 多媒体课件、直尺、圆规 课后练习 教材本节课后练习中与本课时相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 环节一 温故知新 一、温故知新 1．小学阶段我们学过圆，说一说：生活中有哪些物体是圆形的？ 2．我们是怎样画出一个圆的？画圆时圆心和半径各起什么作用？ 要点：用圆规画圆时，针尖固定的点是圆心，两脚间的距离是半径. 【师生活动】学生口述，教师板书关键词“圆心”“半径”，设问：本节课我们从运动与集合两个角度重新认识圆. 学生回忆小学画圆经验，明确圆心与半径的作用. 回顾旧知，为圆的描述性定义与集合性定义作铺垫. 环节二 创设情境 导入新课 二、创设情境、导入新课 【新课导入】希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆.”圆是常见的图形，生活中的许多物体都给我们以圆的形象. 你能发现下面图片中的圆形吗？ 橙子切片、茶盘、自行车 月洞门、摩天轮、明月、亭台圆窗 【师生活动】教师展示图片，学生指出图片中的圆形；教师归纳：圆在生活中无处不在，本节课学习“圆的有关概念”. 学生从生活图片中辨识圆形，感受圆与现实生活的联系. 结合生活实际，列举生活中的圆，让学生体会圆在日常生活和生产实践中有着广泛的应用，激发学习兴趣. 环节三 实践探究 交流新知 三、实践探究、交流新知 【问题1】我们在小学已经对圆有了初步认识. 请仿照图中方法，在纸上画一个半径为 3 cm 的圆. 观察画圆的过程，你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗？ 画圆的过程 【师生活动】学生先自己画图，教师演示画圆的动态过程；然后学生小组讨论圆的形成过程，教师进行总结. 【新知】在一个平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一端点 P 所形成的图形叫作圆. 其固定的端点 O 叫作圆心，线段 OP 叫作半径. 圆的形成 以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”. 【问题2】量一量，圆上各点到定点（圆心 O）的距离有什么特点？反过来，到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 度量圆上的点与半径 【师生活动】学生独立操作，思考答案，教师进行演示，师生一起总结. 【新知】（1）圆上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径 r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 因此，圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合. 【设计意图】学生动手操作中得出圆的集合性定义. 把一个图形看成满足某种条件的点的集合，必须符合：（1）图形上的每一点都满足某个条件；（2）满足这个条件的每一个点，都在这个图形上，两个条件缺一不可. 【思考】(1) 以 2 cm 为半径能画几个圆？(2) 在同一个平面内，以点 O 为圆心能画几个圆？(3) 在同一个平面内，以点 O 为圆心、以 2 cm 为半径，能画几个圆？(4) 确定一个圆需要哪几个要素？ 【归纳】确定圆的两个要素：圆心和半径；圆心确定圆的　　　，半径确定圆的　　　. 答案：位置；大小. 【问题3】在同一张纸面上任意画一个⊙O 和一些点，这些点和圆的位置关系有几种情况？ 点与圆的位置 【答案】点 A 在⊙O 外，点 B 在⊙O 上，点 C 在⊙O 内. 【新知】观察画圆的过程，还可以发现，平面被圆分成三部分. 相应地，平面内的点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内. 【问题4】如图，设⊙O 半径为 r，点 A，点 B，点 C 到圆心 O 的距离与半径 r 有什么关系？ 连接 OA、OB、OC 【答案】连接 OA，OB，OC：点 A 在⊙O 外⇒OA＞r；点 B 在⊙O 上⇒OB＝r；点 C 在⊙O 内⇒OC＜r. 反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能判断点和圆的位置关系吗？——OA＞r⇒点 A 在⊙O 外；OB＝r⇒点 B 在⊙O 上；OC＜r⇒点 C 在⊙O 内. 【思考】结合下面的动图，总结你的发现. 设⊙O 的半径为 r，任意一点 P 到圆心的距离 OP＝d，则有： d＞r、d＝r、d＜r 点 P 在圆外⇔d＞r；点 P 在圆上⇔d＝r；点 P 在圆内⇔d＜r. 【归纳】符号⇔读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从符号“⇔”的右端也可以推出左端. 【练习】已知⊙O 的面积为 25π. (1) 若 PO＝5.5，则点 P 在　　　　；(2) 若 PO＝4，则点 P 在　　　　；(3) 若 PO＝　　　，则点 P 在圆上；(4) 若点 P 不在圆外，则 PO　　　. 答案：圆外；圆内；5；≤5（半径 r＝5，PO＞5 在外，PO＜5 在内）. 【问题5】一个圆把平面上的点分成三类，即圆上的点、圆内的点、圆外的点. 你能用集合的语言表示圆上的点、圆内的点、圆外的点吗？ 【答案】圆上的点可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的内部的点可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合；圆的外部的点可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合. 【练习】画出由所有到已知点 O 的距离小于或等于 2 cm 的点组成的图形. 到 O 的距离≤2 cm 的点组成的图形 答案：以 O 为圆心、2 cm 为半径的圆及其内部（圆面）. 学生动手画圆、度量、连接、判断，经历圆的定义与点和圆位置关系的形成过程，掌握用数量关系判断位置关系的方法. 动手操作中得出圆的描述性定义与集合性定义；借助动图帮助学生理解位置关系与数量关系的对应；通过练习初步掌握判断方法，体会类比与数形结合思想. 环节四 形成概念 弦与弧 四、形成概念、弦与弧 【新知】连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径. 直径长是半径长的 2 倍. 如图，AB，AC 是弦，AB 是直径. 弦与直径 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧. 以 A，B 为端点的弧记作，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆. 大于半圆的弧叫作优弧；小于半圆的弧叫作劣弧. 在图中，（用三个字母表示）是优弧，是劣弧. 【思考】直径与弦有什么关系？半圆与弧有什么关系？图中还有其他的优弧或劣弧吗？ 【师生活动】学生小组讨论得出：直径一定是弦，但弦不一定是直径；弦包括直径，直径是特殊的弦（直径是圆中最长的弦）. 半圆一定是弧，但弧不一定是半圆；弧包括优弧、劣弧和半圆. 图中还有优弧，劣弧. 【问题】仔细观察下面的动图，想一想什么情况下两个圆能够完全重合？ 等圆 【师生活动】学生小组讨论，教师进行延伸、总结. 【新知】能够重合的两个圆叫作等圆. 容易看出：同圆或等圆的半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆（等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关）. 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧. 如图，，，是等弧. 等弧 学生在图形中识别弦、直径、弧，辨析直径与弦、弧与半圆的包含关系，理解等圆、等弧概念的限定条件. 借助动图和动画，形象地展示等圆和等弧的特点；引导学生分析概念之间的区别与联系，巩固优弧和劣弧的概念. 环节五 典例精讲 学以致用 五、典例精讲、学以致用 例1 矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O. 求证：A，B，C，D 四个点在以点 O 为圆心的同一个圆上. 矩形与四个顶点共圆 【师生活动】学生独立完成，并小组讨论，尝试进行解答，教师给予帮助. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，∴AO＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD. ∴OA＝OB＝OC＝OD. ∴A，B，C，D 四个点在以点 O 为圆心，OA 为半径的圆上. 【归纳】判断多点是否在同一个圆上的问题，实质上是寻找一个定点，判断这些点到定点的距离是否相等. 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝3，BC＝4，若以 C 为圆心，3 为半径作⊙C，判断点 A，B，D 与⊙C 的位置关系. Rt△ABC 解：由题意，知⊙C 的半径 r＝3. ∵AC＝3＝r，∴点 A 在⊙C 上. ∵BC＝4＞r，∴点 B 在⊙C 外. 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，由勾股定理，得 AB＝＝5. 又∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，即 5CD＝12，∴CD＝2.4＜r，∴点 D 在⊙C 内. 【归纳】判断一个点和圆的位置关系时，首先要知道点到圆心的距离，然后将这个距离与圆的半径进行比较：大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内. 例3 写出图中⊙O 的直径、弦、优弧、劣弧. 识别弦与弧 解：直径 AC；弦 AB，BC，AC；优弧，；劣弧，. 例4 有以下结论：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧. 其中正确的有（　　） A．1 个　B．2 个　C．3 个　D．0 个 答案：A 【解析】直径相等即半径相等，所以①正确；等弧是指在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以②错误；直径把圆分成的两个半圆就是等弧，所以③错误. 【提醒】(1) 直径是圆中最长的弦，而弦不一定是直径；(2) 半圆是弧，但弧不一定是半圆；(3) 弧包括优弧、劣弧和半圆；(4) 等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关；(5) 等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧. 学生独立完成并板书例1、例2，互查例3 的识别结果，通过例4 辨析易混概念. 通过例题巩固圆的定义与点和圆的位置关系，应用概念解决多点共圆、位置判断、图形识别与概念辨析问题. 环节六 课堂小结 布置作业 六、课堂小结 （1）本节课我们学习的主要内容是什么？（2）你还有什么疑问？ 知识结构图 【归纳】①圆的定义：描述性定义（线段绕固定端点旋转一周）与集合性定义（到定点距离等于定长的点的集合）；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②点和圆的位置关系：点在圆外⇔d＞r，点在圆上⇔d＝r，点在圆内⇔d＜r；③圆的相关概念：弦与直径（直径是最大的弦）、弧（优弧、半圆、劣弧）、等圆、等弧. 【布置作业】教材本节课后练习中与本课时相关的题目. 学生借助知识结构图自主梳理圆的定义、位置关系与相关概念，养成系统整理知识的习惯；课后独立完成作业. 通过课堂小结使学生对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点. 板书设计 29.1.1 圆的有关概念 一、圆的定义 描述性：线段 OP 绕 O 旋转一周，P 形成圆 集合性：到定点距离等于定长的点的集合 圆心定位置，半径定大小 二、点和圆的位置关系 圆外 d＞r；圆上 d＝r；圆内 d＜r（d＝OP） 三、圆的相关概念 弦、直径（最长的弦）；弧：优弧、半圆、劣弧 等圆（半径相等）；等弧（同圆或等圆中重合） 学生板演区 学科网（北京）股份有限公司 $