精品解析：安徽省2026届高三名校名师测评卷（三）数学试题

2026届名校名师测评卷（三） 数学 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 集合的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2. 若，则的最小值是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 3. 在中，点在边上，且满足 ，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面上的三个单位向量，，，满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象过点（0，1），且在区间上有三个极值点，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，，对，且，有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，满足 时，恒成立，则时的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. D. 10. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， ，，则（ ） A. B. 为锐角三角形 C. 的面积为 D. 外接圆的面积为 11. 已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数与函数的图象在处有相同的切线，则_____. 13. 已知等差数列的前 项和，则“是递减数列”是“”的_____.注：从“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件”中选择一个填写. 14. 已知函数，，当取得最小值时，的值是_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角 所对的边分别为，已知. （1）求内角的大小； （2）若 ，求面积的最大值. 16. 已知函数是二次函数，其函数图象过点，且在 轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为. （1）求函数的解析式； （2）若函数满足，且在区间上的值域为，求m、n的值. 17. 记的内角 的对边分别为．已知 ，点在边上，． （1）证明： ； （2）若，求 ． 18. 习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第 次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型（，）给出，其中 是指改良工艺的次数. （1）试求改良后的函数模型； （2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？（参考数据：取 ） 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若 ，且 ，证明：恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届名校名师测评卷（三） 数学 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 集合的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性求解出不等式解集，则中元素可确定，则子集个数可确定. 【详解】因为，若，则， ∴，，又∵，∴， 所以该集合的子集的个数为 . 故选：B. 2. 若，则的最小值是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式作出函数图象，由图象求解. 【详解】由， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 作出的图象如图所示， 即在上单调递减，上单调递增， 所以当时，取最小值，即. 故选：A. 3. 在中，点在边上，且满足 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算求解即可． 【详解】由 可得， 所以. 故选：C. 4. 已知平面上的三个单位向量，，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题干条件转化为，结合单位向量的模长进行平方运算，计算可得结果. 【详解】由题意可知：，平方得：， 又，，是单位向量，则，故. 故选：C. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知等式平方后再结合同角的三角函数和二倍角的余弦公式化简计算即可； 【详解】由 两边平方得， 所以， 所以 所以． 故选：A． 6. 已知函数的图象过点（0，1），且在区间上有三个极值点，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过已知条件求出 的值，再根据在区间上有三个极值点进行分析即可. 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 又，∴，； ，令导数为，得， 解得， 又，即，整理得， 又在区间上有三个极值点，需要存在三个不同的整数满足上述不等式， 当，，对应； 当 ，，对应； 当，，对应； 当 ，，对应，此时，不在区间内， 故当 对应的极值点恰好位于时，， 故选：D. 7. 已知是定义在上的奇函数，，对，且，有，则关于 的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件判断出在上的单调性，然后根据奇偶性以及判断出在各段上的取值正负，据此可求解出不等式解集. 【详解】对，且，有， 所以函数在上单调递增. 因为是定义在上的奇函数，，且， 所以当时，，当时，， 由奇函数性质可知，当时，，当时，， 若，则或， 则或，解得. 故选：B. 8. 已知，满足 时，恒成立，则 时的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据 时的单调性确定其存在唯一负零点，结合条件得出，根据零点得出两个变量的等量关系，消元构造新函数求导研究其单调性与最值即可. 【详解】当 时，令，显然是上的增函数， 且时，，时，， 故存在使得， 当时，，当时， ； 令，解得， 当时，，当时，； 要使得 时，恒成立，则， 可得，即， 则， 令，，则， 当， ；当， ； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则最小值为，所以的最小值为. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象求出函数解析式判断D，由解析式及诱导公式，利用奇偶性的定义判断AB，再由诱导公式及余弦函数的单调性判断C. 【详解】由函数的部分图象可得， 可得，又函数图象过点，可得，解得， 令，可得，所以，故D正确； 由是奇函数，故A正确； 由是偶函数，故B正确； 由， 所以， 因为函数 ，在上单调递减， 所以，所以，故C错误． 故选：ABD 10. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， ，，则（ ） A. B. 为锐角三角形 C. 的面积为 D. 外接圆的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对AB，利用余弦定理求解判断；对C，由三角形面积公式计算判断；对D，由正弦定理求出外接圆的半径得解. 【详解】对于A，由余弦定理知，因为 ，所以，故A正确； 对于B，由余弦定理知，所以，为钝角三角形，故B错误； 对于C，的面积，故C正确； 对于D，因为，所以外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的范围求出的值域，由存在性求出所满足的范围，结合正弦函数单调性代入选项逐一求最值可得结果. 【详解】∵，∴，∴， ∵对任意的，都存在，使得成立， ∴，， ∵，∴，， 在上单调递减，在上单调递增. 当时，，，，故A正确； 当时，，，故B错误； 当时，，，，故C正确； 当时，，，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数与函数的图象在处有相同的切线，则_____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意结合导数的几何意义计算即可. 【详解】因为，，则，， 若函数与函数的图象在处有相同的切线， 且，则，即 . 故答案为：1. 13. 已知等差数列的前 项和，则“是递减数列”是“”的_____.注：从“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件”中选择一个填写. 【答案】充分不必要条件 【解析】 【分析】利用充分条件的定义，结合等差数列的求和公式和递减数列的特征可得答案. 【详解】①当是递减数列，则对，，， 当时，，当时，，，所以对，，则充分性成立； ②当等差数列为常数列时，，满足，但是此时“不是递减数列”，故必要性不成立；则“是递减数列”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件. 14. 已知函数，，当取得最小值时， 的值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】构造齐次分式，通过“弦化切”统一变量，从而可求函数最小值以及 的值. 【详解】，由，则得 . ∵，则，令，则原函数即为，. 方法一：，令 ，即，则， 当时， ，在上单调递减， 当时， ，在上单调递增， 则时，，此时，由得. 方法二：，，则有 ， 当且仅当，即时取等号，此时，由得. 故答案为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角 所对的边分别为，已知. （1）求内角的大小； （2）若 ，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再利用辅助角公式化简，结合特殊角即可求出角A； （2）法一：结合余弦定理以及基本不等式即可求出最值；法二：根据正弦定理边化角，利用三角函数求最值，注意定义域. 【小问1详解】 由正弦定理有， 因为，所以 ， 故，即，即， 因为，所以， 所以，即. 【小问2详解】 法一：因为 ，即， 因为， 所以，即（当且仅当时取等）， 故（当且仅当时取等）， 所以当时，△ABC面积S有最大值，最大值为. 法二：由正弦定理有， 即，， 因为，所以， 当，即时，有最大值，最大值为1， . 16. 已知函数是二次函数，其函数图象过点，且在轴上的截距为1，在 轴上截得的线段长为. （1）求函数的解析式； （2）若函数满足，且在区间上的值域为，求m、n的值. 【答案】（1）或； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法设出方程，根据条件列出等量关系，求解系数即可； （2）根据对称轴和区间的位置关系，分情况讨论，得出方程组，求解可得答案. 【小问1详解】 设函数，又函数在y轴上的截距为1， 则，函数图象过点，所以， 设的两根为，，由在 轴上截得的线段长为得： ，所以， 将代入解得：或， 所以或； 【小问2详解】 因为函数满足，所以， 当时，在区间上单调递增， 所以，，即， 所以m、n是方程的两个不同实根，而方程的两根异号，不合题意； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，且， 由，得， 于是，而， 所以，即，所以，解得， 此时，，， 当时，在区间上单调递减，所以，， 即，此方程组无实数解， 综上，，. 17. 记的内角 的对边分别为．已知 ，点 在边上，． （1）证明： ； （2）若，求 ． 【答案】（1）在中，①， ②， 联立①②得，即， ，． （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及已知条件即可证明； （2）根据平面向量线性运算，数量积运算律及余弦定理得出或，再根据余弦定理分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，则， 又， ， 化简得：，又，即或， 若时，， 则， 若，则（舍）． 综上：． 【点睛】 18. 习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第 次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型（，）给出，其中 是指改良工艺的次数. （1）试求改良后的函数模型； （2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？（参考数据：取 ） 【答案】（1）（） （2）6次 【解析】 【分析】（1）由题意得，，当时，求得，得到的表达式. （2）由结合对数运算求得即可. 【小问1详解】 由题意得，，所以当时，， 即，解得， 所以（）， 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为（）. 【小问2详解】 由题意可得，整理得 两边同时取常用对数，得，整理得， 将 代入，可得，所以， 又因为，所以， 综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若 ，且 ，证明：恒成立. 【答案】（1） （2）的单调递增区间为，单调递减区间为和； （3）证明如下： 由 知 ， 因为，所以， 所以， 设， ，所以. 设， ，所以 得 ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 当时， ，又 ， 由函数零点存性定理知，有一个零点，且大于0， 由 且 知是的零点， 当时， ， 故，即， 所以当 且 时，恒成立. 【解析】 【分析】（1）由题可得，即得 ，从而可求解； （2）求出 与 的解，从而可求解单调区间； （3）要证，即证，即证，再设， ，再结合导数可求得，从而可求解. 【小问1详解】 因为，函数定义域为， 可得，此时 ，又 ， 所以曲线在处的切线方程： ； 【小问2详解】 由（1）知，当时，； 当 或 时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $