专题四：一元一次不等式（组）的解集与参数问题2026-2027学年浙教版八年级数学上册

浙教版八上第三章·专题四： 一元一次不等式（组）的解集与参数问题 （解析版） 目录导航 知识详解 2 一、区分一个解与全部解后反求参数 3 二、同向条件的有效边界与端点开闭 5 三、异向条件的有解无解与单点解 6 四、参数在系数中时先分正零负 8 五、由解集方向和边界反推含参关系 10 六、公共解集随参数变化的分类 11 七、每一个解与至少一个解的条件 13 八、两组解集相同及互相包含 14 A组　基础通关 17 B组　难点突破 22 C组　方法进阶 27 D组　真题精选 33 姓名：_______________　班级：_______________　日期：_______________ 知识详解 1. 参数与未知数要分清 解关于的不等式时，等字母作为待定的常数。先求出含参数的解集，再把题设要求转化成参数应满足的条件。 一个数是解，只说明把它代入后成立；已知解集，则规定了全部满足条件的数。仅检查几个数，通常不能确定完整解集。 易错提醒：不能把“是解”擅自改成“解集的边界是 2. 已知解集要核对三个方面 判断两个解集是否完全相同，先检查是否都无解、是否都是全体实数；对于非空且不是全体实数的射线或区间，再核对范围、边界位置及边界能否取到。只有一条射线时，还要看向左还是向右。 当一次项系数不为时，把边界代入相应的等式，可以求参数的候选值；即使原不等式不含等号，边界处仍对应两边相等。候选值必须代回验证系数符号。 易错提醒：“边界对应等式”不表示这个边界一定是不等式的解。 3. 同向条件的有效边界 两个下界同时成立时，保留更大的下界；两个上界同时成立时，保留更小的上界。边界重合时，严格条件优先。 例如与的公共部分是与的公共部分是已知组的解集时，非决定性的条件通常只需满足一个范围。 易错提醒：不要把每一个不等式的边界都强行等于组的边界。 4. 有解 无解与恰有一个实数解 对于相向的下界与上界，下界小于上界时有解，下界大于上界时无解；两边界相等时，必须另查开闭。 与在时只有一个解；只要其中一个条件改为严格不等号，时就无解。题目未限定整数时，讨论的是实数解。 易错提醒：“没有一段长度”不等于无解，两个实心端点重合仍保留一个解。 5. 含参数系数必须先分正零负 整理成后：时得时得时直接判断是否成立。其他不等号同理。 系数为且剩下的数值关系成立时，解集为全体实数；剩下的数值关系不成立时，无解。此时原式已经不再是关于的一元一次不等式，但仍可讨论其解集。 易错提醒：任何时候都不能除以也不能未判断参数符号就去掉含参系数。 6. 参数分类要覆盖临界值 先找会改变解集的临界参数：一次项系数等于两个边界重合、移动边界碰到固定边界。 按临界值划分参数范围，各范围内再取公共部分。最终逐一代回临界参数，检查是否无解、单点、开端点或闭端点。 易错提醒：分类范围不能遗漏，也不能让同一个参数同时得到两个互相矛盾的解集。 7. 每一个解与至少一个解 “每一个解都满足另一条件”要求原解集全部保留；“至少一个解满足另一条件”只要求两者有公共部分。两种要求通常给出不同的参数范围。 检查端点时要考虑它是否可以取到。例如所有都满足所有都满足但并非都满足若题目说原组有解且全部解怎样，必须先保留有解条件。 易错提醒：“每一个”不能只代一个数；“至少一个”不能误写成整个区间都符合。 一、区分一个解与全部解后反求参数 方法提示：先判断题目给的是样本检验还是完整解集；完整解集才能锁定有效边界。 例一　 关于的不等式为 （已知是它的解，不是它的解，求的取值范围。 （若另外知道这个不等式的最大解是求 【答案】（（ 【解析】（1）把代入，得即不是解，说明即合并得 （2）原不等式解得其最大解为由得样本信息给范围，完整边界信息才确定唯一值。 变式1-1　 不等式的最大实数解记为不等式的最小实数解记为 （的值是否随的取值改变？说明理由。 （若求 【答案】（不改变，恒为（ 【解析】两个不等式分别解得因此两个端点均能取到，确为最大解与最小解。 （1）所以这个组合的值与的取值无关。不能因各自改变，就断定它们的每一种组合都改变。 （2）由得两边同乘得解得 代入得检验且均符合。 变式1-2　 不等式的解集为求 小宁说：“不是解，所以不能把代入两边相等的式子求他的说法对吗？ 【答案】小宁的说法不对。 【解析】原式化为解集为因此得 边界处恰好使两边相等，这与边界不满足严格不等式并不矛盾。代回原式得解集确为 变式1-3　 已知关于的不等式组的解集为求 【答案】 【解析】两式分别给出一个条件提供下界，另一个提供上界，且题设区间非空。 因此得代回得到且方向与端点类型也完全一致。 二、同向条件的有效边界与端点开闭 方法提示：非决定性条件必须保留整个目标解集，特别检查目标端点会不会被删掉。 例二　 关于的不等式组的解集为求的范围，并说明为什么不合题意。 【答案】 【解析】第二式为要保留目标解集中的必须即这时每个都满足第二式。 时第二式为把原来应保留的端点删掉，解集变成因此不能取。 变式2-1　 关于的不等式组的解集为求的范围。 【答案】 【解析】若每个均满足公共部分仍是 若取就有该数满足第一式却不满足第二式，目标解集被缩小。因此时严格边界仍由第一式决定。 变式2-2　 关于的不等式组的解集为求不能只列一个边界等式而不检验另一个条件。 【答案】 【解析】目标右端点不包含，因此必须由严格条件形成边界，得即此时第一式为不会删去任何的解，所以符合。 若试图由形成边界则另一式却为所得解集不是 变式2-3　 已知关于的不等式组的解集为求 【答案】 【解析】目标端点必须同时满足三式，前两式给出所以只能为 把代回，三式依次为公共部分正是只检验端点在本题给出了唯一候选值，仍需代回确认端点右侧的所有数都保留。 三、异向条件的有解无解与单点解 方法提示：先比较下界与上界，再看相等时端点是否同时被允许。 例三　 关于的不等式组为： （求该组有解与无解时的范围。 （它能否恰有一个实数解？说明理由。 【答案】（时有解，时无解；（不能。 【解析】（1）解集条件为要有公共部分，需即时成为仍无解。 （2）有解时左边界严格小于右边界，二者之间有无数个实数；两边界重合时右端不允许取到，又无解。因此不可能恰有一个实数解。 变式3-1　 关于的不等式组为： 求该组恰有一个实数解时的值，并写出这个解。 【答案】唯一解为 【解析】第一式为时，上界小于固定下界无解。时，三式给出唯一解是 时，与之间都有正的差，较大的下界仍严格小于上界因而有一整段解，不是单点。所以只有 变式3-2　 甲、乙两组关于的不等式分别为： 甲组： 乙组： 若甲组有解而乙组无解，求的取值范围。 【答案】 【解析】甲组有解要求即乙组无解要求即等号时为且仍无解。 两个要求必须同时满足，因此时甲组为乙组无解，验证左端可取。 变式3-3　 甲组的解集为乙组的解集为对每个实数两组各自都有解。 （求两组没有公共解时的取值范围。 （求两组恰有一个实数公共解时的值，并写出这个解。 【答案】（或（唯一公共解为 【解析】（1）若甲组在乙组左侧且没有公共解，必须且只须甲的右边界不大于乙的左边界，即得等号时相碰点被乙组的严格条件排除，仍无公共解。 若乙组在甲组左侧且没有公共解，须乙的右边界严格小于甲的左边界，即得等号时这两个边界均能取到，会保留一个公共解，不能写成不大于。 没有公共解只可能是上述两种错开情形，所以或也可检查剩余范围：时，有且公共部分非空。 （2）当时，乙组的左边界不小于甲组的左边界，甲组的右边界不大于乙组的右边界。若有公共解，公共部分为两端相碰时仍无解，因此此类不可能只有一个公共解。 当时，公共部分若存在，应为它恰有一个解时，得此时代回：甲为乙为唯一公共解确为 四、参数在系数中时先分正零负 方法提示：先整理一次项系数，再分正数、零、负数；零这一类直接判断原式。 例四　 关于的三个不等式分别为： 甲：乙：丙： （按的取值，分别写出三个不等式的解集。 （为何值时，甲、乙的解集完全相同？甲、丙的解集能否完全相同？说明理由。 【答案】（时，甲为乙为丙为时，甲、乙的解集均为全体实数，丙无解；时，甲为乙为丙为 （甲、乙同解当且仅当不存在使甲、丙同解的 【解析】（1）时，系数为正数，三个不等式两边同除以方向均不改变，依次得到 时，不能除以甲、乙、丙分别成为前两个对所有实数成立，最后一个对所有实数都不成立。 时，系数为负数，三个不等式同除后都要改变方向，依次得到 （2）时，甲包含边界数乙不包含这个数，二者不同解；时二者均对所有实数成立，所以恰在时同解。 时，甲、丙分别是从同一边界向相反方向延伸的两条射线，只在边界处重合，不可能完全相同；时，甲有所有实数解，丙无解，也不同。因此甲、丙始终不同解。 变式4-1　 关于的不等式有解，而且它的每一个解都小于求的范围。 【答案】 【解析】时解集向右延伸，总包含正数，不合要求；时变成无解，也不合要求。 时解集为要每个解都小于能够取到的最大解必须严格小于由于分母为负，这等价于即 合并得时最大解为不满足“每个解都小于 变式4-2　 为实数，考虑关于的不等式 （若任意实数都是它的解，求应满足的条件。 （若它无解，求应满足的条件。 （若它的解集恰为求应满足的条件。 （能否选择使它恰有一个实数解？说明理由。 【答案】（且（且（且（不能。 【解析】先完整分类：时，解集为时，解集为这两类都只是含边界的一条射线，既不是全体实数，也不是空集。 时，原式成为时所有实数都是解，时无解。因此第（1）问为且第（2）问为且时成立，须归入全体实数。 （3）解集为先由向左的方向得到即再由边界得到即反过来，这两个条件使原式两边同除以正数后恰为故条件充分。 （4）时，一条射线中总有不止一个实数；时，解集只能是全体实数或空集。所有情形均不可能恰有一个实数解。 变式4-3　 关于的不等式的解集，与的解集有公共的数，也与的解集有公共的数。 （求的取值范围。 （能否据此断定每一个满足的数都是原不等式的解？说明理由。 【答案】（（能。 【解析】（1）时，原不等式解集为它总能与有公共数。要同时与有公共数，须且只须由于两边同乘后要反向，得即此类为 时，原式为全体实数都是解，与题目中的两个范围都有公共数，符合要求。 时，原式解集为它总能与有公共数。要同时与有公共数，须且只须两边同乘正数得即此类为 三类合并得时原解集为时原解集为分别与一侧范围仅在端点相遇，仍有公共数，两个边界都应保留。 （2）能。的合格情形中，原解集为某个不大于的数，所以整个都被保留；时所有实数都是解；的合格情形中，原解集为某个不小于的数，也保留整个 五、由解集方向和边界反推含参关系 方法提示：由方向判断系数符号，由边界列等式；多个参数先找关系。 例五　 已知不等式的解集为 （写出的符号及之间的关系。 （求不等式的解集。 【答案】（（ 【解析】（1）解集向左且不是空集或全体实数，所以在边界处有故 （2）代入关系，原式成为因为所以同除以得新的系数是符号已与原式系数相反。 变式5-1　 不等式的解集为求不等式的解集。 【答案】 【解析】已知解集向右，故其边界满足所以 所求不等式变为同除以正数得因此 变式5-2　 能否找到实数使不等式的解集为同时满足若能，求出；若不能，说明矛盾在哪里。 【答案】不能。 【解析】由解集向右知由边界知即 代入得违反因此不存在。只求出便作答会错：代回得到其解集是方向相反。 变式5-3　 已知且关于的不等式的解集为求并检验。 【答案】 【解析】向左的解集要求在边界处有整理得 与联立，得所以此时原式为确实得到 六、公共解集随参数变化的分类 方法提示：找出移动边界与固定边界相碰的位置，分段确定实际下界、上界及端点开闭。 例六　 解关于的不等式组，写出的所有情形。 【答案】时，时，时，无解。 【解析】前两式的公共部分为 时，新增条件不会删去原区间中的数，解集不变。时，下界由决定，得时左端也被删去。 时，要求又不可能同时满足，因此无解。 变式6-1　 解关于的不等式组，并说明时为什么不能把右端点写成实心端点。 【答案】时，无解；时，时， 【解析】时，与冲突。时，移动上界更严格，解集为 时，固定上界更严格，解集为时同时要求与严格条件仍在，所以不能取到。 变式6-2　 求同时满足与的的取值范围。要求按完整分类，并指出恰有一个实数解的情况。 【答案】或时，无解；时，时，时， 时恰有一个实数解 【解析】先比较左边界与交点为再比较右边界与交点为还须检查移动区间与固定区间是否相交。 时有与冲突；时，下界为严格的上界为时，移动区间完全落在固定区间内，得 时，下界为上界为时两端均可取，得到唯一解时下界超过无解。处虽边界相碰，但排除碰点，故无解。 变式6-3　 解关于的不等式组，必须单列的情形。 【答案】时，时，无解；时， 【解析】时，第一式化为与取公共部分得 时第一式为不成立，所以整组无解。 时第一式化为它的每个解自然满足故解集为 七、每一个解与至少一个解的条件 方法提示：分清全部保留与存在公共部分，按端点能否取到分别判断。 例七　 已知的取值范围为 （若每个这样的都满足求的范围。 （若至少有一个这样的满足求的范围。 【答案】（（ 【解析】（1）最大值可以取到，因此必须即这也足以让区间中每个数都小于 （2）只需与存在公共数。时不可能；时，与中较小的数之间有公共数。因此 变式7-1　 不等式组至少有一个正数解，且它的每一个解都小于求的范围。 【答案】 【解析】区间左右边界相差所以对每个都有解。至少有一个正数解等价于最大解即若最大解不正，其他解更不可能为正。 每个解都小于等价于能够取到的最大解即合并得时最大解为时含解两端均不符合。 变式7-2　 若每一个满足的实数都使成立，求的取值范围。 【答案】 【解析】若系数为负，取得足够大时左边会小于不可能对每个都成立。 若左边恒为符合要求。若给出且能取到这个值。 故时需要即与合并，得时直接取即可否定。 变式7-3　 已知要求对每一个这样的都能从和这两个数中选出一个数使不同的可以作不同的选择。 （求的取值范围。 （取的最小值时，说明怎样根据选取只检查和两个端点，能否保证对整个范围都符合要求？ 【答案】（（时，可选可选只检查原范围两个端点不够。 【解析】（1）先求必要条件：属于已知范围，此时与都等于无论怎样选择都有因此必须 再证充分：当时，选则当时，选也有两段覆盖所有允许的所以确实充分。 （2）的最小值为上面的分段选择已对每个给出一个符合要求的时两种选法相同。 只检查两个原端点不够。例如时，可选可选两次检验都通过；但时两个候选数都是都不满足真正的限制出现在两个候选数相等的内部位置。 八、两组解集相同及互相包含 方法提示：先查空集情形；有解时比较有效端点。每一个解都满足，并不自动表示两组解集相同。 例八　 甲、乙两组不等式分别为： 甲组： 乙组： 若两组的解集完全相同，求的范围。题目没有规定两组一定有解。 【答案】 【解析】若共同解集非空，两组的左、右端点都应一致，于是且后一个等式又给矛盾。因此不可能有相同的非空解集。 两组可以都无解。甲无解要求乙无解要求即合并得时甲无解，乙仍有唯一解故不能取。 变式8-1　 关于的不等式同时满足： ①它的每一个解都满足 ②每个满足的数都是它的解。 求的范围。 【答案】 【解析】原不等式解集为边界可取。①要求这个可取的最小解严格大于即得 ②要求所有正数都不少于故即当下界为时，所有正数仍被保留。合并得 变式8-2　 甲组的解集为乙组的解集为且 若甲组的每一个解都是乙组的解，但两组解集并不完全相同，求的范围。 【答案】 【解析】甲组始终有解。要让甲的整个闭区间落在乙中，需要且代入第二个条件也为 给出时两组都是完全相同，不合题意；时，乙包含而甲不包含所以确实不相同。 因此 变式8-3　 由下列四个条件组成关于的不等式组，均为实数： ①②③④ 已知：只删去条件③后，解集不变；只删去条件④后，解集也不变。 （求应满足的全部条件。题目没有规定原组一定有解。 （能否因此断定，同时删去条件③、④后解集也不变？按第（问的结果分别说明。 【答案】（且或且 （不能一概断定。且时可以同时删去，解集仍为且时不能，原组无解，同时删去后变为 【解析】（1）先设原组有解。只删③后仍有解，剩下及因此必有并且一定是删③后组的解。由于删前删后同解，也须满足原条件③，所以 同理，只删④后的组仍有解，剩下及因此并且一定是删④后组的解。由于解集不变，也须满足原条件④，所以 反过来，且时，③、④对中的数均不增加限制。原组、只删③后的组、只删④后的组都恰为故这一类充分。 再设原组无解。只删③后也须无解；剩下及无解当且仅当只删④后也须无解；剩下及无解当且仅当 反过来，且时，上述两个删后的组都无解，原组当然也无解，所以另一类条件为且或时相应删后的组仍有一个实数解，不能并入此类。 （2）同时删去③、④后，必得到第一类原组就是这个解集，因此不变；第二类原组无解，删除后变为非空区间，解集改变。可见“每次单独删去都不变”不能推出“同时删去也不变”。 A组　基础通关 A1　 关于的不等式中，为实数。 （能否选取使其解集为若能，求 （能否选取使其解集为说明理由。 【答案】（能， （不能。 【解析】整理原不等式：得 （1）要使解集恰为须有解得代回得符合要求。 （2）无论取何值，所得解集都包含边界若边界不是两解集的范围不同；若边界为原解集包含而不包含因此不存在这样的 A2　 关于的不等式的解集始终保持为 （应满足什么关系？ （若从变为应从多少变为多少？能否同时增加而保持解集不变？ 【答案】（ （应从变为不能同时增加而保持解集不变。 【解析】整理原不等式：得即要保持解集必须且只须即 时，得时，得因此增加必须减少 若同时增加，则与都增加，一定大于原来的解集端点也会大于不可能保持不变。 回代检查：时得即时得仍为 A3　 关于的不等式为 （已知所有不满足这个不等式的数恰好为求及原不等式的解集。 （若只知道不满足原不等式，能否唯一确定求这时的范围。 【答案】（原解集为 （不能唯一确定； 【解析】（1）所有不满足原不等式的数恰为所以所有满足的数恰为原式整理为故解得代回得即符合要求。 （2）只知道不满足，说明不成立，即解得它仅限制一个数的归属，没有确定整条解集的边界，故不能唯一求都可使不满足，但解集分别为确实不同。 A4　 关于的不等式的解集为求 【答案】 【解析】同乘正数再加上得 解集的左端点是右端点是因此由第一式得代入第二式得故 代回原条件为确实等价于两个端点的开闭也一致。 A5　 已知关于的不等式组的解集中包含却不包含求的取值范围。 【答案】 【解析】是解，得即 在这个范围内，所以一定满足左侧条件。它不是整组的解，只能是不满足即得 两部分合并得时不在解集中，必须排除；时解集为包含而不包含可以取。 A6　 关于的不等式组的解集中，存在两个互为相反数且均不为的解。求的取值范围，并说明和为什么不符合。 【答案】 【解析】两个互为相反数且不为的数中，一个为正，一个为负。设这两个解是与其中 因为负数解属于区间，所以因为正数解属于区间，所以因此必须有 反过来，若则与都是正数。在这两个正数中取较小的数作为就有由得且又有因此都满足说明条件充分。 时解集为没有正数解；时解集为没有负数解。两者都只能含有相反数为自身的不能满足两个非零解的要求。 A7　 在□内填入中的一个，使下面的不等式组恰好在时有解，在时无解。 写出所填符号，并写出时该组的解集。 【答案】填时解集为 【解析】如果填或第一个条件分别给出或与都是上界限制，总能取足够小的同时满足，所以对所有都有解，不符合题意。 如果填第一个条件为与同时成立须有即时无解，与题目允许不符。 如果填则与有公共解须即符合题意。 时两个条件为公共解集为只有一个实数解。 A8　 关于的不等式中，为实数。 （求它有解时的取值范围，并写出此时的解集。 （能否选取使它的解集恰为说明理由。 【答案】（此时任意实数都是解；时无解。 （不能。 【解析】去括号，得两边同时减去得到与无关。 若这个数值关系成立，任意实数都满足原式；若关系不成立，原式无解。特别地，时两边恒相等，仍是任意实数都满足。 解集只能是全体实数或空集，不可能恰为不可未判定的符号便直接除以 A9　 关于的不等式组的解集中有最大的数，且这个数是求并判断是否在解集中。 【答案】不在解集中。 【解析】由可知，对每个实数解集都是且最大实数解为右端点 因此得解集为不满足严格条件所以不是解。 A10　 已知且关于的不等式的解集为求 【答案】 【解析】由得两边同乘并改变不等号方向，得 故与相加，得所以 检验：等价于同时两项要求均满足。 A11　 关于的不等式组总有解。 （若再添加条件要求解集保持不变，求的范围。 （若改为添加条件仍要求解集保持不变，求的范围。 【答案】（ （ 【解析】原解集的最小数是并且本身可以取到。 （1）如果添加而不改变解集，原来的每个解都必须非负，尤其反过来，时所有都非负，所以充分。 （2）添加时同理，必须且只须最小解虽然不会影响第（1）问，却会在第（2）问删去原解因此不能取。 A12　 甲组由组成，乙组由组成。 已知甲组无解，而乙组有解，求之间的关系，并写出乙组的解集。 【答案】乙组的解集为（也可写 【解析】甲组要求有解的条件是所以甲组无解说明 乙组要求有解的条件是即 两条件合并得此时甲组要求且仍无解；乙组要求恰有一个实数解 B组　难点突破 B1　 按的取值分类，解关于的不等式 并说明：是否可能选取使是这个不等式的解？ 【答案】时，时，时无解。无论取何值，都不是解。 【解析】去括号并移项，得即 时，两边同除以得时除以负数，方向改变，得 时原式变成不成立，所以无解。不能在此时使用分式 把直接代入最初的不等式，左边为右边为需要不成立。因此任何都不能使成为解。这也可用来检查分类结果。 B2　 关于的不等式的解集是一条向左的射线，即可写成的形式。 （求的取值范围，并用表示 （若又知道不是解，求的范围；这时能否为正数？ 【答案】（ （仍为一定为负数，不可能为正数。 【解析】（1）要解成未知数系数必须为负数，因此此时除以后改变方向，得到 时为无解，不能表示成一条射线；时方向向右，也不符合。 （2）把代入原式，得到时右边故该关系不成立，自动不是解，不会增加新的限制。 同时所以这里只要求解集的方向，不足以求得的唯一值。 B3　 按的取值分类，解关于的不等式组。须单独检查与 【答案】时无解；时时时 【解析】时，第一个条件给出第二个条件给出不能同时满足，所以无解。 时，第一个条件为对没有限制；第二个条件为得 时，第一个条件为第二个条件为公共部分是 时，第一个条件为第二个条件为对没有限制，故解集为 时，两个条件分别为解集为综上可把与合并写为 B4　 实数满足另要求且 （用含的不等式表示的范围，并求这两个要求可以同时满足时的取值范围。 （若符合要求的的范围恰为求并写出相应的的范围。 【答案】（可以同时满足当且仅当 （ 【解析】由得把代入，得即另一条件为故的范围为 （1）因左端点不能取到，有解必须且只须解得时要求且无解。 （2）对照左端点，得右端点也符合。 此时依次变形为除以得对应可取的对应不可取的端点取舍正确。 B5　 两个关于的不等式为①② 已知恰好满足其中一个不等式的的全部取值范围是或 求的所有可能值，并分别说明中的数是同时满足两个不等式，还是两个都不满足。 【答案】或时，中的数同时满足①②；时，该范围中的数两个条件都不满足。 【解析】先比较边界与两者相等时 若则时只满足②；时同时满足①②；时只满足①。因此恰好满足一个的范围为或与题目比较两个边界，得彼此一致。此时中间范围中的数同时满足两个条件。 若则①为②为每个实数恰好满足一个，所得范围为全体实数，与题意不符。 若则时只满足②；时两个都不满足；时只满足①。因此恰好满足一个的范围为或比较边界，得彼此一致。此时中间范围中的数两个条件都不满足。 两个方案均需检验端点：时同时满足两个、仅满足①；时两个都不满足、仅满足①。因此均被排除而均被保留，与目标范围完全一致。 B6　 关于的不等式组为 （求它有解时的取值范围，并判断有解时是否一定同时含有正数解和负数解。 （能否选取使该组有解且每一个解都非负？说明理由。 【答案】（有解时一定同时含有正数解和负数解。 （不能。 【解析】（1）有解须有解得时要求无解。 时，令则解集为正数是解；负数也满足所以必有正数解和负数解。 （2）只要有解，就由上面的构造得到一个负数解不可能所有解都非负。时虽然无负数解，但这是因为根本无解，不满足题目明确要求的“有解”。因此不存在符合要求的 B7　 按的取值分类，写出关于的不等式组的解集，并指出何时恰有一个实数解。 【答案】时，时，时无解。时恰有一个实数解 【解析】先比较两个下界与若则条件更严格，且故解集为时两个下界相同，仍须保留严格条件 若则条件已保证公共部分应为 此时有解须即因此时解集如上；时无解。 时两端同为且两个有效端点都允许取到，所以解集为其他有解情形的两边界不相等，均不止一个实数解。 B8　 不等式①为不等式②为 把不等式①的每一个解都减去得到的全部数恰好是不等式②的解。求 【答案】 【解析】不等式①整理为即将其中每一个数减去后，得到的全部数满足这里改变的是解中的数，不是把参数也减去 不等式②整理为两条向左、含端点的射线相同，因此 解得即所以检验：①的解集为全部减去后为②在时也是 B9　 已知由组成的不等式组有解，且它的每一个解都满足求的取值范围。 【答案】 【解析】原组有解说明且解集为两个端点都属于解集。 每一个解均满足因此尤其有反过来，若且则区间中的每个当然都满足要求，所以这三个条件也充分。 代入得得即与左端条件相同。合并得 时端点被包括，不符合严格限制；时只含一个解仍符合全部要求，应当保留。 B10　 关于的不等式组如下。已知对任意都是它的解。 （验证这一事实。 （若整组的解集恰为求的范围。 【答案】（代入后有恒成立。 （ 【解析】（1）满足第一个条件；第二个条件变成即恒成立。 （2）时，由可得所以第二个条件对每个都成立。时第二个条件为也不作限制。 时，第二个条件解得给出了一个有限的上界。虽然这个上界大于组内仍有解，但它不能包含所有不符合题意。 因此验证一个数总是解，不能代替对整条射线的判断。 C组　方法进阶 C1　 按的取值完整分类，解关于的不等式组。注意与三个临界值。 【答案】时，时，时，时，时无解。 【解析】先按的正、零、负处理第一个条件。 时，除以负数后得与合并为由于第三个条件自动满足。 时，第一个条件为对没有限制，余下两条件给出不能沿用或的结果。 时，第一个条件给出若已保证所以为若条件更严格，所以为 时，与不能同时成立，所以无解。特别地，可取却不能取两处边界的取舍不同。 C2　 （求所有这样的实数无论在内怎样取值，都有 （把条件改为“无论都有重新求的范围。 必须说明所得条件既必要又充分，不能只代入一个 【答案】（ （ 【解析】（1）必要性：与都允许取到。分别代入，得整理为 充分性：若则由乘负数后得若则由得因此整个范围内的均符合。 （2）仍可取，严格条件给出即若则令就有取得到所以该属于允许的却使不符合要求。因此必须 再证充分：时，时为时，由及得 故第（2）问为时要求对所有都成立，所以可取。 C3　 已知考虑关于的三个要求： （若每给定一个允许的都能找到至少一个同时满足这三个要求，求的范围。不同可以选不同的 （若要求找到同一个使它对所有允许的都同时满足这三个要求，求的范围。 【答案】（ （ 【解析】（1）必要性：取需要且所以 充分性：若对于任意选它当然满足又有并且因为时故每个都能找到合适的充分。 （2）同一个要对所有满足其中给出最强要求要对所有满足其中给出最强要求加上并不进一步限制。 于是同一个存在，必须且只须即若取则对每个都有并且验证充分。 边界在第（1）问可取，但在第（2）问要求同一个且不可取。 C4　 关于的不等式组如下，为实数。 已知此组有解，每一个解都非负；并且只要是它的解，也一定是它的解。求应满足的全部条件。 【答案】且 【解析】整理得记左、右端点为有解说明而且两个端点都可以取到。 把端点代入题设的性质，也是解，尤其所以把端点代入，也是解，尤其所以两式合并得 因此得此时 有解要求即每个解非负，尤其最小解故所以必要条件为且 检验充分性：这些条件使且对任意减去可得即因此仍是解，全部要求都成立。时仅有仍符合，应保留。 C5　 小林要使不等式的解集恰为他把代入并取等号，得到解得于是认定答案是 （指出错误，并判断是否存在符合原要求的 （若只要求是该不等式的一个解，求的范围。 （若把目标解集改为求 【答案】（遗漏了系数符号及解集方向的检查；不存在符合要求的 （ （ 【解析】（1）当时，原式为对所有都成立，不是若要得到向右的解集必须有即边界为还要求解得与矛盾，故不存在这样的 小林所得代回原式为方向恰与所需解集相反。边界数相同只是必要条件的一部分。 （2）仅要求是一个解，应直接代入而不强行取等号：得即这里也是允许的。 （3）要解集为需且边界为边界等式仍给出而方向正确；代回验证确为 C6　 关于的不等式组的解集恰为求 解答中须说明各自是否可能。 【答案】 【解析】时，两个条件都与无关，只可能对所有实数同时成立或根本无解，不能得到指定区间。 时，第一个条件给出第二个条件给出若有解，形成左端开、右端闭的区间。题目要求左端闭、右端开，所以不可能。 时，除以负数要改变方向，两个条件分别为于是应有即 代入得所以满足 检验：原组变为分别解得确为 C7　 在范围内，至少有一个数使成立，但并非这个范围内的每个都使它成立。求的全部取值范围。 【答案】或 【解析】先看“并非每个都成立”：属于指定范围，代入后需要即永不成立。所以无论为何值，都已有一个不成立的数；只需再保证至少存在一个成立的数。 若则对有且右端在时取到。因此存在成立的必须且只须解得 若原式为不成立，没有这样的 若则由得且时取到。因此存在成立的必须且只须解得 综上为或或时，左边能达到的最大值只与右边相等，不能满足严格不等号，均应排除。 C8　 考察三个条件：①②③ （求任意选两个条件组成的不等式组都有解时的范围。 （在本题中，只检查任意两个条件都有解，能否保证三个条件有公共解？说明理由，并求三个条件恰有一个实数公共解时的值及这个解。 【答案】（ （能。时恰有一个实数公共解 【解析】（1）①③都是下界条件，总能取足够大的使它们同时成立。①②有解要求得②③有解要求得合并得 （2）在本题中，若①②、②③分别有解，就同时知道从中取较大的数作为它既满足两个下界，也不超过共同上界，因此是三个条件的公共解。这说明本题的检查方法可靠，而不是凭两次检验直接断言。 再求单个公共解：比较与若则较大的下界为有解时解集为要恰有一个解，须得此时符合 若则较大的下界为解集为单点要求得与矛盾，不可能。 故仅此时三个条件分别为公共解确为 D组　真题精选 D1　（2025·杭州公益中学八上期中·第14题选编） 不等式的解集恰为求常数 【答案】 【解析】解集向左延伸，故的系数应小于此时的解集为由边界相同得解得代回得即符合题意。 D2　（2025·诸暨暨阳初级中学八上期中·第5题选编） 对于不等式若其解集是则应满足（  ）。 　　 　　 　　 【答案】 【解析】因为原式是要化为必须除以负数，即所以时得到无解，不能纳入。 D3　（2025·杭州采荷中学八上期中·第8题选编） 下列不等式组的解集为的取值范围是（  ）。 　　 　　 　　 【答案】 【解析】两式分别解得和要使公共部分恰为必须不小于所以时两式完全同解，仍符合题意，不能漏掉等号。 D4　（2025·海宁硖石中学八上期中·第9题选编） 要使下列不等式组的解集恰好是常数应满足（  ）。 　　 　　 　　 【答案】 【解析】第一式给出第二式给出两个向左的范围取较小上界，要保留上界须即时两式的边界都为仍满足。 D5　（2025·宁波奉港中学八上期中·第6题选编） 下面的不等式组没有解，的范围是（  ）。 　　 　　 　　 【答案】 【解析】同时满足两式的应落在中。这个范围有解的条件是所以无解时边界会要求且仍无解，故应保留等号。 D6　（2025·杭州江南实验学校八上期中·第9题选编） 方程的一个解为求不等式的解集（  ）。 　　 　　 　　 【答案】 【解析】将代入方程，得即由于所以原不等式化为即除以负数后反向，得 D7　（2025·杭州滨和中学八上期中·第16题选编（仅①②④）） 对下列关于的不等式组，判断①②④中哪些结论正确，并说明理由。 ①若解集为则 ②时，不等式组有解； ④只要不等式组有解，就有 【答案】①④正确，②错误。 【解析】第一式两边乘得整理为所以第二式得 ①解集为说明得因此①正确。 ②时，上界要求且无解，因此②错误。 ④有解必须让右端点严格大于即解得因此④正确。反过来时，确实非空。 D8　（2025·宁波东海实验学校八上期中·第23题（2）（3）选编） 若一个一元一次方程的解也满足某不等式组，就称这个方程是该不等式组的“相伴方程”。 （方程是不等式组的相伴方程，求的范围。 （方程和都是下列不等式组的相伴方程， 其中求的范围。 【答案】（ （ 【解析】（2）不等式组分别化为和所以解集为方程的解为由得到 （3）两个方程的解依次为它们都必须同时满足不等式组的两式。第一式为 当时，第一式化为与均符合；当时，第一式化为两个数均不符合；已由题设排除。因此 第二式为要使都符合，只须较小者也符合，即得合并可得检验时，解集为两个指定解都在其中；时第一式为而无解，不能纳入。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版八上第三章·专题四： 一元一次不等式（组）的解集与参数问题 （学生版） 目录导航 知识详解 2 一、区分一个解与全部解后反求参数 3 二、同向条件的有效边界与端点开闭 5 三、异向条件的有解无解与单点解 6 四、参数在系数中时先分正零负 9 五、由解集方向和边界反推含参关系 11 六、公共解集随参数变化的分类 12 七、每一个解与至少一个解的条件 14 八、两组解集相同及互相包含 17 A组　基础通关 19 B组　难点突破 24 C组　方法进阶 29 D组　真题精选 36 姓名：_______________　班级：_______________　日期：_______________ 知识详解 1. 参数与未知数要分清 解关于的不等式时，等字母作为待定的常数。先求出含参数的解集，再把题设要求转化成参数应满足的条件。 一个数是解，只说明把它代入后成立；已知解集，则规定了全部满足条件的数。仅检查几个数，通常不能确定完整解集。 易错提醒：不能把“是解”擅自改成“解集的边界是 2. 已知解集要核对三个方面 判断两个解集是否完全相同，先检查是否都无解、是否都是全体实数；对于非空且不是全体实数的射线或区间，再核对范围、边界位置及边界能否取到。只有一条射线时，还要看向左还是向右。 当一次项系数不为时，把边界代入相应的等式，可以求参数的候选值；即使原不等式不含等号，边界处仍对应两边相等。候选值必须代回验证系数符号。 易错提醒：“边界对应等式”不表示这个边界一定是不等式的解。 3. 同向条件的有效边界 两个下界同时成立时，保留更大的下界；两个上界同时成立时，保留更小的上界。边界重合时，严格条件优先。 例如与的公共部分是与的公共部分是已知组的解集时，非决定性的条件通常只需满足一个范围。 易错提醒：不要把每一个不等式的边界都强行等于组的边界。 4. 有解 无解与恰有一个实数解 对于相向的下界与上界，下界小于上界时有解，下界大于上界时无解；两边界相等时，必须另查开闭。 与在时只有一个解；只要其中一个条件改为严格不等号，时就无解。题目未限定整数时，讨论的是实数解。 易错提醒：“没有一段长度”不等于无解，两个实心端点重合仍保留一个解。 5. 含参数系数必须先分正零负 整理成后：时得时得时直接判断是否成立。其他不等号同理。 系数为且剩下的数值关系成立时，解集为全体实数；剩下的数值关系不成立时，无解。此时原式已经不再是关于的一元一次不等式，但仍可讨论其解集。 易错提醒：任何时候都不能除以也不能未判断参数符号就去掉含参系数。 6. 参数分类要覆盖临界值 先找会改变解集的临界参数：一次项系数等于两个边界重合、移动边界碰到固定边界。 按临界值划分参数范围，各范围内再取公共部分。最终逐一代回临界参数，检查是否无解、单点、开端点或闭端点。 易错提醒：分类范围不能遗漏，也不能让同一个参数同时得到两个互相矛盾的解集。 7. 每一个解与至少一个解 “每一个解都满足另一条件”要求原解集全部保留；“至少一个解满足另一条件”只要求两者有公共部分。两种要求通常给出不同的参数范围。 检查端点时要考虑它是否可以取到。例如所有都满足所有都满足但并非都满足若题目说原组有解且全部解怎样，必须先保留有解条件。 易错提醒：“每一个”不能只代一个数；“至少一个”不能误写成整个区间都符合。 一、区分一个解与全部解后反求参数 方法提示：先判断题目给的是样本检验还是完整解集；完整解集才能锁定有效边界。 例一　 关于的不等式为 （已知是它的解，不是它的解，求的取值范围。 （若另外知道这个不等式的最大解是求 变式1-1　 不等式的最大实数解记为不等式的最小实数解记为 （的值是否随的取值改变？说明理由。 （若求 变式1-2　 不等式的解集为求 小宁说：“不是解，所以不能把代入两边相等的式子求他的说法对吗？ 变式1-3　 已知关于的不等式组的解集为求 二、同向条件的有效边界与端点开闭 方法提示：非决定性条件必须保留整个目标解集，特别检查目标端点会不会被删掉。 例二　 关于的不等式组的解集为求的范围，并说明为什么不合题意。 变式2-1　 关于的不等式组的解集为求的范围。 变式2-2　 关于的不等式组的解集为求不能只列一个边界等式而不检验另一个条件。 变式2-3　 已知关于的不等式组的解集为求 三、异向条件的有解无解与单点解 方法提示：先比较下界与上界，再看相等时端点是否同时被允许。 例三　 关于的不等式组为： （求该组有解与无解时的范围。 （它能否恰有一个实数解？说明理由。 变式3-1　 关于的不等式组为： 求该组恰有一个实数解时的值，并写出这个解。 变式3-2　 甲、乙两组关于的不等式分别为： 甲组： 乙组： 若甲组有解而乙组无解，求的取值范围。 变式3-3　 甲组的解集为乙组的解集为对每个实数两组各自都有解。 （求两组没有公共解时的取值范围。 （求两组恰有一个实数公共解时的值，并写出这个解。 四、参数在系数中时先分正零负 方法提示：先整理一次项系数，再分正数、零、负数；零这一类直接判断原式。 例四　 关于的三个不等式分别为： 甲：乙：丙： （按的取值，分别写出三个不等式的解集。 （为何值时，甲、乙的解集完全相同？甲、丙的解集能否完全相同？说明理由。 变式4-1　 关于的不等式有解，而且它的每一个解都小于求的范围。 变式4-2　 为实数，考虑关于的不等式 （若任意实数都是它的解，求应满足的条件。 （若它无解，求应满足的条件。 （若它的解集恰为求应满足的条件。 （能否选择使它恰有一个实数解？说明理由。 变式4-3　 关于的不等式的解集，与的解集有公共的数，也与的解集有公共的数。 （求的取值范围。 （能否据此断定每一个满足的数都是原不等式的解？说明理由。 五、由解集方向和边界反推含参关系 方法提示：由方向判断系数符号，由边界列等式；多个参数先找关系。 例五　 已知不等式的解集为 （写出的符号及之间的关系。 （求不等式的解集。 变式5-1　 不等式的解集为求不等式的解集。 变式5-2　 能否找到实数使不等式的解集为同时满足若能，求出；若不能，说明矛盾在哪里。 变式5-3　 已知且关于的不等式的解集为求并检验。 六、公共解集随参数变化的分类 方法提示：找出移动边界与固定边界相碰的位置，分段确定实际下界、上界及端点开闭。 例六　 解关于的不等式组，写出的所有情形。 变式6-1　 解关于的不等式组，并说明时为什么不能把右端点写成实心端点。 变式6-2　 求同时满足与的的取值范围。要求按完整分类，并指出恰有一个实数解的情况。 变式6-3　 解关于的不等式组，必须单列的情形。 七、每一个解与至少一个解的条件 方法提示：分清全部保留与存在公共部分，按端点能否取到分别判断。 例七　 已知的取值范围为 （若每个这样的都满足求的范围。 （若至少有一个这样的满足求的范围。 变式7-1　 不等式组至少有一个正数解，且它的每一个解都小于求的范围。 变式7-2　 若每一个满足的实数都使成立，求的取值范围。 变式7-3　 已知要求对每一个这样的都能从和这两个数中选出一个数使不同的可以作不同的选择。 （求的取值范围。 （取的最小值时，说明怎样根据选取只检查和两个端点，能否保证对整个范围都符合要求？ 八、两组解集相同及互相包含 方法提示：先查空集情形；有解时比较有效端点。每一个解都满足，并不自动表示两组解集相同。 例八　 甲、乙两组不等式分别为： 甲组： 乙组： 若两组的解集完全相同，求的范围。题目没有规定两组一定有解。 变式8-1　 关于的不等式同时满足： ①它的每一个解都满足 ②每个满足的数都是它的解。 求的范围。 变式8-2　 甲组的解集为乙组的解集为且 若甲组的每一个解都是乙组的解，但两组解集并不完全相同，求的范围。 变式8-3　 由下列四个条件组成关于的不等式组，均为实数： ①②③④ 已知：只删去条件③后，解集不变；只删去条件④后，解集也不变。 （求应满足的全部条件。题目没有规定原组一定有解。 （能否因此断定，同时删去条件③、④后解集也不变？按第（问的结果分别说明。 A组　基础通关 A1　 关于的不等式中，为实数。 （能否选取使其解集为若能，求 （能否选取使其解集为说明理由。 A2　 关于的不等式的解集始终保持为 （应满足什么关系？ （若从变为应从多少变为多少？能否同时增加而保持解集不变？ A3　 关于的不等式为 （已知所有不满足这个不等式的数恰好为求及原不等式的解集。 （若只知道不满足原不等式，能否唯一确定求这时的范围。 A4　 关于的不等式的解集为求 A5　 已知关于的不等式组的解集中包含却不包含求的取值范围。 A6　 关于的不等式组的解集中，存在两个互为相反数且均不为的解。求的取值范围，并说明和为什么不符合。 A7　 在□内填入中的一个，使下面的不等式组恰好在时有解，在时无解。 写出所填符号，并写出时该组的解集。 A8　 关于的不等式中，为实数。 （求它有解时的取值范围，并写出此时的解集。 （能否选取使它的解集恰为说明理由。 A9　 关于的不等式组的解集中有最大的数，且这个数是求并判断是否在解集中。 A10　 已知且关于的不等式的解集为求 A11　 关于的不等式组总有解。 （若再添加条件要求解集保持不变，求的范围。 （若改为添加条件仍要求解集保持不变，求的范围。 A12　 甲组由组成，乙组由组成。 已知甲组无解，而乙组有解，求之间的关系，并写出乙组的解集。 B组　难点突破 B1　 按的取值分类，解关于的不等式 并说明：是否可能选取使是这个不等式的解？ B2　 关于的不等式的解集是一条向左的射线，即可写成的形式。 （求的取值范围，并用表示 （若又知道不是解，求的范围；这时能否为正数？ B3　 按的取值分类，解关于的不等式组。须单独检查与 B4　 实数满足另要求且 （用含的不等式表示的范围，并求这两个要求可以同时满足时的取值范围。 （若符合要求的的范围恰为求并写出相应的的范围。 B5　 两个关于的不等式为①② 已知恰好满足其中一个不等式的的全部取值范围是或 求的所有可能值，并分别说明中的数是同时满足两个不等式，还是两个都不满足。 B6　 关于的不等式组为 （求它有解时的取值范围，并判断有解时是否一定同时含有正数解和负数解。 （能否选取使该组有解且每一个解都非负？说明理由。 B7　 按的取值分类，写出关于的不等式组的解集，并指出何时恰有一个实数解。 B8　 不等式①为不等式②为 把不等式①的每一个解都减去得到的全部数恰好是不等式②的解。求 B9　 已知由组成的不等式组有解，且它的每一个解都满足求的取值范围。 B10　 关于的不等式组如下。已知对任意都是它的解。 （验证这一事实。 （若整组的解集恰为求的范围。 C组　方法进阶 C1　 按的取值完整分类，解关于的不等式组。注意与三个临界值。 C2　 （求所有这样的实数无论在内怎样取值，都有 （把条件改为“无论都有重新求的范围。 必须说明所得条件既必要又充分，不能只代入一个 C3　 已知考虑关于的三个要求： （若每给定一个允许的都能找到至少一个同时满足这三个要求，求的范围。不同可以选不同的 （若要求找到同一个使它对所有允许的都同时满足这三个要求，求的范围。 C4　 关于的不等式组如下，为实数。 已知此组有解，每一个解都非负；并且只要是它的解，也一定是它的解。求应满足的全部条件。 C5　 小林要使不等式的解集恰为他把代入并取等号，得到解得于是认定答案是 （指出错误，并判断是否存在符合原要求的 （若只要求是该不等式的一个解，求的范围。 （若把目标解集改为求 C6　 关于的不等式组的解集恰为求 解答中须说明各自是否可能。 C7　 在范围内，至少有一个数使成立，但并非这个范围内的每个都使它成立。求的全部取值范围。 C8　 考察三个条件：①②③ （求任意选两个条件组成的不等式组都有解时的范围。 （在本题中，只检查任意两个条件都有解，能否保证三个条件有公共解？说明理由，并求三个条件恰有一个实数公共解时的值及这个解。 D组　真题精选 D1　（2025·杭州公益中学八上期中·第14题选编） 不等式的解集恰为求常数 D2　（2025·诸暨暨阳初级中学八上期中·第5题选编） 对于不等式若其解集是则应满足（  ）。 　　 　　 　　 D3　（2025·杭州采荷中学八上期中·第8题选编） 下列不等式组的解集为的取值范围是（  ）。 　　 　　 　　 D4　（2025·海宁硖石中学八上期中·第9题选编） 要使下列不等式组的解集恰好是常数应满足（  ）。 　　 　　 　　 D5　（2025·宁波奉港中学八上期中·第6题选编） 下面的不等式组没有解，的范围是（  ）。 　　 　　 　　 D6　（2025·杭州江南实验学校八上期中·第9题选编） 方程的一个解为求不等式的解集（  ）。 　　 　　 　　 D7　（2025·杭州滨和中学八上期中·第16题选编（仅①②④）） 对下列关于的不等式组，判断①②④中哪些结论正确，并说明理由。 ①若解集为则 ②时，不等式组有解； ④只要不等式组有解，就有 D8　（2025·宁波东海实验学校八上期中·第23题（2）（3）选编） 若一个一元一次方程的解也满足某不等式组，就称这个方程是该不等式组的“相伴方程”。 （方程是不等式组的相伴方程，求的范围。 （方程和都是下列不等式组的相伴方程， 其中求的范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $