精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 一、选择题（共8题）（共8题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】集合，则， 所以. 故选：B 2. 与向量同向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设所求的单位向量为，结合单位向量定义列方程求结论. 【详解】设所求的单位向量为， 则， 解得，故所求的向量为． 故选：A. 3. 圆：与圆：的公切线有且仅有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 4. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下标和性质，结合等差中项列出等式求解即可. 【详解】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：C 5. 已知一个样本，样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据，此时样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差的计算公式分别进行分析即可. 【详解】设个数据为， 因为，所以； 又因为， 且， 所以， 故选：C. 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对同时除以可得，再由累加法求解即可得出答案. 【详解】若，则，则， 这与矛盾，所以， 对同时除以， 所以，则，， ……，， 上面的式子相加可得： ， 所以，所以， 故选：D. 7. 过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】曲线  是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分，由得圆心  到直线  的距离为，设直线  的方程为  ，  ，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由 ，则 ，  ，即 ， 所以曲线 是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分，如图． 因为， ，即 ，所以 ， 所以圆心 到直线 的距离为  ． 设直线 的斜率为  ，则直线 的方程为 ， ， 圆心 到直线 的距离 ，解得 ， 因为 ，所以 ． 故选：C． 8. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（ ） A. 的准线为 B. 的最小值为 C. 以为直径的圆与轴相切 D. 若且，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线性质可得的准线为，即A错误；利用抛物线定义由基本不等式可求得B正确；由直线与圆的位置关系可得以为直径的圆与轴相交，即C错误；由可得。利用向量夹角的坐标表示可求得，即D错误. 【详解】对于选项A，由抛物线的焦点可得， 所以，即的准线为，故A错误； 对于B，如下图所示： 设直线的方程为，； 联立直线与抛物线方程可得， 可得； 由抛物线定义可得； 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立；即B正确； 对于C，以为直径的圆的圆心为, 此时圆心到轴的距离为， 而， 所以以为直径的圆与轴相交，即C错误； 对于D，易知，由可知点在的垂直平分线上，所以； 由即可得，如下图所示： ，所以， 同理可得，可得， 所以，即D错误； 故选：B 【点睛】方法点睛：在求解夹角问题时可利用平面向量的坐标表示，利用数量积的符号确定夹角的大小或取值范围. 二、多选题（共3题） （共3题，共18分） 9. 在中，内角所对的边分别为，如下判断正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若满足条件的有两个，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可判断A的正误，根据正弦定理边角转化后可判断B的正误，根据诱导公式可判断C的正误，根据三角形解的个数可得，计算后可判断D的正误. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得， 故，因为， 故或，故或， 故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，设为外接圆的半径， 因为，故，故即，故B正确； 对于C，若为锐角三角形，故， 故，故即，故C正确； 对于D，因为满足条件的有两个， 所以即，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与所成角的正切值为 B. 用平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若平面，则长度的取值范围为 D. 若，则动点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：利用三角函数定义即可求得结果.对于B：做出截面的图形，分别求每条边的长即可求得结果, 对于C：找出点Q的轨迹，即可求出长度的取值范围，对于D：同样找出点Q的轨迹，即可求出动点的轨迹长度. 【详解】对于A： 如图，连接,直线与所成角即直线与所成角,即, 在三角形中，,故A正确； 对于B，如图，截面为等腰梯形， 周长，B错误； 对于C，如图取中点的中点为，平面即为平面, 因为,平面,平面,平面, 同理：平面,所以平面平面， 动点的轨迹为线段，，又可知是等腰三角形， 所以,最小值为边上的高， 可得的长度取值范围为，C正确； 对于D，因为平面，平面，所有， 则有，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 圆心角是，轨迹长度为，D正确． 故选：ACD 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为坐标原点，则（ ） A. 当为线段的中点时，直线的斜率为 B. 若，则 C. D. 若直线的斜率为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由直线与双曲线的关系判断A，设，表示出和，得出，再结合即可判断B，设，利用两点之间距离公式，分别表示出和，通过作差即可判断C，根据双曲线的定义，得出，再证出点与点关于直线对称可判断D. 【详解】如图， 若直线的斜率为时，直线的方程为， 联立双曲线，可得，， 即直线与双曲线不相交，故A错误； 设，，， ，， 又 ，，故B正确； 设，其中，则，即， ， ， ，， ，，故C错误； ，，，， ，∵直线的斜率为即， 且过点，∴直线的方程为， 又∵，， ， ，即， 又∵点到直线的距离，点到直线的距离，即， ∴点与点关于直线对称，，，故D正确, 故选：BD． 三、填空题（共3题） （共3题，共15分） 12. 已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则线段中点的纵坐标为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】设点，.易得抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线定义得， 所以，故， 即线段中点的纵坐标为2. 故答案为：2. 13. 数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，若存在正整数，使，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用分组求和法求，且当时，，当时，，可发现位于两数之间，从而求. 【详解】由于， 则， 当时，，当时，， 根据， 则， 即此时的. 故答案为： 14. 已知椭圆 为坐标原点，直线 与椭圆 交于 两点， 点 关于 轴的对称点为 ，且 ，若直线 与椭圆 交于点 ，且 ，则椭圆 的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由向量共线求出的坐标，然后求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，根据韦达定理求出，然后根据向量垂直求出直线的斜率，进而求出，从而得到的关系式，最后求出离心率即可. 【详解】设，则，所以， 由得，所以. 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 将代入椭圆方程中，得到， 化简得，又满足， 即，根据韦达定理可得， 所以①. 由得，所以直线的斜率为. 而，解得②. ①②联立得，化简得. 所以离心率为. 故答案为： 四、解答题（共5题） （共5题，共77分） 15. 已知圆经过三点. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆相交于两点，求直线的方程以及公共弦的长. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，将点的坐标代入方程求解方程组，再化为标准方程即可； （2）两圆相减得直线的方程，然后利用垂径定理求解弦长即可. 【小问1详解】 设圆的方程为， 由题意可知，，解得， 所以圆的方程为， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 由圆与圆相减得，， 所以直线的方程为. 则圆心到直线的距离， 故. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为，值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解. 【小问1详解】 依题意，函数 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得，， 所以当的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 由，得，所以，， 所以 . 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示： 在中，因为，分别是为棱，的中点， 所以为中位线， 所以，且， 又，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线，平行四边形性质以及线面平行的判定定理即可证明； （2）结合已知条件建立空间直角坐标系，分别写出相应的点坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解即可； （3）在（2）的基础上利用向量法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 平面，平面， 所以，又， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 取的中点，连接，如图所示： 因为，，且， 所以四边形是边长为2的正方形， 所以， 因为为棱的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 即平面的一个法向量为， 又平面，平面, 所以，由，且， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为 【小问3详解】 由（2）知，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为： ， 所以点到平面的距离为. 18. 等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，． （1）求和的通项公式； （2）若数列满足，，求数列的前2n项和， （3）求的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）最大值，最小值. 【解析】 【分析】（1）通过基本量运算求得公差和公比，得到通项公式； （2）将分组，分别利用等差数列前项和公式和错位相减法求得各组的和，得到； （3）利用化简和式，讨论的奇偶得到最值. 【小问1详解】 设等差数列公差为，等比数列公比为， 则，解得， 所以，； 【小问2详解】 由（1），，， 所以 令， 即①， 则②， ①-②得： ， 整理得 所以； 【小问3详解】 因为，设 所以 ， 当为奇数时，，由反比例函数性质可知随增大而增大， 故； 当为偶数时，，由反比例函数性质可知随增大而减小， 故， 又当时，，介于与之间， 所以的最大值为，最小值为. 19. 已知，分别为椭圆（）的左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形. （1）求椭圆的离心率； （2）若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程； （3）在（2）的条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质以及直角三角形可得，即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据相切得判别式为0即可求解， （3）根据韦达定理以及向量垂直的坐标关系，可得直线经过定点，即可利用等面积法求解. 【小问1详解】 设短轴的端点为，左右焦点为， 由于是直角三角形，所以，结合， 解得，故， 【小问2详解】 由可得椭圆方程为， 与直线联立可得， 由于直线恰好与椭圆相切，故，解得， 所以椭圆方程为 【小问3详解】 由于在椭圆上，设, 由可得， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程中，消去可得， 则， 由可得 即， 化简得， 由于不在直线上，所以，故，， 故直线的方程为，故过定点， 当直线的斜率不存在时，可得， 代入可得， 结合可得或（舍去）， 此时直线也经过， 综上可得直线恒经过. 因为，结合，故为直角三角形斜边上的高的长， 又直线恒经过，所以, 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 一、选择题（共8题）（共8题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 与向量同向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 3. 圆：与圆：的公切线有且仅有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 4. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 5. 已知一个样本，样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据，此时样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（ ） A. 的准线为 B. 的最小值为 C. 以为直径的圆与轴相切 D. 若且，则 二、多选题（共3题） （共3题，共18分） 9. 在中，内角所对的边分别为，如下判断正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若满足条件的有两个，则的取值范围为 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与所成角的正切值为 B. 用平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若平面，则长度的取值范围为 D. 若，则动点的轨迹长度为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为坐标原点，则（ ） A. 当为线段的中点时，直线的斜率为 B. 若，则 C. D. 若直线的斜率为，且，则 三、填空题（共3题） （共3题，共15分） 12. 已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则线段中点的纵坐标为______. 13. 数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，若存在正整数，使，则__________. 14. 已知椭圆 为坐标原点，直线 与椭圆 交于 两点， 点 关于 轴的对称点为 ，且 ，若直线 与椭圆 交于点 ，且 ，则椭圆 的离心率为__________． 四、解答题（共5题） （共5题，共77分） 15. 已知圆经过三点. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆相交于两点，求直线的方程以及公共弦的长. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，． （1）求和的通项公式； （2）若数列满足，，求数列的前2n项和， （3）求的最大值和最小值． 19. 已知，分别为椭圆（）的左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形. （1）求椭圆的离心率； （2）若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程； （3）在（2）的条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $