精品解析：上海市奉贤区东华大学附属奉贤致远中学2026-2027学年第一学期期中教学评估高三数学试题

东华大学附属奉贤致远中学2026学年第一学期期中教学评估 高三数学 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、填空题 1. 直线的倾斜角是______． 2. 已知集合，，则______________．(区间表示结果) 3. 不等式的解集是______. 4. 已知向量和满足，则实数______． 5. 在二项式的展开式中，的系数是______．（用数字表示答案） 6. 已知在等比数列中，，，则______ 7. 已知正实数，满足：，则的最小值为_____. 8. 学校开设6门知识类选修课和5门技能类选修课，学生需从中选修3门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有__________种． 9. 已知函数，则满足的实数的取值范围是________. 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，垂足为N，，则点的横坐标为_______． 11. 已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______． 12. 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体，如图所示，记长方体的纵截面为矩形，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够.则小金将冰箱运送入客户家中时，倾斜角的度数至少为_____.（精确到0.01） 二、单选题 13. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 14. “”是“一元二次不等式的解集为R”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 16. 若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”．则下列正确的是（ ） A. 若是“数列”，则 B. 若是“数列”且是等差数列，则单调递增 C. 若是“数列”且单调递减，则是等比数列 D. 若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是 三、解答题 17. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，母线的长为． （1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积 （2）是底面圆周上的两个点，， 为线段的中点，若圆锥的底面半径为2，求直线与平面所成角的大小． 18. 已知函数，. （1）若函数的最小正周期为π，求函数在上的值域； （2）若，在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，其中A满足，，求的最小值. 19. 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一，为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值并计算这100名游客的平均评分； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（保留两位小数）； （3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 20. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点. （1）求的周长： （2）已知点是椭圆上第一象限的点且，求点的坐标； （3）过点且与垂直的直线交椭圆于两点，若四边形的面积为，求直线的方程； 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数m的取值范围； （3）已知函数的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东华大学附属奉贤致远中学2026学年第一学期期中教学评估 高三数学 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、填空题 1. 直线的倾斜角是______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，，可得，解得即可得出． 【详解】设直线的倾斜角为，． 则，解得． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题，着重考查了． 2. 已知集合，，则______________．(区间表示结果) 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义即可得出答案. 【详解】由交集的定义可知. 故答案为： 3. 不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】把不等式化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式，等价于不等式，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题. 4. 已知向量和满足，则实数______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以， 又向量和，所以，所以. 5. 在二项式的展开式中，的系数是______．（用数字表示答案） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式计算求解. 【详解】二项式的展开式中，通项公式为， 当时，， 的系数是． 故答案为：. 6. 已知在等比数列中，，，则______ 【答案】 ## 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，其中，故，解得， 故 . 7. 已知正实数，满足：，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 8. 学校开设6门知识类选修课和5门技能类选修课，学生需从中选修3门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有__________种． 【答案】155 【解析】 【分析】采用间接法，先计算从所有选修课中选3门的总方案数，再减去3门全为技能类选修课的方案数，即可求解. 【详解】学校共开设选修课门， 从中任选3门的总选法为：  ， 3门均为技能类选修课的选法为：  ， 故至少包含1门知识类选修课的方案数为种. 9. 已知函数，则满足的实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性与非负区间上的单调性，将函数不等式转化为绝对值不等式求解. 【详解】化简函数可得，显然是定义域为的偶函数， 当时，，由指数函数性质可知在上单调递增； 由偶函数性质，等价于，结合在上的单调性，可得， 对不等式两边平方，得，展开右侧得，移项化简得，解得， 故实数的取值范围是. 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，垂足为N，，则点的横坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，由抛物线定义以及三角函数可用含的横坐标的式子表示，注意到，由此即可列方程求解. 【详解】如图所示： 过点作于点， 显然抛物线的焦点为，准线为， 由抛物线定义有，结合得， 而， 所以. 故答案为：. 11. 已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求最大值． 【详解】， 设，则，整理得， 所以复数对应的点在复平面上是以为圆心，半径的圆及内部， 的最大值为， 所以的最大值为． 12. 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体，如图所示，记长方体的纵截面为矩形，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够.则小金将冰箱运送入客户家中时，倾斜角的度数至少为_____.（精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再利用辅助角公式与反三角函数化简，最后借助计算器计算即可得. 【详解】过点作地面于点，作平行于地面直线使得， 则，， 则冰箱倾斜后实际高度， 则， 其中，，则， 由题意可得时才能按要求运送入客户家中， 即，由，， 故， 则 故倾斜角的度数至少为. 故答案为：. 二、单选题 13. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性和单调性的定义依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B，是奇函数，且是增函数，故B正确； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 14. “”是“一元二次不等式的解集为R”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由题根据一元二次不等式的解集为R， 可得， 所以“”是“一元二次不等式的解集为R”的必要不充分条件. 故选：B. 15. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，结合充分条件，逐一分析判断选项． 【详解】由题意，向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 选项A：已知，若， 因为，故，，共面， 故不能推出，故A错误； 选项B：已知，若， 设，则，解得， 则， 故，，共面，故不能推出，故B错误； 选项C：已知，若， 设，则，解得， ，故，，共面， 故不能推出，故C错误； 选项D：已知，若， 设，则，方程组无解， 故不存在满足条件的实数，故，，不共面， 故能推出，故D正确． 16. 若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”．则下列正确的是（ ） A. 若是“数列”，则 B. 若是“数列”且是等差数列，则单调递增 C. 若是“数列”且单调递减，则是等比数列 D. 若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义数列，计算判断A，结合等差数列，单调性，周期数列计算判断BCD. 【详解】对于A，若是“数列”，当时，， ，若 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以，A错误. 对于B，若是“数列”且是等差数列，设公差为， 当时，，即， 当时，，则，，即， 此时，数列不单调递增，B错误. 对于C，若是“数列”且单调递减， 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 可知数列不是等比数列，C错误. 对于D，若是“数列”且是周期数列，假设周期为， 当时，， 当时，，所以或 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 这样数列值会越来越大（非周期），所以 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 同理按此规律计算可得数列的取值可能是， 所以的元素个数最多是，D正确. 故选：D. 三、解答题 17. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，母线的长为． （1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积 （2）是底面圆周上的两个点，， 为线段的中点，若圆锥的底面半径为2，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式求出底面半径，即可求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算可得； （2）设的中点为，连接、，即可得到，再由线面垂直的性质得到，从而得到平面，即是直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得． 【小问1详解】 解：设圆锥的底面半径为，侧面母线长为，圆锥的高为， 则， 因为，所以， 所以， 所以圆锥的体积． 【小问2详解】 解：设的中点为，连接、，则， 因为，所以， 因为底面，底面，所以， 由，平面， 所以平面， 所以即是直线与平面所成角． ． 因为圆锥的底面半径为2，母线长为，所以高， 所以，． 因为， 所以，所以． 即直线与平面所成角为． 18. 已知函数，. （1）若函数的最小正周期为π，求函数在上的值域； （2）若，在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，其中A满足，，求的最小值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦函数性质及辅助角公式计算即可得； （2）结合向量数量积公式、余弦定理与基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得，则， ， 当时，，则， 则函数在上的值域为； 【小问2详解】 由，则，，则， ，则， 则， 当且仅当时，等号成立， 故最小值为. 19. 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一，为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值并计算这100名游客的平均评分； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（保留两位小数）； （3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】（1） ，平均评分为84分 （2） 83.33 （3） 【解析】 【小问1详解】 根据题意可得， 即，解得. 这100名游客的平均评分为：. 【小问2详解】 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 所以40%分位数位于区间内.  设40%分位数为，则， 解得， 所以. 故估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数为83.33. 【小问3详解】 评分在[50,60)的频率为，评分在[60,70)的频率为. 两组频率之比为， 采用分层抽样共抽取6人，则在[50,60)内抽取人，记为； 在[60,70)内抽取人， 记为. 从这6人中随机抽取2人，所有可能的情况有： ，，，，， ，，，， ，，，，，，共15种， 其中选取的2人评分分别在[50,60)和[60,70)内各1人的情况有： ，，，，，，，，共8种. 故所求概率. 20. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点. （1）求的周长： （2）已知点是椭圆上第一象限的点且，求点的坐标； （3）过点且与垂直的直线交椭圆于两点，若四边形的面积为，求直线的方程； 【答案】（1）8 （2） （3）或或或. 【解析】 【分析】（1）求出的值，得利用焦点三角形的周长即可； （2）设，结合数量积公式计算结合椭圆方程计算求解； （3）分斜率不存在或斜率为0和斜率存在且不为0两种情况，设直线联立得出弦长结合面积公式计算求斜率即可. 【小问1详解】 因为椭圆，所以， 由椭圆几何定义得的周长. 【小问2详解】 由题意，设，，， 故有， 解得，所以点的坐标为， 【小问3详解】 当斜率不存在或斜率为0时，得，与条件矛盾舍去， 故斜率存在且不为0时， 设 ， ， 故， 同理， 所以或， 故直线方程为或或或. 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数m的取值范围； （3）已知函数的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 【答案】（1） 区间是，区间不是，理由如下： 由， 当时，， 所以区间是函数的“美好区间”； 当时，，不是的子集，且， 所以不是的“美好区间”. （2） （3） 由题意，对于任意，，即， 则在R上单调递减， 故取，则， 由，无法满足性质①， 故若存在“美好区间”，只能满足性质②， 因为在R上单调递增且值域为R， 故必与有交点，不妨设交点为， 则任意的区间，使，则，则无法满足性质②， 故存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”； 故取区间，使，则， 故此时对于任意，都有，即满足性质②， 故函数存在“美好区间”． 综上所述，函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”. 【解析】 【分析】（1）分别求出函数在区间和区间上的值域，结合“美好区间”的定义判断即可； （2），故只能满足性质①，利用导数研究的单调性，分别令 ，进而分析求解即可； （3）由题意可得在R上单调递减，进而得到的“美好区间”必满足性质②，进而分析求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，，故只能满足性质①， 而，令，得，令，得或， 所以函数在上单调递增，在和上单调递减， 令或， 令或， 由，故取为m的最小值，故． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $