精品解析：山东省济宁市任城区2025-2026学年上学期七年级数学期中考试

2025-2026学年度第一学期期中质量检测 初二数学试题 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分） 1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面．在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以D是轴对称图形． 故选：D． 2. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：， ， 折叠凳的宽可能， 故选：A． 3. 下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理．利用勾股理定理的逆定理判定A、B选项，利用三角形内角和定理求出最大角的度数判定C、D选项即可求解. 【详解】解：A、∵，∴，，∴，不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，设，，，，，∴，不是直角三角形，故此选项不符合题意； C、，，最大角，不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，，，，是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D. 4. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，原来已经有两条对应边相等，射线是两个三角形的公共边，故三边分别对应相等，即可证明，得到，据此可得答案． 【详解】在和中 ， ∴， ∴，即是这个角的平分线， 故选A． 5. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可． 【详解】A、，不能判断，选项不符合题意； B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意； C、，不能判断，选项不符合题意； D、，不能判断，选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键． 6. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，四边形和四边形都是正方形，如果，那么等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，先证明得到，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故选：C． 7. 按下列步骤折纸，再将③裁剪成④的形状，最后将④中的纸片打开铺平，则所得图案大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查剪纸问题，学生的动手操作能力；根据轴对称的知识也可得到相应答案．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 【详解】解：严格按照图中的顺序向右对折，向上对折，从正方形的上面那个边剪去一个长方形，左下角剪去一个正方形，展开后实际是从大的正方形的中心处剪去一个较小的正方形，从相对的两条边上各剪去两个小正方形得到结论． 可得图形：， 故选：B． 8. 如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是的长方体的顶点爬到顶点，则它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 要求所用蚂蚁走的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图，， 故它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为， 故选：C． 9. 如图，在中，过点作于点，过点作于点，与交于点，且．已知，，则的长为（　　） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明得到，再根据，，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：B． 10. 如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动，连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为（ ） A. 2或4 B. 2或 C. 2或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】设t秒后，与全等，表示出相应边长，再分，两种情况，根据对应边相等列出方程，解之即可． 【详解】解：设t秒后，与全等， 由题意可得：，，，， ∵与全等，， ∴当时，，， ∴，， ∴，； 当时，，， ∴，， ∴，； ∴a的值为2或， 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形综合问题，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解． 二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡中） 11. 如图，三个正方形按图所示摆放，中间的三角形为直角三角形，正方形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可解答． 【详解】解：图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，中间的三角形为直角三角形， ∴， ∴， ∴以为边长的正方形面积以为边长的正方形面积以为边长的正方形的面积， ∴； 故答案为：． 12. 如图，已知，，，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据全等三角形对应边相等得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键． 13. 如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有二尺（绳索比木柱长2尺），牵着绳索退行，在距木柱底部6尺（）处时绳索用尽，则木柱长为__________尺． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得： ， 则， 解得：， 答：木柱长为尺． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，若，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，证明是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余求出，，进而可得，则，然后根据含30度角的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 15. 如图，中，，垂直平分，交边于点，交的延长线为线段上一动点，为边的中点，则周长的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，得出的长为的最小值是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， 中，，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最小值， 故答案为：． 三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16. 如图，在中，平分交于点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后由垂直的定义可得，最后根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：由条件可知， 平分， ， ， ， ． 17. 如图，在 中，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接、若．求的度数． 【答案】（1） 解：如图，直线即为所求. （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质， 对于（1），分别以点A，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点D，交于点E； 对于（2），根据等腰三角形的性质得再根据线段垂直平分线的性质得，进而得,最后根据得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵垂直平分, ∴， ∴, ∴. 18. 如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：△BAC≌△DAE． 【答案】 证明：∵AC是∠BAE的平分线， ∴∠BAC=∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ∴△BAC≌△DAE（AAS）． 【解析】 【分析】先证明∠BAC=∠DAE，再利用AAS证明两个三角形全等即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 19. 如图，在△ABC中，AB＝BD，∠BAD＝50°，∠C＝30°． (1)求∠BAC的度数； (2)取AD的中点E，连接BE并延长交AC于点F．求证：AB＝BF． 【答案】（1）∠BAC＝70°； （2）证明：∵AB＝BD，E是AD的中点， ∴BE⊥AD， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AFE＝90°﹣∠CAD＝70°， ∴∠AFE＝∠BAC， ∴AB＝BF． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质求出∠BDA＝∠BAD，再由三角形的外角性质得出∠CAD，即可得出∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°； （2）由等腰三角形的性质得出BE⊥AD，求出∠AFE＝90°﹣∠CAD＝70°，得出∠AFE＝∠BAC，即可得出AB＝BF． 【详解】（1）解：∵AB＝BD， ∴∠BDA＝∠BAD＝50°， ∵∠BDA＝∠CAD+∠C， ∴∠CAD＝∠BDA﹣∠C＝20°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°； （2）略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和的性质,解答关键是根据题意利用三角形内角和解决问题. 20. 某校数学课堂的项目式学习课程中，有一个课题是“测量河两岸A，B两点间的距离”，项目组的同学们经过研究，共同设计了如下方案． 课题 测量河两岸A，B两点间的距离 测量工具 测角仪，皮尺等． 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取C、D两点，使A、B、C三点在同一条直线上，且． ②测得，． ③在的延长线上取点E，使． ④测得的长为36米． 求河两岸A，B两点间的距离． 【答案】36米 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，由三角形内角和定理可得，再证明得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ． ， ． 在和中， ， ， ． ， ，即， 河两岸A，B两点间的距离为36米． 21. 如图，在中，，平分，于点E，若，，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和角平分线的性质，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得，再由勾股定理求得的长即可． 【详解】解：平分，，， ，， ， ． 22. 如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，． （1）试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离； （2）若，求工厂C到B市的距离． 【答案】（1） 解：∵，，． 且， ∴， ∴， 根据垂线段最短， ∴长是工厂C到公路的最短距离． （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）设，则，利用勾股定理，建立等式解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 根据勾股定理，得， 解得， 答：工厂C到B市的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 23. 如图，在等边中，点为上一点，． （1）求证：； （2）延长交于，连接，若为的中点，猜想线段，的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， 在和中， ． ； （2） 解：， 理由：为的中点， 为等边中边上的高，平分， ， ， ， ， ， 在中，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证是解题的关键． （1）易证，，即可证明，即可解题； （2）易证为等边中边上的高，根据等边三角形三线合一性质可得，根据，可得，即可求得，根据角所对直角边是斜边一半的性质即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量检测 初二数学试题 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分） 1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面．在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能（　　） A. B. C. D. 3. 下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，四边形和四边形都是正方形，如果，那么等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 7. 按下列步骤折纸，再将③裁剪成④的形状，最后将④中的纸片打开铺平，则所得图案大致是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是的长方体的顶点爬到顶点，则它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，过点作于点，过点作于点，与交于点，且．已知，，则的长为（　　） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 10. 如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动，连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为（ ） A. 2或4 B. 2或 C. 2或 D. 2或 二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡中） 11. 如图，三个正方形按图所示摆放，中间的三角形为直角三角形，正方形的面积为___________． 12. 如图，已知，，，则的长为___________． 13. 如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有二尺（绳索比木柱长2尺），牵着绳索退行，在距木柱底部6尺（）处时绳索用尽，则木柱长为__________尺． 14. 如图，在中，，，若，则_____． 15. 如图，中，，垂直平分，交边于点，交的延长线为线段上一动点，为边的中点，则周长的最小值是___________． 三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16. 如图，在中，平分交于点，若，求的度数． 17. 如图，在 中，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接、若．求的度数． 18. 如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：△BAC≌△DAE． 19. 如图，在△ABC中，AB＝BD，∠BAD＝50°，∠C＝30°． (1)求∠BAC的度数； (2)取AD的中点E，连接BE并延长交AC于点F．求证：AB＝BF． 20. 某校数学课堂的项目式学习课程中，有一个课题是“测量河两岸A，B两点间的距离”，项目组的同学们经过研究，共同设计了如下方案． 课题 测量河两岸A，B两点间的距离 测量工具 测角仪，皮尺等． 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取C、D两点，使A、B、C三点在同一条直线上，且． ②测得，． ③在的延长线上取点E，使． ④测得的长为36米． 求河两岸A，B两点间的距离． 21. 如图，在中，，平分，于点E，若，，求的长． 22. 如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，． （1）试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离； （2）若，求工厂C到B市的距离． 23. 如图，在等边中，点为上一点，． （1）求证：； （2）延长交于，连接，若为的中点，猜想线段，的数量关系，并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $