安徽省萧县中学2026-2027学年高三年级第一学期期中考试数学试题

高三数学答案和解析 1.D2.B3.B4.A5.A6.B 7.c 【解答】 解：在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA, 且△ABC的面积为S=besinA, 由2S=a2-(b-c)2,得bcsinA=2bc-2 bccosA, 化简得sinA+2cosA=2, 又A∈(0，)，sim2A+cos2A=1, 所以sinA+2V1-sin2A=2, 化简得5sin2A-4sinA=0, 解得sin4-青，或sinA=0(不合题意，舍去)，可得cosA=V1-sim2A-号 所以-2-9-oC24s=c+号 C sinc sinc 由B+C=π-A,且B∈(0，)，π-A∈(，)，则C∈(-A,), 所以tamC>tam(经-)=A=是所以c∈(0，)， 所以e(,), 设t=2其中te(层，)， 所以y=2+2=2-2t+≥22， bc t 当且仅当2t=时，即t=号时，取最小值2√2. 由于<号<且两数f0=2+片在(1上单调递减，在号，)上单调递增。 又f()=2×+3-铝f(3)=2×号+- 所wy-22t起-2+-2E+片V,器) bc t 故选C 8.A 第1页，共8页 【解析】解：因为fb)=m+f(a, 所以品-入 设g(x)=lnx, 此时b-fQ-地f8=元， Inb-lna g(b)-g(a) 由柯西中值定理可知，那么在(a,b)内至少有一点c,满足0-fg=成立， g(b)-g(a)g'c) 因为f国=兰s6的=nx 所以'网-2a6-2子，g'国-号 (e92 2x-x2 令F()== g(x -2 ex 可得F'()=--,函数定义域为0，+0)， ex 当0<x<1时，F'(x)>0,F(x)单调递增： 当1<x<4时，F′(x)<0,F(x)单调递减： 当x>4时，F′x)>0,F(x)单调递增， 又F(1)=,F(4=32,F0)=0, 当x→+o时，F(x)→0， 所以F)E[], 则实数的取值范围为[-器， 故选：A. 9.【答案】ABD 10.【答案】ACD 【解析】由题意知，函数f(x)= (sinx,sinx<cosx,作出图象如图所示，最小正周期为2r. (cosx,sinx cosx, 2 2T OT T 5m 3m 9π5元x 42 第2页，共8页 当2km+异≤x≤2km+华keZ时，f)=c0sx, 当2kr+g<x≤2kπ+平keZ时，f=sinx, 所以fx)图象的对称轴方程为x=牙+km,k∈Z. 当x=21m+或x=2km+3,kEZ时，f取得最小值-1. 当且仅当2km<x<号+2km,kEZ时，f)>0, 且f)的最大值为f(得+2km)）-号可得0<f)≤号 故正确的选项是A、C、D. 11.【答案】BC 【解答】 解：函数f(x)=x2+2x≥0)，g(x)=aex(a>0) 对于A,方程f(x)-g(x)=0台h(x)=x2+2-ae-x=0在[0,1]上有解， 显然函数h凶)0上单调通蹭，则有h①-3-e0解得2≤as32, 因此关于x的方程f(x)-g(x)=0在[0,1]上无解，则0<a<2或a>3e,A错误； 对于B,设点Q(t,ae-t),依题意，点Q关于直线y=x对称点(aet,t)在函数f(x)=x2+2的图象上， 即关于t的方程t=a2e-2t+2有解，即a2=(t-2)e2t有解， 此时t>2,令函数p(t)=(t-2)e2t,t>2, p'(t)=(2t-3)e2t>0,即函数p(t)在(2，+o)上单调递增，p(t)>p(2)=0, 而函数y=t-2,y=e2t在(2，+∞)上都单调递增，它们的取值集合分别为(0，+o),(e4,+∞)， 因此函数p(t)的值域为(0，+o∞)，又a2>0,于是a2=(t-2)e2t在(2，+o)有解， 所以存在P,Q关于直线y=x对称，B正确； 对于C,设点P(u,u2+2),u≥0，则点P关于y轴对称点(-u,u2+2)在函数g(x)=aex(a>0)的图象 上， 即ae=2+2台a-2,令F=, 22,u≥0，F6四=-2+2-2=--2+<0， eu eu 即函数F(u)在[0，+o)上单调递减，F(u)max=F(0)=2,又u∈[0，+o),恒有F(0)>0,因此0<a≤2， C正确； 第3页，共8页 对于D,令Px1,x+2),Q(x2,aex2),由LP0Q=90得0p.00=x1x2+aex2(x+2)=0, 显然xx0,为>0，为<0，a=2号令G)=点x>0,G)=长号 当0<x<1时G'(x)>0,函数G(x)单调递增，当x>1时，G′(x)<0,函数G(x)单调递减， 因此G()mx=G()=日即有0<c()≤台0<号≤台 1 而0<22当组仅当1Y2时取等号.所以0社贵即0aD 错误. 故选：BC 12.【答案】6 13.【答案】4V3 【解答】 解：由已知∠PAB=180°-120°-45°=15°，所以∠PAC=45°-15°=30°. 在△PAC中，∠PCA=180°-120°-30°=30°，故PC=PA=4. 在·PAB中，由正孩定理品0得P8- PA sin45° 而sin15°=sin(45°-30)=2×3_2×是-V6- 2 2-2×21 4 ,sin45°- 2 故PB= 4xV6- 二=2V3-2, 2 在△PBC中，利用余弦定理BC2=PB2+PC2-2PB·PCc0s120°=(2W3-2)2+42-2×(2V3-2)×4× ()=24,即8C=2√6， 在△ABC中，利用正弦定理2R=C=25=4W5, sin45= v2 故△ABC的外接圆直径长为4V3. 故答案为4W3, 14.【答案】(-∞，2] 【解析】解：由函数f()=ax2+的图象经过点(-1,0)，得a-b=0, 由f(1)=2,得a+b=2,解得a=b=1, 所以函数fx)的解析式为f()=x2+ 第4页，共8页 xe(0,+o),不等式f)+f)-2m≥0分2m≤x+++x恒成立， 令函数g)=2+片+克+x=《+中+x+是2， 而当x>0时，x+是≥2，当且仅当x=1时取等号， 令x+2=t22, 则y=t2+t-2在[2，+oo)单调递增， 当t=2时取得最小值， 所以g(x)≥22+2-2=4，当且仅当x=1时取等号，则2m≤4，解得m≤2， 所以实数m的取值范围是m≤2. 故答案为：(-∞，2] 15.【答案】解：（四若a=1,则f6=x+-1,f')=支是，故f)=1,f'(①=-1， 所以曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0: (2)x∈(0，+o),f(x)≥0恒成立，即x∈(0，+o),f(x)min≥0， f'=员=经， 当0<x<2时，f′(x)<0,当x>2时，f′(x)>0, 所以函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 所以f(x)min=f(2)=n2+1-a, 所以n2+1-a≥0， 所以a≤ln2+1. 所以实数a的取值范围是(-o∞，ln2+1]. 16.【答案】解：(1)因为sin2A-sin2B=sin2C-√3 sinBsinC, 由正弦定理得a2-b2=c2-V3bc, 所以cosA=+c2-号所以A-看 2bc 又因为2cosB=sinC, 即2cosB=sin(G+B), 所以tanB=√3， 第5页，共8页 所以B=3所以C=2 所以△ABC是直角三角形. (2)设BC=Q,则AB=2a,AC=V3a,AD=子a, 在△ADC中，CD2=AC2+AD2-2AC·ADcosA, 即4=3a2+号a2-2a2,解得d2=治 所以SaAc-有Ac,ADsn若-誓&2-6 13 17.【答案】解：（由题意得7-哥-2，“w>0,w=1,“)-sin6c+) f()=sin(+p)=1,平+0=7+2km,kez,9=-4+2km, -2<9<7p=-晕“f=simc-罩， 由-+2km≤x-年≤7+2km得-子+2m≤x≤3+2km,kez, f的单调递增区间为[-年+2k元，+2km,k∈乙. (2)由题意得g(o)=fx+军)=sinx,9(写-x)=sin(3-), y=g0e)g(f-)=sinxsin(f-刘-号sinxcos-方8in2x-n2x+cos2x-名sn(2x+g-子 y=9)g(后-x)的值域为[-是 18.【答案】(1)解：依题意，因为2BP=PC,所以AP-A丽+BP-A丽+BC-A丽+（⑧A+AC) =子AB+AC,因为0是线段AP的中点，所以A0=AP=号A丽+若AC.设A丽=xA0,则有A0=A0+ 名C,因为Q,0,C三点共线，所以+1，解得x=景即AQ-号4B,所以QB-号AB,所以铝-号由 4AB.AC=15A0.QC,4AB.AC =15×3AP.(QA+AG)=15×2(AB+B可·（后BA+AC)）=15×2(AB+3BC) (号AB+AcC)=15×A店+号⑧函+A(是AB+A)=15×(GAB+号AC)(-AB+AC)=- 2A丽2+5丽.4C-4A丽.4C+AC2,所以2A-4AC,故s=2 第6页，共8页 (2)(i)证明：根据题意AB=A正+EB=A正+A正=(1+)A正，同理可得AC=(1+四AF,由(1)可知， A0=P=A店+名AC,所以A0=牛A正+ 3 派因为E,0,F三点共线，所以+=1，化简得21+u=3,即2+为定值，且定值为 6 6 3. (甸解：根据题意S1=方AE·AFsin-BAC,S2=方AB·ACsin-BAC=-1+)AE, AE-AFsinLBAC (1+u)AFsinBAC, 32+4BL+)AFSin2BAc年0a 由（①）可知21+u=3, 1 则u=3-21, 所a32242t4民2g其中ze0引当A.有最小 值，此时号-号 19.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=xe2x,f′(x)=(2x+1)e2x, 当xE(-o,-)时，f'(y<0,f)单调递减， 当xE(-,+∞)时，f'()>0,fy单调递增， 所以fx)的单调递增区间为(-2，+∞)，单调递减区间为(-∞，-)： (2)f'(x)=(ex-a)(2xex+ex-a),g(x)=2xex+ex-a,g'(x)=2xex+ex=(2x+3)ex, 当x∈(-∞，-)时，9'()<0,9)单调递减， 当xE(-3+∞)时，9'()>0，g()单调递增， 当x=-时，9()取得极小值g(-)=-2e立-a. (①)所以当a≤-2e2时，g()≥0，e-a>0,所以f'(x)>0,f(x)单调递增，符合题意： 间当-2号<a≤0时，y=e-Q>0,又g)存在两个零点，即存在区间使得g的<0所以f'似≥0 不恒成立，不合题意 (i0当a>0时，若f')≥0，因为y=e-a的零点为x=ma,且g(-3)=-2e号-a<0, 则g(x)与y=e*-a有唯一相同零点且零点两侧函数值符号相同， 所以g(lna=2ana=0,解得a=1, 此时，当x>0时2xex+ex-1>ex-1>0: 当x<0时2xe+e-1<ex-1<0,则f′(x)≥0， 第7页，共8页 所以综上a的取值范围为(-o,-2e习U1: (3)证明：当0<a<1时，g(-)=-a<0,g(0)>0, 设x1为g()的零点，则-子<x1<0,因为g(ma)=2alna<0,所以x1>ln, 所以当x∈(-∞，lna)时，y=e-a<0,g(x)<0,所以f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈(lna,x1)时，y=ex-a>0,g(x)<0,所以f'(x)<0,f(x)单调递减， 当xE(x1,+∞)时，y=ex-a>0g(x)>0,所以f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以x1=x0,且2 Xoexo+e0-a=0,即e0-a=-2xoex0, 所以fx0)=(exo-a)2x0=(-2x0e*o)2x0=4x3e2x0, 设(y=4x3e2x(-2<x<0), 则h'(x)=4(2x+3)x2e2x>0,h(x)单调递增， 所以ho<h0)=0,h()>h(-)=-22 所以-<fxo)<0. 第8页，共8页高三年级第一学期期中考试 数学试题 分值：150分 时间：120分钟 命题：陈永 审核：张言贵 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.设全集U=R,集合A={x0<x<2],B=〔xx<1),则图中阴影部分表示的集合为() A(xx≥1) B.(xx≤1) C.{[x|0<x≤1 D.{x|1≤x<2) 2.若复数2=号 则z=() Ai+3 B.I-3 C.-3-i D.3-i 3.若1a=1,lb1=√2，且(a-b)1a,则a和的夹角是() A30 B.45 C.60 D.135° 4.设p:“x∈R,x2-mx+1>0”,q:“-2≤m≤2”，则p是q成立的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知函数的定义域为(-3，则函数g网=兴学的定义域为() A(,3) B.(4) C.(5) D.(G,6) 6.已知函数f)=sin(ωx+p)(w>0,0<pl<)的最小正周期为π，且其图象关于点（日，0）中心对 称，则下列结论正确的是() Af(1)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(2)<f(1) C.f(2)<f(0)<f(1) D.f(2)<f(1)≤f(0) 7.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，且2S=a2-(b-c), 则22+二的取值范围为() bc A(是) B.2V8) C2W8) D.[2V2,+∞) 8.定理：如果函数f(x)及g(x)满足：①图像在闭区间[a,b]上连续不断：②在开区间(a,b)内可导：③ 对vx∈(a,b),g'(x)≠0，那么在(ab)内至少存在一点c,满足@=I积成立，该定理称为 g(b)-g(a)g(c)" 柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知f(x)=xex,若存在正数a,b(a<b),满足f(b)= n:+f(a@),则实数的取值范围是() A【程引 B【8 c【引 D.【引 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列结论正确的是() A若x<0,则x+的最大值为-2 B.若a>0,b>0,则ab≤(2 C.若a>0,b>0,a+4b=1,则片+的最大值为9 D.若xe(O,),则x(1-4x)的最大值是品 10.对a,bER,定义mina创=侣，&若函数f=mim(si血戈cos对，则下列四个结论中正确 的有() Af(x)是以2π为周期的函数 B.当且仅当x=2m+(kE)时，f)取得最小值-1 C.f(x)图象的对称轴为直线x=牙+kπ(k∈Z) D.当且仅当2kr<x<号+2kmke)时，0<f)s号 11.已知函数f(x)=x2+2(x≥0)，g(x)=ae-*(a>0),点P,Q分别在函数y=f(x)和y=g(x)的 图象上，0为坐标原点，则下列命题正确的是() A若关于x的方程f(x)-g(x)=0在[0,1]上无解，则a>3e B.存在P,Q关于直线y=x对称 C.若存在P,Q关于y轴对称，则0<a≤2 D.若存在P,Q满足∠P00=90,则0<a≤ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知实数a,b,c满足9=240=c且片+号=3，则c= 13.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名对·ABC而言，若其内部的 点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则称P为△ABC的费马点在·ABC中，已知LBAC=45°，设 P为△ABC的费马点，且满足∠PBA=45°，PA=4.则ABC的外接圆直径长为一， 14.三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数fx)=ax2+(其中a>0,b>0)的图象恰如其 形，因而得名三叉戟函数已知三叉戟函数f()=ax2+的图象经过点(-1,0)，且满足f(1)=2.若 x∈(0，+∞)，都有f(x)+f月-2m≥0恒成立，则实数m的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知函数f()=lx+是-a. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程： (2)若xE(0,+∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 16.(本小题15分) 已知在△ABC中，sin2A-sin2B=sin2C-V3 sinBsinC,2cosB=sinC (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若点D在AB边上，且BD=2AD.若CD=2,求△ACD的面积. 17.(本小题15分) 已知函数f因=si血(x+p)(ω>0，-7<p<)的周期为2m,且f(2)=1. 勺部的 (1)求∫(x)的单调递增区间； 5°，设 (2)将函数f幻)的图象向左平移个单位长度得到函数g()的图象，求y=()·g(-)的值域。 合如其 :2.若 18.(本小题17分) 在△ABC中，P在线段BC上，满足2BP=P乙，O是线段AP的中点. A A E B B ① ② (延长c0交AB于点Q(如图@，若4丽.AC=15A0.QC,求的值； (2)过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F(如图②，设EE=A正，F元=A下 ①求证：2λ+μ为定值： (设△AEF的面积为S1,△ABC的面积为S2,求的最小值 -S1 19.(本小题17分) 设函数f(x)=x(e-a)2. (1)当a=0时，求f(x)的单调区间： (2)若f(x)是增函数，求a的取值范围： (3)当0<a<1时，设x为f冈的极小值点，证明：-元<f。)<0.