第28章 旋转（举一反三讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学《旋转》单元复习讲义通过“夯实基础-进阶拔高-创新思辨”三级题型分类构建知识体系，系统梳理中心对称图形判断、旋转中心确定、坐标旋转等核心概念及性质应用，以题型框架呈现知识脉络，突出基础概念与综合应用的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题型如判断中心对称图形（例1及变式）培养几何直观，进阶题型如旋转与全等综合求线段长（例7）发展推理能力，创新题型如旋转与最值问题（例14）提升空间观念与创新意识。每个题型配例题和变式，助力不同层次学生掌握方法，支持教师精准教学与学生自主复习。

第28章 旋转（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 判断图形是否为中心对称图形】 1 【题型2 判断图形是否为旋转对称图形】 2 【题型3 求旋转中心的个数】 3 【题型4 找旋转中心、旋转角、对应点】 4 【题型5 求旋转后的点的坐标】 6 【进阶拔高】 7 【题型6 旋转后求对应角的大小】 7 【题型7 旋转与全等三角形综合求线段长】 8 【题型8 坐标系中作旋转后的图形】 9 【题型9 利用旋转的性质证明】 11 【题型10 利用中心对称的性质求解】 12 【题型11 补画图形使之成为中心对称图形】 13 【创新思辨】 14 【题型12 旋转中的规律性问题】 14 【题型13 利用旋转设计图案】 15 【题型14 旋转与最值问题】 17 【题型15 旋转变换与面积综合问题】 18 【夯实基础】 【题型1 判断图形是否为中心对称图形】 【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·广西钦州·周测）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是_______． （1）；（2）；（3）；（4） 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·四川自贡·模拟预测）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（     ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型2 判断图形是否为旋转对称图形】 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）观察下列图形，其中是旋转对称图形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）下面四个图形绕各自的中心旋转后能与自身重合的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）在等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共有_____个旋转对称图形. 【变式2-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A.矩形；B.正五边形；C.菱形；D.正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：___________（填序号）； （3）下列三个命题： ①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有______个； 【题型3 求旋转中心的个数】 【例3】（25-26九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【变式3-2】（25-26七年级·全国·单元测试）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个． 【变式3-3】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（　　） A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q 【题型4 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例4】（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角等于 C． D． 【变式4-2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 【变式4-3】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，将绕点旋转得到，若，，，，则下列说法：①点的对应点是点；②；③；④；⑤旋转中心是点；⑥旋转角为.其中正确的是（    ） A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥ 【题型5 求旋转后的点的坐标】 【例5】（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是______． 【变式5-2】（24-25九年级上·广东江门·期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为______． 【变式5-3】（2025八年级上·重庆·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，若将绕点逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是________． 【进阶拔高】 【题型6 旋转后求对应角的大小】 【例6】（26-27九年级上·山东日照·开学考试）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 【变式6-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，将绕点A顺时针旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点A、D、E），若E、B、C三点共线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级下·上海奉贤·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转（）得到，其中点与点对应，点与点对应，若点恰好落在的边上，则的度数是_______． 【变式6-3】（25-26八年级下·江西九江·期末）将绕直角边的中点旋转，得到．且的直角顶点落在的斜边上，所在直线与所在直线交于点，如图，若是等腰三角形，则的度数为__________． 【题型7 旋转与全等三角形综合求线段长】 【例7】（25-26八年级下·全国·期中）如图，在等边三角形中，，是边上一点，且，绕点旋转后得到，则的长度为_________． 【变式7-1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，．将绕点逆时针旋转后得到，连接．若，，则线段的长度为____________． 【变式7-2】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，P是上的任意一点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转至，使，连接．则线段长度的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【变式7-3】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，矩形中，，，点F为边上一点，连接，若线段绕点F顺时针旋转后，点D恰好落在边上的点E处，则的长度为（    ）    A．2 B．1 C．3 D．1.5 【题型8 坐标系中作旋转后的图形】 【例8】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． (2)将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【变式8-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，画出绕点逆时针旋转后得到的（点的对应点分别为点），并写出点的坐标． 【变式8-2】（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)将绕点逆时针旋转后得到请在平面直角坐标系中画出； (3)若与关于原点中心对称，则点的坐标为________． 【变式8-3】同学们利用几何画图软件开展了“图案设计”项目式学习，下面是在的正方形网格中设计的两种不同图案的一部分． (1)请将图1中的阴影三角形以点M为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后得到的三角形； (2)利用图2中的阴影三角形，通过添加全等三角形的方式，补成一个图案，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形；（可以补充一个或多个） 【题型9 利用旋转的性质证明】 【例9】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 【变式9-1】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【变式9-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【变式9-3】（2025·山东济宁·二模）如图1，将矩形绕点A旋转到矩形的位置，直线和直线相交于点P． (1)直线和直线的位置关系为___________； (2)将矩形绕点A旋转至图2所示的位置，点E落在对角线上，点D与点P重合，连接交于点Q，连接，（1）中直线和直线的位置关系是否仍然成立？四边形是什么图形？请证明你的猜想； (3)利用图1求证：点P是线段的中点． 【题型10 利用中心对称的性质求解】 【例10】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【变式10-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 【变式10-2】（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式10-3】（2026·江西上饶·三模）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．4 D． 【题型11 补画图形使之成为中心对称图形】 【例11】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有__________种． 【变式11-1】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式11-2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图．现轮到白方落子，要使得落子后所得的对弈图是中心对称图形，白方落子应在网格的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式11-3】（25-26八年级下·湖南株洲·期末）作图：请在由边长为1的小正六边形组成的网格中按要求画出图形，要求点在所画图形内部，且所有顶点均在格点上． (1)在图①中以为边画一个非中心对称的轴对称图形； (2)在图②中以为边画一个非轴对称的中心对称图形． 【创新思辨】 【题型12 旋转中的规律性问题】 【例12】（25-26七年级下·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点 C落在点的位置，第2次滚动使点D落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2026次滚动后，顶点 A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26七年级下·陕西西安·自主招生）小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型13 利用旋转设计图案】 【例13】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图是由相同的正六边形组成的网格图，每个网格图中有3个小正六边形已涂上阴影，请在余下的空白小正六边形中，分别按要求选取一个涂上阴影． (1)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合； (2)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合． 【变式13-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）请设计一个旋转后能与自身重合的旋转对称图形，且该图形不是轴对称图形． 【变式13-2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作； （1）将原图形绕点O逆时针旋转90°； （2）发挥你的想象，进一步设计图案，让图案变得更加美丽． 【变式13-3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）阅读材料： 课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线划分成两部分(分别用阴影和空白表示)，使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法． 约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同． 小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图①、图②、图③所示． 小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形(图③)逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法(图①)是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．” 老师说：“小方说得对．” 完成下列问题： (1)图④的划分方法是否正确？ (2)判断图⑤的划分方法与图②小易的划分方法是否相同，并说明你的理由． (3)请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图⑥中画出来． 【题型14 旋转与最值问题】 【例14】（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、)，取的中点，连接，则线段的最大值为____________． 【变式14-1】（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【变式14-2】（2025·安徽池州·二模）已知：如图1，中，，．点是边上一点且，点是边上的动点，线段绕点逆时针旋转至，连接，． （1）如图2，当点与点重合时，线段________． （2）点运动过程中，线段的最小值是________． 【变式14-3】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，平行四边形ABCD中，，．，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则的最小值是（      ） A． B． C． D．10 【题型15 旋转变换与面积综合问题】 【例15】如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式15-1】（25-26·浙江湖州·一模）如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 【变式15-2】（2025·湖北鄂州·二模）如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为________．    【变式15-3】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28章 旋转（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 判断图形是否为中心对称图形】 1 【题型2 判断图形是否为旋转对称图形】 3 【题型3 求旋转中心的个数】 6 【题型4 找旋转中心、旋转角、对应点】 8 【题型5 求旋转后的点的坐标】 11 【进阶拔高】 14 【题型6 旋转后求对应角的大小】 14 【题型7 旋转与全等三角形综合求线段长】 17 【题型8 坐标系中作旋转后的图形】 21 【题型9 利用旋转的性质证明】 27 【题型10 利用中心对称的性质求解】 32 【题型11 补画图形使之成为中心对称图形】 36 【创新思辨】 38 【题型12 旋转中的规律性问题】 38 【题型13 利用旋转设计图案】 41 【题型14 旋转与最值问题】 45 【题型15 旋转变换与面积综合问题】 50 【夯实基础】 【题型1 判断图形是否为中心对称图形】 【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D中图形是中心对称图形，故此选项符合题意． 【变式1-1】（25-26九年级上·广西钦州·周测）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是_______． （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（4） 【分析】根据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形）依次对各个图形进行判断即可． 【详解】解：（1）该图形不是中心对称图形， （2）该图形不是中心对称图形， （3）该图形不是中心对称图形， （4）该图形是中心对称图形， ∴这些汽车标识中，是中心对称图形的是（4）． 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义依次判断每个选项，进而选出是中心对称图形，但不是轴对称图形的选项. 【详解】解：、有竖直对称轴，是轴对称图形；旋转不能与原图重合，不是中心对称图形； 、绕圆心旋转和原图重合（中心对称）；找不到一条直线对折后两边重合（不是轴对称）； 、既有对称轴，旋转也和原图重合，既是轴对称，又是中心对称； 、有竖直对称轴，是轴对称图形；旋转不能重合，不是中心对称图形. 【变式1-3】（2025·四川自贡·模拟预测）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（     ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形，是指在平面内，把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形 ． 【详解】 第一个图形：  是轴对称图形，不是中心对称图形； 第二个图形：  是轴对称图形，也是中心对称图形； 第三个图形：  是轴对称图形，也是中心对称图形； 第四个图形：  是轴对称图形，也是中心对称图形； 所以，既是轴对称图形又是中心对称图形的有3个． 【题型2 判断图形是否为旋转对称图形】 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）观察下列图形，其中是旋转对称图形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】CC 【分析】此题考查了旋转对称图形的定义，旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度（小于）后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转对称图形的定义进行判断即可 【详解】解：图（1）（3）（4）都是旋转对称图形，共3个，不是旋转对称图形的是（2）． 故选：C 【变式2-1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）下面四个图形绕各自的中心旋转后能与自身重合的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的定义分别判断A、B、C、D各选项图形绕各自的中心旋转后能不能与自身重合，能重合的正确，反之错误. 【详解】解：A.此选项的图形绕中心旋转后不能与自身重合，故A错误. B. 此选项的图形绕中心旋转后能与自身重合，故B正确. C. 此选项的图形绕中心旋转后不能与自身重合，故C错误. D.此选项的图形绕中心旋转后不能与自身重合，故D错误. 【变式2-2】（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）在等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共有_____个旋转对称图形. 【答案】3 【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．解答即可． 【详解】解：在等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中只有五角星、圆、平行四边形是旋转对称图形． 故答案为3． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念；注意掌握旋转对称图形的定义是关键． 【变式2-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A.矩形；B.正五边形；C.菱形；D.正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：___________（填序号）； （3）下列三个命题： ①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有______个； 【答案】 B （1）（3）（5） 2 【分析】（1）根据旋转对称图形的定义即可解答； （2）分别求出各图形的旋转角即可解答； （3）根据旋转对称图形的定义判断即可． 【详解】（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，故选B． （2）图形（1）的旋转角为60°，120°，180°；图形（2）的旋转角为180°；图形（3）的旋转角为60°，120°，180°；图形（4）的旋转角为180°；图形（5）的旋转角为60°，120°，180°；图形（6）的旋转角为°，°，°，°，°；综上，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60°的图形是． 故答案为：． （3）根据旋转对称图形的定义可得：①中心对称图形是旋转对称图形是真命题；②等腰三角形是旋转对称图形是假命题；③圆是旋转对称图形是真命题．所以真命题有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题是新定义题目，熟练运用旋转对称图形的定义是解决问题的关键． 【题型3 求旋转中心的个数】 【例3】（25-26九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 【变式3-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【答案】A 【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH； 若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH； 若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH． 故选A． 【变式3-2】（25-26七年级·全国·单元测试）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个． 【答案】2． 【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心． 【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D； 把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C； 综上，可以作为旋转中心的有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 【变式3-3】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（　　） A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q 【答案】C 【分析】画出中心对称图形即可判断 【详解】解：观察图象可知，点P．点N满足条件． 故选：C． 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型4 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例4】（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意逐项分析． 【详解】解：A、旋转前后图像全等，对应线段相等，即，选项说法正确，不符合题意； B、旋转前后图像全等，对应角相等，即，选项说法正确，不符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法错误，符合题意； D、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法正确，不符合题意． 【变式4-1】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角等于 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，对选项逐一进行分析即可得出答案． 【详解】解：A：因为绕着点O旋转得到，所以旋转中心是点O，该选项正确，不符合题意； B：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，旋转到，旋转角应该是或，而不是，该选项错误，符合题意； C：由于旋转不改变图形的大小和形状，与是对应边，所以，该选项正确，不符合题意； D：旋转前后的图形全等，所以，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转角成为解题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形， ∴旋转角为：，，旋转中心为点A， 根据网格可知：， ∴，故A、B、D正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意． 故选：C． 【变式4-3】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，将绕点旋转得到，若，，，，则下列说法：①点的对应点是点；②；③；④；⑤旋转中心是点；⑥旋转角为.其中正确的是（    ） A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥ 【答案】A 【分析】根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：将绕点旋转得到，，，，， 点的对应点是点，故①正确， ，故②错误， ，故③正确， ，故④正确， 旋转中心是点，故⑤正确， 旋转角不一定为，故⑥错误， 故选：A. 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【题型5 求旋转后的点的坐标】 【例5】（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴，过点作轴，证明，由得到，，根据点在第二象限，得到． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点在第二象限， ． 【变式5-1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、旋转的性质，根据旋转的性质作图即可． 【详解】解：将线段AB绕点B顺时针旋转得到线段如图所示， 点A的对应点的坐标是 故答案为： 【变式5-2】（24-25九年级上·广东江门·期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，先由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理推出，由旋转的性质可得，再求出，进而得到点在y轴上，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴点在y轴上， ∴点的坐标为， 故答案为． 【变式5-3】（2025八年级上·重庆·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，若将绕点逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了图形和性质，旋转的性质全等三角形的判定和性质，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键． 分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和，构建，即可得出答案． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵点坐标为， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【进阶拔高】 【题型6 旋转后求对应角的大小】 【例6】（26-27九年级上·山东日照·开学考试）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 【答案】/94度 【分析】根据旋转的性质得出，可求出，进而得出，然后利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ， ， ． 【变式6-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，将绕点A顺时针旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点A、D、E），若E、B、C三点共线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据旋转得为旋转角，为对应边，为对应角，由E、B、C三点共线，知点A、E、B、C在上，从而可得，即可得． 【详解】解：由旋转得，，， E、B、C三点共线， 在中，， ． 【变式6-2】（25-26七年级下·上海奉贤·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转（）得到，其中点与点对应，点与点对应，若点恰好落在的边上，则的度数是_______． 【答案】 或 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，由旋转的性质可得：当点在边上时，；当点在边上时，根据旋转的性质可知，根据等边对等角可知，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：在中，，， ， 如下图所示，当点在边上时，； 如下图所示，当点在边上时， 由旋转可知，， ， ， ； 综上所述，或． 【变式6-3】（25-26八年级下·江西九江·期末）将绕直角边的中点旋转，得到．且的直角顶点落在的斜边上，所在直线与所在直线交于点，如图，若是等腰三角形，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】先求出，，则，进而可得，，再分三种情况：①，②，③，根据等腰三角形的性质建立等式，据此求解即可． 【详解】解：∵点为直角边的中点， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ①当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得； ③当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得，不符合题意，舍去； 综上，的度数为或． 【题型7 旋转与全等三角形综合求线段长】 【例7】（25-26八年级下·全国·期中）如图，在等边三角形中，，是边上一点，且，绕点旋转后得到，则的长度为_________． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的性质、图形旋转的性质等知识点，掌握旋转前后对应边相等的性质，以及等边三角形三边相等的特点是解题的关键． 先利用等边三角形三边相等的性质求出BC的长度，再根据算出的长，最后通过旋转的全等性质得到，进而求出的长度． 【详解】解：∵是等边三角形，且 ∴ ∵，且 ∴ ∴ ∵绕点旋转后得到 ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，．将绕点逆时针旋转后得到，连接．若，，则线段的长度为____________． 【答案】2 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质知识点，掌握旋转前后对应边相等对应角相等是解题的关键． 连接，利用旋转性质得到，推出是等边三角形，再根据角度关系得到垂直平分，从而得出． 【详解】解：如图，连接． 绕点逆时针旋转后得到， ，，，， 是等边三角形， ， 平分， 垂直平分， ． 故答案为：2． 【变式7-2】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，P是上的任意一点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转至，使，连接．则线段长度的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】如图所示，在上取点E使，证明出，得到，当时，最短，即最短，如图所示，求出，进而利用含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，在上取点E使 ∵ ∴，即 ∵将绕点A按顺时针方向旋转至 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵P是上的任意一点 ∴当时，最短，即最短，如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为2，即的最小值为2． 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，含30度角直角三角形的性质，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式7-3】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，矩形中，，，点F为边上一点，连接，若线段绕点F顺时针旋转后，点D恰好落在边上的点E处，则的长度为（    ）    A．2 B．1 C．3 D．1.5 【答案】A 【分析】根据旋转的性质确定，从而得到，，再结合已知条件和矩形的基本性质求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， 由矩形性质，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定以及旋转的性质等，掌握图形的基本性质并熟练运用是解题关键． 【题型8 坐标系中作旋转后的图形】 【例8】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． (2)将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)解：如图，即为所求；点的坐标为； (2)解：如图，即为所求； (3) 【分析】（1）根据平移规则画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，画出点的位置，进而写出点的坐标即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，点即为所求，由图可知. 【变式8-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，画出绕点逆时针旋转后得到的（点的对应点分别为点），并写出点的坐标． 【答案】如图，即为所求： ； 【分析】利用旋转变换的性质分别作出的对应点，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可． 【详解】略 【变式8-2】（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)将绕点逆时针旋转后得到请在平面直角坐标系中画出； (3)若与关于原点中心对称，则点的坐标为________． 【答案】(1)如图所示即为所求， (2) 如图所示即为所求， (3) ． 【分析】对于（1），根据点的平移规则：横坐标右移加、纵坐标下移减，计算出A、B、C平移后的对应点坐标，再顺次连接三点得到平移后的三角形． 对于（2），先确定旋转中心，再根据绕定点逆时针旋转的坐标变换规则，分别计算A、B、C旋转后的对应点坐标，顺次连接三点得到旋转后的三角形． 对于（3），因为关于原点中心对称的点横、纵坐标均互为相反数，所以直接根据点A的坐标计算其中心对称点的坐标． 【详解】（1）解：根据平移规则，点向下平移4个单位、向右平移1个单位后坐标变为， 计算得各顶点坐标：，，， 在坐标系中描点顺次连线即可得到所求三角形． （2）解：将各顶点与旋转中心连接， 将线段绕旋转中心逆时针旋转，得到各顶点坐标：， 描点顺次连线即可得到． （3）解：关于原点中心对称的点，横、纵坐标均为原坐标的相反数， ∴各顶点坐标为， 描点顺次连线即可得到， 的坐标为． 【变式8-3】同学们利用几何画图软件开展了“图案设计”项目式学习，下面是在的正方形网格中设计的两种不同图案的一部分． (1)请将图1中的阴影三角形以点M为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后得到的三角形； (2)利用图2中的阴影三角形，通过添加全等三角形的方式，补成一个图案，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形；（可以补充一个或多个） 【答案】(1)解：如图，即为所求， (2)解：如图， 【分析】（1）根据旋转的性质找出阴影三角形顶点的对应点，然后顺次连接即可； （2）根据全等三角形的性质，轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型9 利用旋转的性质证明】 【例9】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 【答案】证明：由旋转的性质可得，，，， ∴，即， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由旋转的性质可得，，，，结合容易证明，因此． 【详解】略 【变式9-1】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1) 证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． (2)． 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质推出，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质推出，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 【变式9-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形； (2) 证明：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， 在等边中，， ． 【分析】本题考查三角形综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟记旋转性质及等边三角形判定与性质是解决问题的关键． （1）由旋转性质得到，，即可由等边三角形的判定定理得到为等边三角形； （2）先由旋转性质得到，再等量代换有，最后结合等边三角形性质即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式9-3】（2025·山东济宁·二模）如图1，将矩形绕点A旋转到矩形的位置，直线和直线相交于点P． (1)直线和直线的位置关系为___________； (2)将矩形绕点A旋转至图2所示的位置，点E落在对角线上，点D与点P重合，连接交于点Q，连接，（1）中直线和直线的位置关系是否仍然成立？四边形是什么图形？请证明你的猜想； (3)利用图1求证：点P是线段的中点． 【答案】(1) (2) 解：仍然成立，四边形是平行四边形. 证明：∵四边形和都是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴且 ∴四边形是平行四边形； (3) 证明：连接和相交于点O，连接， ∵四边形是矩形，和相交于点O ∴ 由（1）可知， ∴ ∴点P，A，B，C，D都在以O为圆心，以为半径的圆上 ∴ 同理， ∴点P在线段上 又∵ ∴点P是线段的中点 【分析】此题考查了旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等的判定和性质、全等三角形的判定和性质是关键． （1）设相交于点，证明，即可得到结论； （2）证明，则，证明，则，进一步即可证明，得到且，即可证明结论成立； （3）连接和相交于点O，连接，证明 同理，，证明点P在线段上，则，即可证明结论． 【详解】（1）， 证明：设相交于点， ∵将矩形绕点A旋转到矩形的位置， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 （2）略 （3）略 【题型10 利用中心对称的性质求解】 【例10】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及中心对称的性质是解题的关键． 先求出及的长，进一步得出及的长，据此求出的长，最后用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【变式10-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，得到 对称性得到，，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，对角线、相交于点，， ∴， ∵与关于点成中心对称， ∴，，三点共线， ∴， 在中，． 【变式10-2】（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接、、，由中心对称的定义得出，且点、、在同一直线上，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由垂线段最短并结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F和点D关于点E成中心对称， ∴，且点、、在同一直线上， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵的面积是12，，点D是上的动点， ∴由垂线段最短可得，当时，的长度最小，且此时， ∴， ∴的最小值为 【点睛】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 【变式10-3】（2026·江西上饶·三模）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由正方形和正方形的对称中心都是点O，可得四边形，四边形，四边形，四边形的面积相等，与的面积相等，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O， ∴四边形，四边形，四边形，四边形的面积相等，与的面积相等， ∴阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积的， ∴阴影部分的面积是. 【题型11 补画图形使之成为中心对称图形】 【例11】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有__________种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 【变式11-1】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】先找到网格的对称中心，也就是第2行第2列、第2行第3列、第3行第2列、第3行第3列这四个小正方形的公共顶点；再找原阴影中列的中点作为旋转中心．依次将每个白色小正方形作为涂黑候选，将涂黑后的整体图形绕对称中心旋转，判断旋转后的图形是否和原图形完全重合，统计符合条件的候选数量． 【详解】解：如图，再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，可选取小正方形①或选取小正方形②，这样的涂法共2种． 【变式11-2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图．现轮到白方落子，要使得落子后所得的对弈图是中心对称图形，白方落子应在网格的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义，图形绕对称中心旋转后能与自身重合，观察图形中黑子的分布确定对称中心，再根据已有白子的位置找出缺失的对称点． 【详解】解：图中4个黑子构成一个正方形，且关于网格中心对称， 该对弈图的对称中心为网格的中心点， 左上方的白子与右下方的白子关于网格中心对称， 要使整个图形成为中心对称图形，只需使右上方的白子与落子点关于网格中心对称， 观察图形可知，白方落子应在C点． 【变式11-3】（25-26八年级下·湖南株洲·期末）作图：请在由边长为1的小正六边形组成的网格中按要求画出图形，要求点在所画图形内部，且所有顶点均在格点上． (1)在图①中以为边画一个非中心对称的轴对称图形； (2)在图②中以为边画一个非轴对称的中心对称图形． 【答案】(1)如图四边形为所求图形， 则四边形即为所求； (2)如图四边形为所求图形， 【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接 ，画出等腰梯形，即为所求； （2）把向右平移得到线段，有，则可画出平行四边形，即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【创新思辨】 【题型12 旋转中的规律性问题】 【例12】（25-26七年级下·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点 C落在点的位置，第2次滚动使点D落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2026次滚动后，顶点 A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举几次滚动后的点A的坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2026次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 第5次滚动点的坐标为， …， 每滚动4次一个循环， ∵， ∴， 即第2026次滚动后，顶点 A的坐标是． 【变式12-1】（25-26七年级下·陕西西安·自主招生）小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转变换，熟练掌握图形旋转的知识是解题的关键，根据题意找到图形旋转后变换的规律即可求解． 【详解】解：由题意得图形每按一次旋转键，图形就会逆时针旋转， 那么连续按4次旋转键后，图形会旋转， 即旋转一周后图形会回到原来的位置， 由此可知，该图形的旋转是以4次为一个循环周期， ， 则第15次逆时针旋转变为： 故选：D． 【变式12-2】如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转规律探究，仔细观察图形的变化，找到图形旋转的规律，每四次旋转一周，利用规律求解即可． 【详解】解：观察图形发现：每四次旋转一周， ∵， ∴第次旋转后和开始时一样， 故选：D． 【变式12-3】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，叫做一次变换，据此可得连续3次变换是一个循环，然后根据10被3整除后余数为1，即可确定骰子朝上一面的点数． 【详解】解：根据题意可知， 骰子第一次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， 骰子第二次向右翻滚，上面的点数为6，逆时针旋转前面的点数为2， 骰子第三次向右翻滚，上面的点数为3，逆时针旋转前面的点数为1， 骰子第四次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， ， 以此类推可知连续3次变换是一循环． ． 得到第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5． 故选：C． 【题型13 利用旋转设计图案】 【例13】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图是由相同的正六边形组成的网格图，每个网格图中有3个小正六边形已涂上阴影，请在余下的空白小正六边形中，分别按要求选取一个涂上阴影． (1)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合； (2)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合． 【答案】(1)画出图形如图所示： (2)画出图形如图所示： 【分析】（1）根据阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合画出图形即可； （2）根据阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合画出图形即可． 【详解】（1）略； （2）略． 【变式13-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）请设计一个旋转后能与自身重合的旋转对称图形，且该图形不是轴对称图形． 【答案】解：以点O为中心，将绕点逆时针旋转，旋转次与原图形重合，则整个图形符合题意（不含字母），如图： 【分析】根据旋转对称图形的定义，轴对称图形的定义进行设计即可. 【详解】略 【变式13-2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作； （1）将原图形绕点O逆时针旋转90°； （2）发挥你的想象，进一步设计图案，让图案变得更加美丽． 【答案】 （1）可画出旋转后的图形，如图1粗实线所示： （2）由（1）中图形可知，当组成的图形为中心对称图形时，图案会更加美丽， 可再将原图形绕点O逆时针旋转180°，然后将原图形绕点O顺时针旋转90°， 如图2所示． 【分析】（1）由将原图形绕点O逆时针旋转90°可得旋转后的图形的边与原图形对应的边垂直且相等，故可画出旋转后的图形； （2）当组成的图形为中心对称图形时，图案会更加美丽，由此可补全图形，即可得到更加完美的图形． 【详解】解：（1）∵将原图绕点O逆时针旋转90°， ∴旋转后的图形的边与原图形对应的边垂直且相等． （2）略 【点睛】本题考查了旋转作图和利用旋转设计图案，解题的关键是要充分利用图形的特点和网格． 【变式13-3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）阅读材料： 课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线划分成两部分(分别用阴影和空白表示)，使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法． 约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同． 小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图①、图②、图③所示． 小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形(图③)逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法(图①)是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．” 老师说：“小方说得对．” 完成下列问题： (1)图④的划分方法是否正确？ (2)判断图⑤的划分方法与图②小易的划分方法是否相同，并说明你的理由． (3)请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图⑥中画出来． 【答案】(1) 不正确; (2)相同，理由：因为将图⑤沿直线翻折、旋转后得到的划分方法与图②的划分方法相同； （3）如图： 【分析】（1）根据约定“如果划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么划分方法相同”直接判断即可； （2）将图⑤沿直线翻折、旋转后得到的划分方法与图②的划分方法相同即可判断； （3）利用正方形的对称轴和中心结合正方形的面积即可解决问题．. 【详解】解：（1）根据题意可得：图④的划分方法不正确； （2）略 （3）略 【点睛】此题考查了作图—应用与设计作图，应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合几何图形的性质和基本作图的方法作图. 【题型14 旋转与最值问题】 【例14】（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、)，取的中点，连接，则线段的最大值为____________． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及线段最值问题，解题关键是确定点的运动轨迹，利用“点圆位置关系”求最值． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， 由勾股定理得． 绕点顺时针旋转得到， ， ，． 是的中点， ． 由题意，点在以为圆心、为半径的圆上运动， 根据线段的最值性质，(当且仅当、、三点共线且在延长线上时取等号)， 的最大值为． 故答案为：． 【变式14-1】（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 【变式14-2】（2025·安徽池州·二模）已知：如图1，中，，．点是边上一点且，点是边上的动点，线段绕点逆时针旋转至，连接，． （1）如图2，当点与点重合时，线段________． （2）点运动过程中，线段的最小值是________． 【答案】 / 【分析】（1）由直角三角形的性质可求，的长，即可求解； （2）先确定点在过点且垂直的直线上运动，由矩形的性质可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转至，点与点重合， ∴，， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点作于，过点作，交于，连接， ∵，，， ∴，   ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在过点且垂直的直线上运动， ∴当时，有最小值，   ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴线段的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键． 【变式14-3】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，平行四边形ABCD中，，．，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则的最小值是（      ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明∠GNB=60°，点G的运动轨迹是射线NG，由 “SAS”可证△EGN≅△BGN，可得GB=GE，推出，求出EC即可解决问题． 【详解】解：如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=BD， ∵AE=2DE， ∴AE=4，DE=2， ∵点N是AB的中点， ∴AN=NB=4， ∴AE=AN， ∵∠A=60°， ∴△AEN是等边三角形， ∴∠AEN=∠FEG=60°， ∴∠AEF=∠NEG， ∵EA=EN，EF=EG， ∴△AEF≅△NEG（SAS)， ∴∠ENG=∠A=60°， ∴∠ANE=60°， ∴∠GNB=180°-60°-60°=60°， ∴点G的运动轨迹是射线NG， ∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG， ∴△EGN≅△BGN（SAS)， ∴GB=GE， ∴GB+GC=GE+GC≥EC， 在Rt△DEH中， ∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°， ∴DH==1，EH=， 在Rt△ECH中，EC=， ∴GB+GC≥， ∴GB+GC的最小值为 故选：A． 【点睛】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 【题型15 旋转变换与面积综合问题】 【例15】如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形斜边中线的性质构造全等三角形，证明旋转过程中重叠部分面积为定值，和旋转角度无关． 【详解】解：如图，连接， ，，点是的中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式15-1】（25-26·浙江湖州·一模）如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质和矩形的性质结合勾股定理求出的长，再运用四边形、是平行四边形进行转换求出面积即可解答； 【详解】解：∵矩形绕点旋转得到矩形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形,，， ∴四边形是平行四边形， ， ∴阴影部分的面积， 故选：A 【点睛】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的判定和性质等知识点，解答时需注意阴影部分面积的转换是解答该题的重要技巧，解题的关键是熟练运用这些知识点． 【变式15-2】（2025·湖北鄂州·二模）如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为________．    【答案】 【分析】将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F，首先证明出是等边三角形，然后设，则，得到，根据求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F，    ∴，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴解得（负值舍去）， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转综合题，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式15-3】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【详解】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $