精品解析：山东省济宁市任城区济宁学院附中等校 2026-2027学年七年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年第一学期期中考试 初二数学试题 第Ⅰ卷 （选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A图形中三角形和三角形内部图案的对称轴不一致，所以不是轴对称图形，不符合题意； B为轴对称图形，对称轴为过长方形两宽中点的直线，符合题意； C外圈的正方形是轴对称图形，但是内部图案不是轴对称图形，所以也不是轴对称图形，不符合题意； D图形中圆内的两个箭头不是轴对称图象，而是中心对称图形，所以也不是轴对称图形，不符合题意， 故选B． 2. 下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，解题的关键是求出三角形中有一个角是． 根据三角形的内角和定理，结合有一个角是的三角形时是直角三角形，进行判断即可． 【详解】解：三角形内角和为， A、，，故是直角三角形，此选项不符合题意； B、设，则，， ，无角，故不是直角三角形，此选项符合题意； C、设，则， ， ，故是直角三角形，此选项不符合题意； D、，又， ，即，，故是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高的定义，熟练掌握三角形高的定义是解题的关键； 根据三角形高的定义来判断边上的高即可． 【详解】解：三角形高的定义为：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．   故选：A  ． 4. 小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（ ） A. 两条边相等 B. 一个角为直角 C. 有一个角 D. 两条直角边相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：．两边相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解： 根据题意可知， ， ，， ， 即． 6. 如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用平分线上的点，到角两边的距离相等，直接作答． 【详解】解：过点D作于点J，如图， 即点D到的距离为的长度， ∵， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴点D到的距离为． 7. 工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与点重合， ∴， ∵，， ∴． 8. 如图，在中，点分别是的中点，若的面积是20，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中线平分三角形的面积依次计算即可． 【详解】解：点是的中点， ，， ， 即， 点是的中点， ， ． 9. 如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和等知识点，灵活运用等边对等角成为解题的关键． 由线段垂直平分线的性质得，则，再由三角形内角和定理得，进而完成解答． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．则等于（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理．过F作于D，先证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可． 【详解】解：过F作于D，连接， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 由可得：， ∴， ∵，即，且，， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故选：A． 第Ⅱ卷 （非选择题 共70分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，、．请你添加一个条件________，使得． 【答案】（答案不唯一，如或等）． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定添加条件即可． 【详解】解：， ． ， ，即． 若添加， 在和中， ， ． 若添加， 在和中， ， ． 若添加， 在和中， ， ． 12. 工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱，垂直于横梁．若，，则的长为______m． 【答案】 【解析】 【分析】根据E是斜梁AC的中点求的长，再利用角的直角三角形性质解答． 【详解】解：是斜梁AC的中点， ， ， ， ， ， ． 13. 如图是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接AB，AC，则∠1＋∠2＝________． 【答案】90°##90度 【解析】 【分析】根据题意可得出两个三角形全等，从而可以得出∠1+∠2=90°． 【详解】解：根据题意得：△AEC≌△BDA， ∴∠2=∠CAE， ∴∠1+∠2=90°， 故答案为：90． 【点睛】本题考查了全等图形的知识，解题的关键是根据题意得到全等的三角形，难度不大． 14. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 15. 如图，中，，点D、E分别在边和上．．，则的最小值是______． 【答案】20 【解析】 【分析】设，由勾股定理表示出，然后构造，使得，，将问题转化为三角形的三边关系求解最值即可． 【详解】解：设， ∵．， ， ∵， ， ， 如图，构造，使得，， ∴， 不妨在内取一点，过点作于点，过点作于点，则四边形为长方形，设， 则， ∴，， ∵，即 ∴当点在上时，取得最小值，即为． 三、解答题（共8小题） 16. 已知线段a和，尺规作图： 作一个，使． 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】首先根据作一个角等于已知角的方法作，然后在用圆规在角的一边上截取，再连接即可． 此题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：(1)作， (2)分别在与上截取， 为所求的三角形． 17. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，连接并延长到点D，使．连接并延长到点E使．连接．量出的长就是A、B的距离．为什么？ 【答案】理由： 在和中， ， ， ， ∴量出的长就是A、B的距离． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等解答． 【详解】 略 18. 如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： （1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； （2）涂黑部分成轴对称图形． 图乙与图丙是一种涂法，请在图中分别设计另外三种涂法．（注：在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙） 【答案】 如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了作图轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质作图即可． 【详解】略 19. 如图，，分别是线段，上的点，，，连接，，相交于点． （1）求证：． （2）连接，是等腰三角形吗？证明你的结论． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）解：是等腰三角形．理由如下， 如图，连接， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据“”直接证明即可； （2）先由得到，再由得到，根据角的和差关系即可得到，从而得到，即可得出是等腰三角形． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：是等腰三角形．证明略 20. 如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且． （1）请判断的形状？ （2）求修建的公路的长． 【答案】（1）是直角三角形 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形． （2）利用的面积公式可得，，从而求出的长． 【小问1详解】 解：是直角三角形． ，，， ， ， ， 是直角三角形． 【小问2详解】 解：， ， ． 答：修建的公路的长是． 21. 如图，在中，和的平分线相交于点． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数； （3）若，求的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，最后根据，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，最后根据，即可求解； （3）由（2）可知，，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：和的平分线相交于点， ，， ； 【小问2详解】 解：和的平分线相交于点， ，， ； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ， ， ． 22. 项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为． 设为正整数，且，因为，所以为勾股数，本项目只研究形如的勾股数． 【规律探究】 分别对进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 序号 2 1 1 3 1 2 2 3 4 1 4 2 5 3 6 … … … … 【规律应用】 （1），对应的勾股数是（______），序号为______； （2）序号为15的勾股数是（______）． 【项目拓展】 （3）项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大，他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 【答案】（1）， （2） （3） 猜想不正确． 【解析】 【分析】（1）把 代入式子 、、 算出三个数，再累加前面所有组的数量，算出对应序号 7． （2）先找到序号和 的关系，利用求和公式算出序号 15 对应的 ，再算出组内对应的 ，代入公式求出勾股数 ． （3）举出序号 10、11 这一组例子，序号变大， 从 41 减小到 37，以此说明猜想不成立． 【小问1详解】 解：当 时 ， 对应的勾股数是 ． 前面 有 1 组， 有 2 组， 有 3 组，． 这一组序号为 ． 勾股数为，序号为． 【小问2详解】 解：观察分组规律： 有 1 组， 有 2 组， 有 3 组，， 有 组 前 对应的总组数：． 令 ． 解得 或 （舍去负数）． 序号 15 在 这一组， 这一组内依次 前面 一共有 组． ，所以是 ． 序号为 15 的勾股数是 ． 【小问3详解】 举例：当时． 它的序号：． 当 时． 它的序号：． 序号 10 到 11，序号增大，， 变小． 这个猜想不正确． 23. 如图，在中，，，点D为边上一动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作，射线交边于点E． （1）求证：； （2）试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由； （3）过点A在右侧作，交射线于点F，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1） 证明：由图可知：， ， ； （2） 解：时，理由如下： ， 为等腰三角形，， 又， 在与中： ， ， 此时； （3）的度数为或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形外角性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据，，即可证得； （2）根据，可得，再结合，，可证得，从而求得的长； （3）根据题意画出草图，利用等腰三角形性质证明，得到，根据为等腰三角形，分①当时， ②当时， ③，三种情况讨论，再结合等腰三角形性质以及三角形外角性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，，， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， ， ③， ， 与点D为边上一动点产生矛盾， 故此类型不存在； 综上所述，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中考试 初二数学试题 第Ⅰ卷 （选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 4. 小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（ ） A. 两条边相等 B. 一个角为直角 C. 有一个角 D. 两条直角边相等 5. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，平分交于点D，，，则点D到的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 7. 工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点分别是的中点，若的面积是20，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．则等于（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 第Ⅱ卷 （非选择题 共70分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，、．请你添加一个条件________，使得． 12. 工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱，垂直于横梁．若，，则的长为______m． 13. 如图是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接AB，AC，则∠1＋∠2＝________． 14. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 15. 如图，中，，点D、E分别在边和上．．，则的最小值是______． 三、解答题（共8小题） 16. 已知线段a和，尺规作图： 作一个，使． 17. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，连接并延长到点D，使．连接并延长到点E使．连接．量出的长就是A、B的距离．为什么？ 18. 如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： （1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； （2）涂黑部分成轴对称图形． 图乙与图丙是一种涂法，请在图中分别设计另外三种涂法．（注：在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙） 19. 如图，，分别是线段，上的点，，，连接，，相交于点． （1）求证：． （2）连接，是等腰三角形吗？证明你的结论． 20. 如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且． （1）请判断的形状？ （2）求修建的公路的长． 21. 如图，在中，和的平分线相交于点． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数； （3）若，求的度数． 22. 项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为． 设为正整数，且，因为，所以为勾股数，本项目只研究形如的勾股数． 【规律探究】 分别对进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 序号 2 1 1 3 1 2 2 3 4 1 4 2 5 3 6 … … … … 【规律应用】 （1），对应的勾股数是（______），序号为______； （2）序号为15的勾股数是（______）． 【项目拓展】 （3）项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大，他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 23. 如图，在中，，，点D为边上一动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作，射线交边于点E． （1）求证：； （2）试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由； （3）过点A在右侧作，交射线于点F，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $