湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高二上学期第三次阶段性考试数学试题

临澧一中2027届高三第一期第三次阶段性考试数学答案 1.D2.A3.D4.B5.C 6.【答案】C 【解析】己知在直角△ABC中，AB=BC,所以△ABC为等腰直角三角形， 因为PA=2PB=V2PC=4,所以PA=4,PB=2,PC=2V2,将△PAB绕点B顺时针旋转90°，使AB 与BC重合，得到△CBP,连接PP, 由旋转性质知：BP=BP=2,PC=PA=4,△PBP是等腰直角三角形， 因为在△PPC中，PP=PC=22,PC=4,所以△PPC是等腰直角三角形， 所以∠BPC=∠BPp+∠PPC=45°+90°=135°， 在△BPC中，由余弦定理：BC2=BP2+PC2-2BP·PC·cOs∠BPC=22+ D (2W②-2×2×22xcos135”=4+8+0W2× 2 =20 1 1 所以AABc的面积为5二7 X AB X BC7XBC2-号×2010 7.【答案】B 【解析】由-1<cos2<0,可知a=sin(cos2)<0.易知sim2e 构造函数f(t)= t(怎）则f=1+6阳单> t-c 2 3 cos。=0,所以c>b>0.综上，c>b>a,故选B. 6 8.【答案】A 【解析】因为F()=F(白)且F()零点个数为奇数，所以一定有零点x,=1,且xX=1,七，x4=1, 又因为x=x,>0,所以0<x<x2<x3=1<x4<x,不妨设x4=a,则 文ak年a·的果为aao 第1页共10页 集合S= 侵laa}有7个元案 9.【答案】BD 10.【答案】BCD 【解折】闪因为r国-号sm2xs2x=sn(2-)所以7-贺-即)的绿小 周期为π，故A错误： 山o引将2x[,所以x 即在0 上的值域为 [,故B正确：出2x吾-机+受cz,得x经+kez,所以/)图象的对称如 方指为直线x-空受ke2.因为)f,且（若<）.所以 23 名受故C近： 因为w）即2xm26-司手又司后，嘴以 π5π 11.【答案】BCD 【解析】因为f(2+x)+g(1-x)=3,所以f(2-x)+g(1+x)=3,因为直线x=1是函数g(x)图 象的一条对称轴，所以g(1-x)=g(1+x),所以f(2+x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直 线x=2对称，易知f(x)不恒为0，故A错误： 因为g(x)-f(x-1)=5,所以g(x+3)-f(x+2)=5,所以g(x+3)+g(1-x)=8,所以g(x)的 图象关于点(2,4)对称，故B正确： 因为g(x)=f(x-1)+5,所以g(x)与f(x)有相同的周期性，因为g(x+3)+g(1-x)=8, g(1-x)=g(1+x),所以g(x+3)+g(1+x)=8,所以g(x+5)+g(x+3)=8,所以 第2页共10页 g(x+5)=g(x+1),即g(x+4)=g(x),所以4是g(x)的周期，所以4是f(x)的周期，故C 正确； g(1)=2,g(2)=4,g(3)=6,g(4)=4,所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=16,所以 宽g0=5D06x16+g2025)+g2026)=8096+g1+g2)=8102,故D正确 故选BCD 12.【答案】2 13.【答案】 【解新】由0<a<爱<B<,s(a)- √5 √10 cos 2a= 10 则<&-B<0,0<2a<受放n(a-月- 2v5 3v10 sin 2a= 10 sin(a+β)=sin(2ax-(a-β) 3W10.,V5 号<a1月<受所以u+B- 3π 14. 【答案】√阝 B 【解析】由|a+b=1,两边平方得 a+=2++2a.五=1+1+2cos日=2+2cos0=1 其中0为a与6的夹角，解得cos0=弓，0-2受 3 如图建立坐标系，令2=(1,0)，则由夹角0= 得石 2π 单位圆上一点文=(cosa,sinx),到两圆心的距离平方分别为 第3页共10页 -a2 =(cos a-1)2 sin2 a =2-2 cosa, R-邴-(ma)+(ma-罗)=2+ma-gsn 要使单位圆上每一点至少被一个圆覆盖，只需保证单位圆上离两圆心均最远的临界点到两圆心 的距离不超过t. 令两距离相等，即2-2cosa=2+cosa-V3sin, 化简得3cosa=V3sinw,即tana=V3.结合几何位置取a=3 此时 虹-3m如-代入得-a那=22×（分）=3， cos 3=-2 sin 3=-2 取-聊=2+(》-5×(9-+2-3 故该临界点到两圆心的距离均为√3若t<√3，则此点不满足任何一个不等式，与题设矛盾 综上，t的最小值为 3 15. 【答案】() (2) X 0 1 2 P 1 8 2 15 x)-号 【解析】(1)从5架无人机中随机抽取2架共有C=10种等可能的抽法，恰抽到1架甲种无人 机的抽法有CC=6种，所以P(A1)= CgC2_6_3 C号10=5 -5分 第4页共10页 C3.1 3 ②①及随机抽样的等可能性，P(4o）0P4,)- P(A2)= X的所有可能取值为0,1,2. X=2表示抽到的2架都是甲种无人机且都试飞合格”，故 P(X=2)=P(A)× 3×4-2 10915 X=1有两种情形：①恰抽到1架甲种无人机且该机合格（另一架为乙种无人机）；②抽到的 2架都是甲种无人机且恰有1架合格.所以 213.2,3.42.28 P(X=1)=P(A)×3+P(A,)×C×3×3F亏×3+10×g-亏+1515 由对立事件得P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=1-15153 821 所以X的分布列为 0 1 2 1 8 2 P 3 15 15 X的数学期望 0-0容2×8-号-月 2124 8分 16【答案】(1)略(2)元=或g 【解析】(1)取AB中点E,连接DE.因为△ABD是等边三角形，所 以DE⊥AB.又平面ABD⊥平面ABC,平面ABDO平面ABC=AB, DEc平面ABD,所以DE⊥平面ABC.因为BCC平面ABC,所以 DE⊥BC.又BC⊥AD,DE,ADC平面ABD,DE∩AD=D,所以 BC⊥平面ABD.因为ABC平面ABD, 所以BC⊥AB 6分 (2)在等边△ABD中，AB=2,则DE=√5.由(I)知，DE⊥平面ABC,因为CEC平面ABC, 所以DE⊥CE 第5页共10页 在Rt△DCE中，CD=3,则CE=VCD2-DE2=√6 在RtBCE中，BE=4B=l,所以BC=CE2-6E2=V5. 如图，以B为坐标原点，BC,BA为x轴，y轴，以过点B且垂直于 平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系B-z, 则A(0,2,0),B(0,0,0),C(V5,0,0),D(0,13) 设P(x,y,z),则CD=(5,1⑤)，C匣=(x-V5,y,z)=(-V5,1,V3, 所以P5-v5,,N3,即BP=(N5-V5元，，5 设i=(x,y,z)为平面ACD的一个法向量，因为AD=(0,-1,V3AC=(V5,-2,0): =0.符+52=0，取y=5,得=55,5) 由 i.AC=0’V5x-2y=01 记直线BP与平面ACD所成角为0，则sine= 元·B列 3W5 ·B列 8 ]23(5-5)+V151+V15列35 所以 8 42/(5-V5)+12+32 17 整理得2712-301+7=0，解得九=。或。 9分 39 17.【答案】 【解析】(1)解：由椭圆定义，△NF1的周长为MF1+MF|+NF1|+NF|=4aF12, 得3取短轴端点B(0,b),焦点F,(c,0),直线BF:bx+cy-bc=0 原点到该直线距离：d= l-bcl bc b2+c2 =。由题意：号=25， , 所以bc=2W5 第6页共10页 +9解得侣此时离心半e=后手×号 联立 bc=2V5 侣衫时商心幸e==织 =后=学（舍去）得公-5椭圆C的方程为号+号=1…6分 (2)解：若△PMN的内心在x轴上，则x轴平分∠MPN,∴.斜率满足kM+kpw=O 设定点P(t,O)易知，直线MN的斜率不为0 (x =my +2 x2.y2 MN:x=my+2,Mx,y1),N(x2y2) 联立 9+5=1消元整理得： 2+号=1→(5m+9%+30-25=0 20m -25 △=200+4×25(5m2+9)>0恒成立，由韦达定理：y1+y2=-5m2+9y1y2=5m2+9 由+x=+是=0得n(-月+归(0-0 代入x1=y1+2,=y+2整理得：2y1y3+（2-t)y1+y3)=0 -25 所以2m·m0+2-d05m2+9=0化简得：m20r.90 要对任意实数m成立，则20t90=0,解得t=?,存在定点P 符合题意. …9分 18【答案】(1)0A-是②5ac-号 9+5V3 (2) 2 时L)因为ZABC=,，AB⊥BD,则∠DBC=,且( 锐角， 在△BCD中，由正弦定理得 DC BD sin∠DRC-sinc'解得 sinC= DsinDC_号HCe(Q,,可得C-子 DC 2 第7页共10页 则∠A=元-2π九-元 -4分 3412 (ii)因为∠A= 2'AB⊥BD,BD=2, tan 所以tan∠A=tan ππ】 4 6 =3。=2-V5, 46 1+tan tan 4 6 1+1x 3 又因为tan/A= =2-5,可得B=,2 BD AB 2-3=22+3. 且∠BDc=名+经径则sn∠BDC=m =sin cos+ in”=v6+v2 43 4 3 434 在△BCD中，由正弦定理得 BC DC sin∠BDC sin∠DBC BC V2 即，7元=元，所以BC=V3+1, sin 12 sin6 SaAc三5AB:BC~sin/ABC7xW3+1)x22+V③)xY3' 一6分 -2 (2)在△BCD中，由正弦定理得 DC BD 2 sin 1 sin∠DBC sinC' 可得cD= 6 sin C sin C L 在△ABD中，由正弦定理得 AD BD sin∠ABD sinA 可得AD= 2 sinA sinA 212.1 则AD+CD 2+ 1=sinA+sinc. sinA sinC 因为2A8c=径则4+C-后月0<C<子 可得m4+c=m目-小nc= sin C+sin C 2 第8页共10页 2 因为oece则c+）可利mc到停 所以 2+ 的取值范围为 2 -7分 AD CD 19.【答案】 ap(e)=la(e-+e,2)略3)m器4=n(e-)-1+。名e e-1 【解】(=r产-小.1sxs, 9r-n-r-小0-片15e 令p(x)>0,解得1≤x<e-l;令p(x)<0,解得e-1<x≤e;可知函数p.(x)在[l,e-1)内单调 递，在(e-ld]内单调端减，则Q(在x=e-1处取得最大值织(e-)=he-)+。1,所以 D(e)-I(c-1)+g-. 一一4分 @为a=r-()-,1sxr 令f(x)=x-nx-1,x>0,则f()=1-1=-1,当0<x<1时，f()<0:当x>1时， xx f'(x)>0；可知.f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，+o∞)内单调递增， 则f(x)≥f(1)=0,可得x-1≥lnx,当且仅当x=1时，等号成立， 因为r>1:则0<1，可得7->hr,1>h所以"<w<-1,且ar>0,可得 1<1 <r, Inr 第9页共10页 ◆（小0，保行1sx信合小0.解特<xs:可知R([ 内单调递 增，在 r-1 ,r Inr nr-1. 内单调滋藏则9（国在x她科最大童，所以D0)-h, 1,>1,喝 设u= 如1，-w.1划 (-12(- 20）之，0可知h0在.+四内单调递减，则h0<h00,即D <0, (r-1)2 可知u=1r在(L,+∞)内单调递减，又因为0<u<1,且f()=u-nu-1在(0,1)内单调递减，所以 r-1 D(r)在(1，+oo)上严格递增. —6分 (3)令5=上>1，在第i个区间中作代换x=1,则曲线与弦的铅直距离为w-u-,故 5-1 d,=D().又因为 --e,所以至少有一个≥e.由(2)知D()严格递增，因此m8产d= to mxD()≥D(e.当且仅当1=r2==rr=e时等号成立.此时=e(i=0l,,n).故 m咖器4=a(e-)-1+=代一7分 <i<n 第10页共10页临澧一中2027届高三第一期第三次阶段性考试 数学 (命题：苏颜审题：林祖成试卷满分：150分考试时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知命题p:x>0,tan(x-)>0,则p为() A.x≤0，tam(-)s0 B.3x≤0.tam(x-)=0 C.vx0.tan(x-)s0 D.3x>0,tam(-0 2.已知tana=2,则stnr-四+cosa cos(-a) 的值为() 2 A:2 B.3 c (a-3)x+5,x≤1 3.已知函数f(x) 2a 是R上的减函数，那么实数a的取值范围是 x>1 A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2] 4.函数f(x)=x2+cosx-3-lnx2的大致图象为() 第1页共4页 5.已知向量a=(1,1),万=（八，2），若a1(a+,则向量在6上的投影向量为() (29c 1.() 6.在直角△ABC中，AB=BC,P是△ABC内一点，PA=2PB=V2PC=4,则 △ABC的面积为（) A.6 B.8 C.10 D.12 7.已知a=sin(cos2),b=cos(sin2),c=sin2,则() A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.c>a>b 8.已知函数F(=f)+f(日有五个不同的零点，为，9，x4x,其中 x1<x2<x3<x4<x5且x=x5,记集合S={xx1≤i<j≤5，，jEZ},则S的元素 个数为() A.7 B.8 C.9 D.10 二，选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若a,bER,则“a3<b3"的充分不必要条件是() A.a<b B.Vb-a>1 C.a2≤b2 10.已知函数f因=sin2x+V5 sin xcox-2 使得f)-f)-膏则() A.f(x)的最小正周期为2π B.f),习]上的值域为[2] π C.x1+x2=3 D.o(9 11.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(2+x)+g(1-x)=3, g(x)-f(x-1)=5.若直线x=1是g(x)图象的一条对称轴，且g(1)=2,则() A.f(x)的图象关于点(2,0)对称 B.g(x)的图象关于点(2,4)对称 2026 C.4是f(x)的一个周期 D. 〉9(i)=8102 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若1-1 2+mi (mER)是纯虚数，则m= V10 3.已知0<a<7不B<元，若cos(Q-)=,cos2 10 则a十B= 14.已知平面单位向量a,b满足同+b1=1.若对任意单位向量元，不等式尼-≤t与 民一≤t中至少有一个成立，则实数t的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某研发团队研发甲、乙两种无人机产品，现研发了3架甲种无人机和2架乙种无人 机，从这5架无人机中随机抽取2架进行试飞测试，若甲种无人机试飞合格的概率为 3 试飞不合格的概率为 恰抽到k架甲种无人机记为事件Ak(k=0,1,2): (1)求P(A1): (2)若抽取的2架无人机中，是甲种无人机且试飞合格的架数记为X,求X的分布 列和数学期望. 16.(本小题满分15分) 在三棱锥D一ABC中，已知△ABD是等边三角形，平面ABD⊥平面ABC,BC⊥AD. (1)求证：BC1AB: (2)若AB=2,CD=3,CP=1CD,且直线BP与平面ACD V5 所成角的正弦值为 8 试求实数的值. 第3页共4页 17.(本小题满分15分) x2,y2 已知椭圆C京+后=1a>b>0)的左，右焦点分别为F,(-6,0,P,(c,0)离心率 5 e<- ，过F2的直线与椭园C交于M,N两点，且△MNF1的周长为12，原点到短轴端 5 点与焦点连线的距离为 3 (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在x轴上的定点P,使得△PMN的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐 标；若不存在，请说明理由. 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，∠ABC= 2π 3 D为边AC上一点，且AB1BD,BD=2. (1)若CD=√2，求：①LA;②△ABC的面积； 21 (2)求0+CD的取值范围. 19.(本小题满分17分) 对实数r>1,定义D(r)=max x-- (1)求D(e): (2)证明：函数D(r)在(1，+oo)上严格递增： (3)设n≥2，在曲线y=lnx上依次取点A:(t,lnt)(i=0,1,,n),其中1=to< t1<…<tn=e”.记曲线在区间[t-1,t]上的图象与弦A;-1A的最大铅直距离为di.求 d,的最小值，并确定此时的所有。 第4页共4页