专题03 一元一次不等式（组）的应用 重难点题型专训 -2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题03一元一次不等式（组）的应用重难点题型专训（1个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、列一元一次不等式 1 题型二、用一元一次不等式解决实际问题 2 题型三、用一元一次不等式解决几何问题 3 题型四、列一元一次不等式组 4 题型五、不等式组的行程问题 5 题型六、不等式组的工程问题 6 题型七、不等式组的经济问题 7 题型八、不等式组的分配问题 8 题型九、不等式组的方案选择问题 9 题型十、不等式组的阶梯收费问题 10 题型十一、一元一次不等式组的其他应用 11 第二部分·练提高题型 题型一、新定义问题 1 题型二、一元一次不等式组的综合应用 2 第三部分・自我检测 知识点01 经济与方案问题 一．经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 【即时训练】 1．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段检测）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 2．（25-26八年级上·北京·课后作业）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 【基础题型一 列一元一次不等式】 【例1】（2026·河北邢台·二模）语句“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·山西太原·期中）某种商品的进价为元，标价元销售，商店准备打折销售，但要保持利润率不低于，设打折，则满足的不等式为____． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 2．（2026七年级·全国·模拟预测）七年级（）班在数学知识竞赛中获一等奖的人数占全班人数的，获二等奖的人数占全班人数的，获三等奖的人数占全班人数的，还有不足人未获奖，则七年级（）班共有学生_____名． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）根据下列条件进行计算． (1)与3的和不大于x与1的差的三倍，求x的取值范围； (2)小颖家有16亩稻田，往年平均每亩水稻产量约为，今年小颖家打算将一部分稻田改为种植蔬菜，若要保证今年水稻的总产量不低于，则小颖家最多可种植多少亩蔬菜？ 【基础题型二 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）某商店老板以每件80元购进一批熊猫主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于，若设该卫衣打折销售，则可列式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·浙江温州·阶段练习）有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“现在班中有一半的学生正在做数学作业，四分之一的学生做语文作业，七分之一的学生在做英语作业，还剩不足6位的学生在操场踢足球．”那么这个班至少有________学生． 1．（25-26七年级下·陕西安康·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”．经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某校团委组织135名学生去农博园研学，决定租用A、B两种型号的旅游车．已知一辆A型车可坐20人，一辆B型车可坐28人，经测算学校需要租用这两种型号的旅游车共6辆．学校至少要租用B型车多少辆？ 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市欲购A和B两种商品，每件A商品的进价比每件B商品的进价少10元，用同样的价钱可以购买20件A商品或购买15件B商品． (1)求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？ (2)超市购进商品时，恰逢厂家促销活动，每件A商品9折优惠，每件B商品降价4元，超市购进A，B两种商品共50件，且A商品以每件32元的价格售出，B商品以每件42元的价格售出，若要全部售出后所获得的利润不少于280元，求最多购进A商品多少件？ 3．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）课题小组在研究学生购餐时发现，售餐窗口开始前，约有200人排队等候，接下来，会不断有新同学加入购餐队伍，假设队伍中的学生每人买一份且买到后立即离开，食堂目前开放了3个窗口售餐，每分钟每个窗口出售20份餐； (1)售餐开始后，前分钟平均每分钟有30人进入食堂排队购餐，若分钟后排队等候的还剩为50人，请求出此时的值； (2)为缩短学生排队购饭时间，课题小组向学校建议可增设售餐窗口，若要售餐5分钟后，所有排队的学生都能买到饭，以便后来的同学随到随买，至少要增加几个窗口？ 【基础题型三 用一元一次不等式解决几何问题】 【例1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 1．（25-26八年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 2．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当时，________； (2)①点在上运动时，________．（用含的代数式来表示） ②若点为线段的中点，的面积为，用含的代数式表示（）． 当时，________． 当时，________． 当时，________．（所填结果均需化简） (3)若点从出发2秒后，点以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，点运动到达点后立即沿着原路原速返回到点．当与在运动的路线上相距不超过1时，请直接写出相应的取值范围． 【基础题型四 列一元一次不等式组】 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·全国·单元测试）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 2．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）班级组织研学，现有甲、乙两种客车：甲车载客30人，乙车载客20人．全班共120人，计划租车总数不超过5辆，全部坐满无空位． (1)设租甲车x辆，列出符合题意的不等式组； (2)求出所有可行租车方案． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【基础题型五 不等式组的行程问题】 【例1】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【例2】（25-26八年级上·全国·阶段练习）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________． 1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 2．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 【基础题型六 不等式组的工程问题】 【例1】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同. （1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ （2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来. 【例2】（2026·山东济宁·模拟预测）济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担.已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成． (1)求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？ (2)因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x<46，y<52，求甲、乙两队各做了多少天？ 1．（25-26七年级下·广东江门·期末）沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 2．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B的工作效率相同，且都为C队的2倍，若由一个工程队单独完成，C队比A队要多用10天．学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天时，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，A、B队提高的工作效率仍然都是C队提高的2倍．这样他们至少还需要3天才能完成整个维修任务． （1）求工程队A原来平均每天维修课桌的张数； （2）求工程队A提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围． 3．（25-26七年级下·福建福州·期末）某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 【基础题型七 不等式组的经济问题】 【例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 1．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）滨海小城计划建设一些共享单车租赁点．已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若小城计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？ 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 3．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．七年级1班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5千克，每平方米番茄每月可收获2.5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 【基础题型八 不等式组的分配问题】 【例1】（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有______________本． 1． （25-26七年级下·河南安阳·期末）把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分5个，则最后一个学生能分到苹果，但最多分3个．用不等式组的知识求出可能有几人和相应的苹果数． 2．（25-26七年级下·湖南永州·期中）某码头现有甲种货物和乙种货物．拟用A、B两种集装箱将其运走，已知甲种货物和乙种货物可装满一个A型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个B型集装箱，若共使用了50个集装箱，几种具体的运输方案？你会怎样设计？ 3．（24-25八年级上·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【基础题型九 不等式组的方案选择问题】 【例1】（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【例2】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）学校书法社团要购买甲、乙两种毛笔共支，甲种毛笔每支元，乙种毛笔每支元，总费用不超过元． (1)设购买甲种毛笔支，列出关于的不等式，并求的取值范围； (2)若甲种毛笔至少购买支，那么共有哪几种购买方案？哪种方案总费用最低？最低费用是多少元？ 1．（26-27八年级上·山东德州·阶段练习）通过市场招标，甲、乙、丙三个学校选择同一商店购买A，B两种品牌的教学设备，甲学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元；乙学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元． (1)A，B两种品牌的教学设备的单价分别是多少万元 (2)丙学校如果需要购买的A设备比B设备多台，且两种设备的总台数不少于台，购买的总费用不超过万元，那么丙学校有哪几种购买方案 2．（25-26七年级下·吉林松原·期末）为提升身体素质，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用的跳绳和毽子．经调查，已知2根跳绳和5个毽子共需90元，4根跳绳和7个毽子共需156元． (1)每根跳绳和每个毽子的价格各是多少元； (2)商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表： 优惠活动一（打折促销） 跳绳九折优惠，毽子八五折优惠 优惠活动二（买一赠一） 买一根跳绳赠送一个毽子 学校欲购买跳绳与毽子共50个，且计划购买的毽子个数不少于跳绳个数的4倍，若要使活动二更优惠，请通过计算策划购买方案． 3．（25-26七年级下·北京·期末）利用一元一次不等式（组）解决问题： 某汽车销售公司计划购买并销售A型和B型两种型号的新能源汽车共20辆，其中A型车至少10辆．这两款汽车每辆车的进价和售价如下表所示： 类型 进价（万元/辆） 售价（万元/辆） A型 27 27.8 B型 24.4 25.8 为了保证将这20辆车全部售出后，所得利润要超过20.5万元，那么该公司有哪几种购买方案，哪种购买方案的利润最大，最大利润是多少万元？请通过计算说明． 【基础题型十 不等式组的阶梯收费问题】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 1．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【基础题型十一 一元一次不等式组的其他应用】 【例1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）某校组织学生参加STEM教育教学竞赛的机器人编程挑战环节，需要将若干任务指令卡分配给参赛小组．若每个小组分配6张指令卡，还剩余15张；若每个小组分配7张指令卡，则最后一个小组有指令卡但不足3张，设参赛小组有x个，则下列列式正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）一些小朋友分一堆糖果，若每人3块，则余10块，若每人8块，则最后一人分得一些，但不足8块，那么这些小朋友的人数与这堆糖果的块数分别是______、______． 1．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）某班级一读书小组把一些书分给几名同学，如果每人分2本，那么剩余9本；如果前面的每名同学分4本，那么最后一个分到了书但是不到3本．这个读书小组共有多少名同学？                    2．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于319元，求他平均每天的送件数． 3．（25-26七年级下·广西南宁·期末）【问题】已知，且，试确定的取值范围． 【方法】由可知．由可知即，从而可以得到． 因为，所以由可得．即． 根据以上信息，解决下列问题： (1)已知，且，求的取值范围． (2)已知，且，设，求的最大值与最小值的差． (3)一家家具生产厂生产学生就餐使用的桌椅，1张桌子的售价比2把椅子贵40元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过50元，求出售一套桌椅（1张桌子+4把椅子）的定价范围． 【提高题型一 新定义问题】 【例1】（25-26七年级下·山东淄博·期末）定义运算[x]表示求不超过x的最大整数．如[0.3]＝0，[1.5]＝1，[﹣1.6]＝﹣2，[﹣2.2]＝﹣3．若[﹣1.5]•[2x﹣3]＝﹣6，则x的取值范围是（　　） A．4.5≤x＜5 B．3≤x＜3.5 C．3≤x≤3.5 D．4.5≤x≤5 【例2】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例：，，．如果，满足条件的所有整数x是__________． 1．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2． （1）[﹣π]＝__________； （2）如果[a]＝3，那么a的取值范围是__________； （3）如果[]＝﹣4，求满足条件的所有整数x； （4）直接写出方程6x﹣3[x]+7＝0的解． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则． 例如： 试解决下列问题： (1)填空：①_________（为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为_________； (2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围； (3)求满足的所有非负实数x的值． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期中）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n－≤x＜n＋，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n－≤x＜n＋．例如：＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3， ＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，… 试解决下列问题： (1)＜π＋2.4＞＝　 （π为圆周率）； (2)如果＜x﹣1＞＝4，求数x的取值范围； (3)求出满足＜x＞＝x﹣1的x的取值范围． 【提高题型二 一元一次不等式组的综合应用】 【例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·河南南阳·期中）在我们的平常生活中，药品是每个家庭常备用品之一，如图是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则的取值范围为_____． 1．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）工厂生产A、B两种零件，生产2个A零件、5个B零件共耗费原料；生产3个A零件、4个B零件耗费原料． (1)求单个A、B零件分别消耗原料多少千克； (2)现计划生产A、B共60个，原料总消耗不超过，且B零件数量不少于A零件数量的求共有几种生产方案． 2．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作． (1)如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的取值范围是多少？ (2)如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？ 3．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息，解决下列问题： (1)甲同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求甲同学分别接温水和开水所用的时间； (2)乙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积大于而不多于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 1．（25-26八年级下·河南开封·期末）“的5倍与2的和是非正数”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东青岛·课后作业）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 3．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）某乒乓球馆有两种计费方案：包场计费：包场每场每小时50元，每人要另付入场费5元；人数计费：每人打球2小时20元，继续打球每人每小时6元．李强和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们参与打球的人数至少为（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 4．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东·期末）小明一家在自驾游时，发现某高速路对行驶汽车的速度在正常情况下有如图规定．设小客车的速度为千米／小时，则在行车道②行驶速度应满足的条件是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·河南开封·期末）用不等式表示“的一半与4的差大于3”：___________． 7．（25-26七年级下·湖南·期中）的倍与的和大于，且的倍是非负数，列不等式组为________． 8．（24-25七年级下·重庆·期末）学校计划购买办公椅和会议桌共件，以改善教师办公环境．计划中，办公椅每把元，会议桌每张元，总预算元．实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折，会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的．最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量不变，实际支出比计划多元．则学校实际购买了办公椅___________把． 9．（2026·浙江杭州·模拟预测）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则a的取值范围是_____． 10．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    11．（25-26八年级上·全国·单元测试）根据下列数量关系，列出不等式． (1)x的3倍加上2的和大于． (2)4与x的5倍的和不大于6． (3)y的与的差小于y的2倍． 12．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）某草原服饰店准备购进一批两种不同款式的蒙古袍，已知购进A款蒙古袍3件和B款蒙古袍4件，共需670元；购进A款蒙古袍2件和B款蒙古袍5件，共需680元．销售一件A款蒙古袍可获利20元，销售一件B款蒙古袍可获利30元． (1)A、B两款蒙古袍的进价每件各是多少元？ (2)若已知购进A款蒙古袍的数量是B款蒙古袍数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且A款蒙古袍不多于28件，则该草原服饰店在这次进货中，共有哪几种方案？ 13．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 14．（25-26七年级下·四川眉山·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由， 得：（x，y为正整数）． 要使为正整数， 则为正整数，可知：x为3的倍数，从而， 代入． 所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解________； (2)若为整数，则满足条件的整数x的值为_______． (3)笔记本单价为3元，钢笔单价为5元，七年级某班为了奖励学习有进步的学生，花费35元购买奖品，问有哪几种购买方案？ 15．（25-26七年级下·北京·单元复习）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一元一次不等式（组）的应用重难点题型专训（1个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、列一元一次不等式 1 题型二、用一元一次不等式解决实际问题 2 题型三、用一元一次不等式解决几何问题 3 题型四、列一元一次不等式组 4 题型五、不等式组的行程问题 5 题型六、不等式组的工程问题 6 题型七、不等式组的经济问题 7 题型八、不等式组的分配问题 8 题型九、不等式组的方案选择问题 9 题型十、不等式组的阶梯收费问题 10 题型十一、一元一次不等式组的其他应用 11 第二部分·练提高题型 题型一、新定义问题 1 题型二、一元一次不等式组的综合应用 2 第三部分・自我检测 知识点01 经济与方案问题 一．经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 【即时训练】 1．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段检测）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键．设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式组，再根据为整数求出的值即可． 【详解】解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得： ， 解得： 又∵为整数， ∴，，， 故购买方案有种． 故选：A． 2．（25-26八年级上·北京·课后作业）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 【答案】购买方案有三种：甲种书柜8个，乙种书柜12个；甲种书柜9个，乙种书柜11个；甲种书柜10个，乙种书柜10个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 根据不等关系列出一元一次不等式组，求出解集，再根据整数解确定符合题意的方案． 【详解】解：设购买甲种书柜x个，则购买乙种书柜个，根据题意，得 ， 解得， 当时，； 当时，； 当时，． 所以一共有三种方案： 方案一：购买甲种书柜8个，乙种书柜12个； 方案而：购买甲种书柜9个，乙种书柜11个； 方案三：购买甲种书柜10个，乙种书柜10个． 【基础题型一 列一元一次不等式】 【例1】（2026·河北邢台·二模）语句“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先表示出与的差，可得. 再表示出差的倍，可得. ∵该式是非负数，即大于等于， ∴. 【例2】（25-26八年级下·山西太原·期中）某种商品的进价为元，标价元销售，商店准备打折销售，但要保持利润率不低于，设打折，则满足的不等式为____． 【答案】 【分析】设商品打折，根据利润率不低于，列出对应不等式即可． 【详解】解：设该商品打折， 由题意得： ． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是根据题意找出不等关系列出不等式． 设要跑，则步行时间为，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】解：设要跑，则步行时间为， ∵她步行每分钟可走，跑步每分钟可跑． ∴她跑步距离为，步行距离为， ∵总距离至少为，， ∴总距离需满足， 故选：B． 2．（2026七年级·全国·模拟预测）七年级（）班在数学知识竞赛中获一等奖的人数占全班人数的，获二等奖的人数占全班人数的，获三等奖的人数占全班人数的，还有不足人未获奖，则七年级（）班共有学生_____名． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式，设全班共有人，则，再根据必须是、和的公倍数即可求解，解题的关键是根据题意，列出不等式． 【详解】解：设全班共有人， 根据题意有， 解得， 因为必须是、和的公倍数，而、和的公倍数中小于的只有， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）根据下列条件进行计算． (1)与3的和不大于x与1的差的三倍，求x的取值范围； (2)小颖家有16亩稻田，往年平均每亩水稻产量约为，今年小颖家打算将一部分稻田改为种植蔬菜，若要保证今年水稻的总产量不低于，则小颖家最多可种植多少亩蔬菜？ 【答案】(1)x的取值范围是． (2)小颖家最多可种植4亩蔬菜． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及用一元一次不等式解决问题，解决本题的关键是熟练掌握由题意能列出不等式． （1）根据题意先列出不等式，再求出解集即可； （2）先根据题意列出不等式，再求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， x的取值范围是； （2）设小颖家将x亩稻田用于种植蔬菜， 由题意可得， 解得：， 小颖家最多可种植4亩蔬菜． 【基础题型二 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）某商店老板以每件80元购进一批熊猫主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于，若设该卫衣打折销售，则可列式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该卫衣打折销售，实际售价为，利润为，根据利润率是利润占进价的百分比，列出不等式即可． 【详解】解：设该卫衣打折销售， 则有． 【例2】（25-26八年级上·浙江温州·阶段练习）有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“现在班中有一半的学生正在做数学作业，四分之一的学生做语文作业，七分之一的学生在做英语作业，还剩不足6位的学生在操场踢足球．”那么这个班至少有________学生． 【答案】28 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、公倍数的应用，熟练掌握根据实际问题列不等式及求最小公倍数的方法是解题的关键． 设班级总人数为，根据题意表示出踢足球的学生人数．根据“踢足球的学生不足6人”列出不等式，求出的取值范围．结合必须是2、4、7的公倍数，求出满足条件的最小． 【详解】解：设该班有个学生． ， ∵， ∴， 是2、4、7的公倍数，且2、4、7的最小公倍数为28， ． 故答案为：28． 1．（25-26七年级下·陕西安康·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”．经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某校团委组织135名学生去农博园研学，决定租用A、B两种型号的旅游车．已知一辆A型车可坐20人，一辆B型车可坐28人，经测算学校需要租用这两种型号的旅游车共6辆．学校至少要租用B型车多少辆？ 【答案】学校至少要租用B型车2辆 【分析】此题考查一元一次不等式的应用，设学校租用x辆B型车，则租用辆型车，根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】解：设学校租用x辆B型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴的最小正整数值为2． 答：学校至少要租用B型车2辆． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市欲购A和B两种商品，每件A商品的进价比每件B商品的进价少10元，用同样的价钱可以购买20件A商品或购买15件B商品． (1)求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？ (2)超市购进商品时，恰逢厂家促销活动，每件A商品9折优惠，每件B商品降价4元，超市购进A，B两种商品共50件，且A商品以每件32元的价格售出，B商品以每件42元的价格售出，若要全部售出后所获得的利润不少于280元，求最多购进A商品多少件？ 【答案】(1)每件A种商品的进价为30元，每件B商品的进价为40元 (2)最多购进A商品20件 【分析】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设每件A种商品的进价为x元，则每件B商品的进价为元，然后根据题意可列方程进行求解； （2）设购进A商品m件，则购进B商品件，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设每件A种商品的进价为x元，则每件B商品的进价为元，由题意得： ， 解得：； ∴每件B商品的进价为元； 答：每件A种商品的进价为30元，每件B商品的进价为40元． （2）解：设购进A商品m件，则购进B商品件，由题意得： ， 解得：； 答：最多购进A商品20件． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）课题小组在研究学生购餐时发现，售餐窗口开始前，约有200人排队等候，接下来，会不断有新同学加入购餐队伍，假设队伍中的学生每人买一份且买到后立即离开，食堂目前开放了3个窗口售餐，每分钟每个窗口出售20份餐； (1)售餐开始后，前分钟平均每分钟有30人进入食堂排队购餐，若分钟后排队等候的还剩为50人，请求出此时的值； (2)为缩短学生排队购饭时间，课题小组向学校建议可增设售餐窗口，若要售餐5分钟后，所有排队的学生都能买到饭，以便后来的同学随到随买，至少要增加几个窗口？ 【答案】(1) (2)至少增加1个窗口 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据分钟后排队等候的还剩为50人，列出一元一次方程，求解即可； （2）设要增加m个窗口，根据要售餐5分钟后所有排队的学生都能买到饭，以便后来的同学随到随买，列出一元一次不等式，求出m的取值范围，再由m为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 解得． 答：的值为5． （2）解：设要增加m个窗口，依题意，得 ， 解得， ∵m为正整数， ∴m的最小值为1． 答：至少要增加1个窗口． 【基础题型三 用一元一次不等式解决几何问题】 【例1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 【详解】解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． 2．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】存在，t的取值范围为或 【分析】当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，分别根据的面积大于的面积的一半，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：存在，理由如下： 当点P在上，点Q在上，时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 当点P在上，点Q在上，当点P到达终点时，所需的时间为，即当时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 综上所述，当或时，的面积大于的面积的一半． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当时，________； (2)①点在上运动时，________．（用含的代数式来表示） ②若点为线段的中点，的面积为，用含的代数式表示（）． 当时，________． 当时，________． 当时，________．（所填结果均需化简） (3)若点从出发2秒后，点以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，点运动到达点后立即沿着原路原速返回到点．当与在运动的路线上相距不超过1时，请直接写出相应的取值范围． 【答案】(1)1 (2)①；②，， (3)，， 【分析】（1）先根据路程=速度时间求出的长度，然后利用已知条件即可求出的长度． （2）先根据的取值范围分别判断点的位置，画出，根据面积法利用即可表示出每种情况对应的面积． （3）将点分三种情况讨论，分别是到达之前，到达返回未到达点时，到达终点时，根据三种情况分别列不等式，求出对应解集即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ． （2）解：①当点在上运动时，点运动的路程为， ， 四边形为长方形， ， ． ②当时，点在上，如图所示，则， 的高和的长度相等，即是4， ． 当时，点在线段上，如图所示， 则，， 是中点，为长方形，， ， ， 当时，点在线段上，如图所示， 则 ，， ． （3）解：比先出发秒，的速度为每秒3个单位， 的路程为． ①当点未到达点时，且点未到达点时，如图所示， 由第一个图可知，，， ， 由第二个图可知，，则， ， ， ， 根据题意列不等式得，，解得． ②当点到达点返回时还没有到达点，且点还没有到达点，如图所示， 由第一个图可知，，， ， 由第二个图可知，，，， ， ， 根据题意列不等式得，，解得． ③当点到达点返回到点时，且点未到达，如图所示， 由图可知，， ， ， ， ． 当点到达点返回到点时，且点到达时，， ． 【基础题型四 列一元一次不等式组】 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·全国·单元测试）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________． 【答案】 【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解． 【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为： 最后一个同学最多分得3个， 则，即． 故答案为． 【点睛】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 【答案】 【分析】如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打，就有；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人，就有即可． 【详解】解：设篮球数为x，根据题意可得：， 解得： ， 【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确列出满足题意的不等式是解题的关键． 2．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）班级组织研学，现有甲、乙两种客车：甲车载客30人，乙车载客20人．全班共120人，计划租车总数不超过5辆，全部坐满无空位． (1)设租甲车x辆，列出符合题意的不等式组； (2)求出所有可行租车方案． 【答案】(1) (2)租甲车2辆，乙车3辆或租甲车4辆，乙车0辆 【分析】（1）由甲车数量为非负数，乙车数量为非负数，租车总数不超过5辆，三个不等关系列出不等式组； （2）解出不等式组，并由为非负整数，写出所有情况． 【详解】（1）略 （2） 不等式组的解集为 x为非负整数，，3，4 方案1：甲2辆，乙3辆 方案2：甲3辆，乙1.5辆(舍去，车辆整数) 方案3：甲4辆，乙0辆 可行方案∶租甲车2辆，乙车3辆或租甲车4辆，乙车0辆． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 【基础题型五 不等式组的行程问题】 【例1】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·全国·阶段练习）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 2．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 【答案】(1)①不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒；②， (2) 【分析】（1）先求A到B的时间：，推导出不能全程绿灯通过，继而求出在B路口等待红灯时间：，B到C的时间：，则总时间为，即可解答； ②先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①A到B的时间：， A路口秒绿灯，秒红灯． 汽车36秒到达B路口，遇到红灯， 因此不能全程绿灯通过； 在B路口等待红灯时间：， B到C的时间：， 总时间： 答：不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒． ②B路口绿灯比A晚x秒亮起，绿灯时间段为至． 汽车36秒到达B路口，B路口为绿灯， ∴，解得， ∵， ∴x的取值范围是：， C路口绿灯每次都延迟，因此： 第1次绿灯：， 第2次绿灯：， 汽车到达C路口的时间：， 由题意，100秒在第二次绿灯内， ∴， 解得， ∵， ∴y的取值范围是； （2）解：B比A晚24秒绿灯，B路口的绿灯时段：， 对B路口：， 解得， C比A晚15秒绿灯， 因此： C路口的第1次绿灯：， C路口的第2次绿灯：，即 A到C总路程：， 对C路口： ， 解得， ∵， ∴． 【基础题型六 不等式组的工程问题】 【例1】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同. （1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ （2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来. 【答案】（1）甲、乙工程队每天分别能铺设米和米. （2）所以分配方案有3种． 方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米． 【分析】（1）设甲工程队每天能铺设x米．根据甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同，列方程求解； （2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000-y）米．根据完成该项工程的工期不超过10天，列不等式组进行分析． 【详解】（1）解：设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设（）米. 根据题意得：.解得. 检验:是原分式方程的解. 答：甲、乙工程队每天分别能铺设米和米. （2）解：设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队（）米. 由题意，得 解得． 所以分配方案有3种． 方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米． 【例2】（2026·山东济宁·模拟预测）济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担.已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成． (1)求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？ (2)因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x<46，y<52，求甲、乙两队各做了多少天？ 【答案】(1)乙工程队单独做需要80天完成； (2)甲队做了45天，乙队做了50天． 【分析】（1）根据“甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成”，设乙工程队单独完成这项工作需要x天，列出方程求解即可； （2）因为甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，可得到方程，再根据x<46，y<52，得到方程组，其中x、y均为正整数，解此方程组即可得到答案． 【详解】（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，由题意得 ，解之得x=80.· 经检验x=80是原方程的解. 答：乙工程队单独做需要80天完成； （2）因为甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天， 所以，即， 又∵x<46，y<52， ∴， 解得42<x<46， ∵x、y均为正整数， ∴x=45，y=50． 答：甲队做了45天，乙队做了50天． 【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式（组）的应用．根据题意找出数量关系，列出等式或不等式（组）是解题关键． 1．（25-26七年级下·广东江门·期末）沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 【答案】（1）甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌；（2）甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元 【分析】（1）设乙小组每天各维修x张旧课桌，根据题意列出方程即可求出答案； （2）分别计算甲乙单独完成该项工作的天数，设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌，根据题意可列出关于m的一元一次不等式组，得出m的值即可得出答案． 【详解】（1）设乙小组每天维修x张旧课桌， ∴甲小组每天维修1.5x张旧课桌， 根据题意可知： ， 解得：x＝24， 经检验，x＝24是原分式方程的解， 答：甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌； （2）由甲单独负责，此时完成工作需要＝10天，需要费用为10×800＝8000元， 由乙单独负责，此时完成工作需要＝15天，需要费用为15×400＝6000元， 故由甲或乙单独负责该项目都不符合题意，需要考虑甲乙合作完成， 设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌， ∴， 解得：m＝216， 此时学校需要付费为：800×+400×＝7200元 答：由甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元． 【点睛】本题考查分式方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确找出等量关系列出方程． 2．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B的工作效率相同，且都为C队的2倍，若由一个工程队单独完成，C队比A队要多用10天．学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天时，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，A、B队提高的工作效率仍然都是C队提高的2倍．这样他们至少还需要3天才能完成整个维修任务． （1）求工程队A原来平均每天维修课桌的张数； （2）求工程队A提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围． 【答案】（1）A队原来平均每天维修课桌60张；（2）6≤2y≤28． 【分析】中考中的不等式一般是和方程一块考查的．类型有方案等．一般为利用方程求量，然后用所求的量在自变量取值范围内求解． 【详解】解：⑴ 设C队原来平均每天维修课桌x张， 根据题意得：， 解这个方程得：x=30， 经检验x=30是原方程的根且符合题意， 2x=60 答：A队原来平均每天维修课桌60张． ⑵ 设C队提高工效后平均每天多维修课桌x张， 施工2天时，已维修（60+60+30）×2=300（张）， 从第3天起还需维修的张数应为（300+360）=660（张） 根据题意得：3(2x+2x+x+150)≤660≤4(2x+2x+x+150) 解这个不等式组得:3≤x≤14 ∴6≤2x≤28 答：A队提高工效后平均每天多维修的课桌张数的取值范围是：6≤2x≤28 3．（25-26七年级下·福建福州·期末）某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 【答案】(1)A队施工12天，B队施工15天 (2)A队至多施工12天 (3)A工程队施工天数为16天 【分析】（1）设A队施工天，则B队施工天，由题意得：，然后进行求解即可； （2）设队施工天，B队施工天，由题意得：，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设A队施工天，则B队施工天，由题意得： ， 解得：； 答：A队施工12天，B队施工15天 （2）解：设队施工天，B队施工天，由题意得： ， ∴， ∵完工时队施工天数少于队， ∴， 解得：， ∵是正整数，且是的倍数， ∴的最大值为； 答：A队至多施工12天 （3）解：由题意得： ， 得：， ∴， ∵，即，， ∴， 解得：， ∵取正整数， ∴， 答：A工程队施工天数为16天． 【基础题型七 不等式组的经济问题】 【例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，设购买A型污水处理设备a台，则设购买B型污水处理设备台，根据购买资金不超过106万元可得，根据污水处理量不低于1930吨可得，据此可得答案． 【详解】解：设购买A型污水处理设备a台， 由题意得，， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）滨海小城计划建设一些共享单车租赁点．已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若小城计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？ 【答案】有3种建设方案 【分析】设建设个大型租赁点，则建设个小型租赁点，根据题意列不等式求出范围，找出其中的正整数解即可求解． 【详解】解：设建设个大型租赁点，则建设个小型租赁点． 根据题意，得     解得，     又因为为正整数，所以可以取1，2，3．    因此，共有3种建设方案： ①建设1个大型租赁点，7个小型租赁点； ②建设2个大型租赁点，6个小型租赁点； ③建设3个大型租赁点，5个小型租赁点． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 【答案】25个 【分析】根据题目中的两个不等关系列出不等式组，求解后取x的最大值即可得到结果． 【详解】解：设购买A品牌足球的数量为，则购买B品牌足球的数量为 个， 根据题意列不等式组 ， 解第①个不等式得：， 解第②个不等式得：， 因此不等式组的解集为：， 所以的最大值为． 答：学校最多买25个A品牌的足球． 3．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．七年级1班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5千克，每平方米番茄每月可收获2.5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 【答案】(1)每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元 (2)3平方米和4平方米 【分析】（1）设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元； （2）解：设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米， 根据题意得： 解得：， 因为t为正整数， 所以或， 即黄瓜种植面积的所有可能整数值为3平方米和4平方米． 【基础题型八 不等式组的分配问题】 【例1】（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有______________本． 【答案】36 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分7本，那么最后一人就分不到3本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， ， 当时， 故答案为：36． 1．（25-26七年级下·河南安阳·期末）把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分5个，则最后一个学生能分到苹果，但最多分3个．用不等式组的知识求出可能有几人和相应的苹果数． 【答案】学生5人，苹果23个或学生6人，苹果27个或学生7人，苹果31个 【分析】设学生人数为人，则苹果有个，解不等式组，取整数值即可解决问题． 【详解】解:设学生人数为，则苹果有个, 依题意得， 解得， 学生人数为整数， ，苹果数为（个）， ，苹果数为（个）， ，苹果数为（个）． 答：学生5人，苹果23个或学生6人，苹果27个或学生7人，苹果31个． 2．（25-26七年级下·湖南永州·期中）某码头现有甲种货物和乙种货物．拟用A、B两种集装箱将其运走，已知甲种货物和乙种货物可装满一个A型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个B型集装箱，若共使用了50个集装箱，几种具体的运输方案？你会怎样设计？ 【答案】共有3种运输方案，具体方案为：①A型集装箱28个，B型集装箱22个；②A型集装箱29个，B型集装箱21个；③A型集装箱30个，B型集装箱20个． 【分析】设安排A中集装箱个，则安排B中集装箱个，根据题意建立不等式组，然后求出其解集，根据解集就可以确定装运方案． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，； 当时，； 当时，． 故有三种运输方案： 方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 3．（24-25八年级上·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)型机器人的进价为4500元；型机器人的进价为3000元； (2)商场应购买型机器人3台，型机器人2台，总费用为19500元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式即可． 【详解】（1）解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元． 【基础题型九 不等式组的方案选择问题】 【例1】（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 【例2】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）学校书法社团要购买甲、乙两种毛笔共支，甲种毛笔每支元，乙种毛笔每支元，总费用不超过元． (1)设购买甲种毛笔支，列出关于的不等式，并求的取值范围； (2)若甲种毛笔至少购买支，那么共有哪几种购买方案？哪种方案总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)不等式为，的取值范围是且为整数. (2)共有种购买方案： 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 购买甲种毛笔支、乙种毛笔支的方案总费用最低，最低费用为元. 【分析】（1）根据购买毛笔总费用不超过元列出一元一次不等式，结合实际意义确定的取值范围； （2）结合甲种毛笔至少购买支的条件，确定可取的整数，列出全部购买方案；列出总费用关于的函数，利用一次函数的增减性求出最低总费用. 【详解】（1）解：设购买甲种毛笔支，则购买乙种毛笔支， 根据 “总费用不超过元”，总费用甲种毛笔总费用乙种毛笔总费用， 可列不等式：， ， ， ， ， 结合实际意义：毛笔支数不能为负数， ，且为整数（毛笔数量为非负整数）， 则的取值范围：且为整数； （2）解：已知“甲种毛笔至少购买支”，即， 结合（1）的结论，且为整数，可得可取、、、、、，共种购买方案： 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支 设总费用为元，则总费用的表达式为：， ， 随的增大而增大， 当取最小值时，总费用最低， 代入计算最低费用：（元）， 答：共有种购买方案；购买甲种毛笔支、乙种毛笔支的方案总费用最低，最低费用为元． 1．（26-27八年级上·山东德州·阶段练习）通过市场招标，甲、乙、丙三个学校选择同一商店购买A，B两种品牌的教学设备，甲学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元；乙学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元． (1)A，B两种品牌的教学设备的单价分别是多少万元 (2)丙学校如果需要购买的A设备比B设备多台，且两种设备的总台数不少于台，购买的总费用不超过万元，那么丙学校有哪几种购买方案 【答案】(1)A种品牌教学设备的单价为1.6万元，B种品牌教学设备的单价为1.4万元． (2)丙学校共有2种购买方案： 方案1：购买A设备7台，B设备5台； 方案2：购买A设备8台，B设备6台． 【分析】（1）设A种品牌教学设备的单价为x万元，B种品牌教学设备的单价为y万元，根据“甲学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元；乙学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元”列方程组求解即可； （2）设丙学校购买B种设备m台，则购买A种设备台. 根据题意列不等式组，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设A种品牌教学设备的单价为x万元，B种品牌教学设备的单价为y万元，根据题意，得 ， 解得． 答：A种品牌教学设备的单价为1.6万元，B种品牌教学设备的单价为1.4万元． （2）解：设丙学校购买B种设备m台，则购买A种设备台. 根据题意得， 由①得， 由②得， ∴． ∵m为正整数， ∴或． 当时，；当时，． 综上，丙学校共有2种购买方案： 方案1：购买A设备7台，B设备5台； 方案2：购买A设备8台，B设备6台． 【点睛】 2．（25-26七年级下·吉林松原·期末）为提升身体素质，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用的跳绳和毽子．经调查，已知2根跳绳和5个毽子共需90元，4根跳绳和7个毽子共需156元． (1)每根跳绳和每个毽子的价格各是多少元； (2)商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表： 优惠活动一（打折促销） 跳绳九折优惠，毽子八五折优惠 优惠活动二（买一赠一） 买一根跳绳赠送一个毽子 学校欲购买跳绳与毽子共50个，且计划购买的毽子个数不少于跳绳个数的4倍，若要使活动二更优惠，请通过计算策划购买方案． 【答案】(1)每根跳绳25元，每个毽子8元 (2)解：设购买根跳绳，则购买个毽子，由题意，得： 优惠活动一：元， 优惠活动二：元， 由题意，得，解得， 取整数， ，， 有两种方案： 方案一：跳绳9根，毽子41个； 方案二：跳绳10根，毽子40个． 【分析】（1）设每根跳绳元，每个毽子元，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设购买根跳绳，则购买个毽子，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可. 【详解】（1）解：设每根跳绳元，每个毽子元，由题意，得 ，解得； 答：每根跳绳25元，每个毽子8元； （2）略 3．（25-26七年级下·北京·期末）利用一元一次不等式（组）解决问题： 某汽车销售公司计划购买并销售A型和B型两种型号的新能源汽车共20辆，其中A型车至少10辆．这两款汽车每辆车的进价和售价如下表所示： 类型 进价（万元/辆） 售价（万元/辆） A型 27 27.8 B型 24.4 25.8 为了保证将这20辆车全部售出后，所得利润要超过20.5万元，那么该公司有哪几种购买方案，哪种购买方案的利润最大，最大利润是多少万元？请通过计算说明． 【答案】A型新能源汽车一辆车的利润为（万元）， B型新能源汽车一辆车的利润为（万元）， 设购买A型新能源汽车x辆，B型新能源汽车辆， 根据题意得，， 解得， ∴x可以为10，11，12， ∴分别为10，9，8， ∴共有3种购买方案：①购买A型10辆，B型10辆，利润为（万元）； ②购买A型11辆，B型9辆，利润为（万元）； ③购买A型12辆，B型8辆，利润为（万元）； ∵∴购买A型10辆，B型10辆利润最大，最大利润是22万元． 答：共有3种购买方案：①购买A型10辆，B型10辆；②购买A型11辆，B型9辆；③购买A型12辆，B型8辆；购买A型10辆，B型10辆利润最大，最大利润是22万元 【分析】首先求出A型新能源汽车和B型新能源汽车一辆车的利润，然后设购买A型新能源汽车x辆，B型新能源汽车辆，根据题意列不等式组求出，然后根据x为正整数分情况求解比较即可． 【详解】略 【基础题型十 不等式组的阶梯收费问题】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 【例2】（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 1．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【基础题型十一 一元一次不等式组的其他应用】 【例1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）某校组织学生参加STEM教育教学竞赛的机器人编程挑战环节，需要将若干任务指令卡分配给参赛小组．若每个小组分配6张指令卡，还剩余15张；若每个小组分配7张指令卡，则最后一个小组有指令卡但不足3张，设参赛小组有x个，则下列列式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出指令卡总数量，再根据最后一个小组的卡片数量范围列出不等式组即可． 【详解】∵参赛小组共有个，每个小组分张剩余张， ∴指令卡总数量为张， 若每个小组分配张，仅最后一个小组不足张， 则前个小组共分配张， 最后一个小组分得的指令卡数量为张， ∵题目要求最后一个小组有指令卡但不足张， ∴可得不等式组． 【例2】（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）一些小朋友分一堆糖果，若每人3块，则余10块，若每人8块，则最后一人分得一些，但不足8块，那么这些小朋友的人数与这堆糖果的块数分别是______、______． 【答案】 【分析】设小朋友人数为，根据题意表示出糖果总数，结合最后一人分得糖果数的范围列出不等式组，根据为正整数求解，再计算糖果总数即可； 【详解】解：设小朋友的人数为，则这堆糖果的总块数为块， 根据题意可得：，化简不等式得，即， 解得， 因为为正整数，所以， 将代入得糖果总数为块． 1．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）某班级一读书小组把一些书分给几名同学，如果每人分2本，那么剩余9本；如果前面的每名同学分4本，那么最后一个分到了书但是不到3本．这个读书小组共有多少名同学？ 【答案】6名 【分析】设同学人数为未知数，根据“每人分2本剩余9本”的条件，用含未知数的代数式表示出书的总数量．分析第二种分书情况：前面的同学每人分4本，那么最后一名同学分到的书的数量等于总书数减去前面同学分得的书数，因为最后一人分到了书且不到3本，所以该数量大于或等于１且小于3，据此列出一元一次不等式组．解不等式组，结合人数为正整数的实际意义，确定符合条件的未知数的值． 【详解】解：设这个读书小组共有名同学，根据题意列不等式得：                    解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为          为正整数 这个读书小组共有6名同学． 2．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于319元，求他平均每天的送件数． 【答案】(1)快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； (2)他平均每天的送件数是160件或161件或162件． 【分析】（1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，由题意列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件，由题意列一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元， 根据题意得， 解得， 答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； （2）解：设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件， 根据题意得， 解得， ∵是正整数， ∴的值为160，161，162， 答：他平均每天的送件数是160件或161件或162件． 3．（25-26七年级下·广西南宁·期末）【问题】已知，且，试确定的取值范围． 【方法】由可知．由可知即，从而可以得到． 因为，所以由可得．即． 根据以上信息，解决下列问题： (1)已知，且，求的取值范围． (2)已知，且，设，求的最大值与最小值的差． (3)一家家具生产厂生产学生就餐使用的桌椅，1张桌子的售价比2把椅子贵40元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过50元，求出售一套桌椅（1张桌子+4把椅子）的定价范围． 【答案】(1) (2) (3) 一套桌椅定价范围为不少于元，不超过元 【分析】（1）先表示出，再结合可得，然后得出，接下来根据可得，则此题可解； （2）先表示出，再根据可得，然后整理得出，进而得出，则此题可解； （3）先设一把椅子的售价为x元，则一张桌子的售价为元，根据题意得出不等式组，并求出解集，再得出一套桌椅的定价为，并求出取值范围即可得出答案． 【详解】（1）解：已知，则， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 由， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 由， ∴， ∴， ∴t的最大值为，最小值为， 所以最大值与最小值的差为； （3）解：设一把椅子的售价为x元，则一张桌子的售价为元，根据题意，得 ， 解得， 一套桌椅的定价为， ∵， ∴， ∴， 所以出售一套桌椅的定价的范围不少于280元，不超过340元． 【提高题型一 新定义问题】 【例1】（25-26七年级下·山东淄博·期末）定义运算[x]表示求不超过x的最大整数．如[0.3]＝0，[1.5]＝1，[﹣1.6]＝﹣2，[﹣2.2]＝﹣3．若[﹣1.5]•[2x﹣3]＝﹣6，则x的取值范围是（　　） A．4.5≤x＜5 B．3≤x＜3.5 C．3≤x≤3.5 D．4.5≤x≤5 【答案】B 【分析】根据题意得出﹣2•[2x﹣3]＝﹣6，即[2x﹣3]＝3，据此可得3≤2x﹣3＜4，解之即可． 【详解】解：根据题意，得：﹣2•[2x﹣3]＝﹣6， ∴[2x﹣3]＝3， 则3≤2x﹣3＜4， 解得3≤x＜3.5， 故选：B． 【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意得到不等式组进行求解． 【例2】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例：，，．如果，满足条件的所有整数x是__________． 【答案】， 【分析】根据符号表示不大于的最大整数，据此可得出的范围列出不等式，求解不等式的解集，求整数解即可． 【详解】解：由定义可知：， 解得： 整数有，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，能根据符号的运算规律，列出不等式组是解决本题的关键． 1．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2． （1）[﹣π]＝__________； （2）如果[a]＝3，那么a的取值范围是__________； （3）如果[]＝﹣4，求满足条件的所有整数x； （4）直接写出方程6x﹣3[x]+7＝0的解． 【答案】（1）﹣4；（2）3≤a＜4；（3）x=-7，-6，-5；（4）x＝﹣或x＝﹣ 【分析】（1）由定义直接得出即可； （2）根据[a]＝2，得出2≤a＜3，求出a的解即可； （3）根据题意得出−4≤＜−3，求出x的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解； （4）整理得出[x]＝，方程右边式子为整数，表示出x只能为负数，得出x−1＜＜x，求出x的取值范围，确定出方程的解即可． 【详解】解:（1）[﹣π]＝﹣4； 故答案为：-4； （2）[a]＝3，∴a的取值范围是3≤a＜4； 故答案为：3≤a＜4； （3）∵[]＝﹣4 ∴ 化简得 ∴所有整数x为-7,-6,-5; （4）由6x﹣3[x]+7＝0得[x]＝， 所以为整数，则（7+6x）为3的倍数， 即x＝（n为整数） 又x﹣1＜＜x， 解得﹣＜x＜﹣； 易知n＝﹣3时，3n﹣7＝﹣16符合要求， n＝﹣4时，3n﹣7＝﹣19符合要求， 所以x＝﹣或x＝﹣. 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则． 例如： 试解决下列问题： (1)填空：①_________（为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为_________； (2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围； (3)求满足的所有非负实数x的值． 【答案】(1)①3；②3.5≤x＜4.5； (2)1.5≤a＜2.5； (3)0，，． 【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π＞的值； ②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围； （2）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围； （3）利用＜x＞设，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可． 【详解】（1）①由题意可得：＜π＞=3； 故答案为：3， ②∵＜x-1＞=3， ∴2.5≤x-1＜3.5 ∴3.5≤x＜4.5； 故答案为：3.5≤x＜4.5； （2）解不等式组得：-1≤x＜＜a＞， 由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2， 故1.5≤a＜2.5； （3）∵x≥0，为整数， 设=k，k为整数，则x=k， ∴＜k＞=k， ∴k-≤k＜k+，k≥0， ∴0≤k≤2， ∴k=0，1，2， 则x=0，，． 【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期中）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n－≤x＜n＋，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n－≤x＜n＋．例如：＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3， ＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，… 试解决下列问题： (1)＜π＋2.4＞＝　 （π为圆周率）； (2)如果＜x﹣1＞＝4，求数x的取值范围； (3)求出满足＜x＞＝x﹣1的x的取值范围． 【答案】(1)6 (2)4.5≤x＜5.5 (3)x=，，4，， 【分析】（1）利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π+2.4＞的值； （2）利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围； （3）利用＜x＞，设，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得：＜π+2.4＞＝6； 故答案为：6， （2）解：∵＜x﹣1＞＝4， ∴3.5≤x﹣1＜4.5， ∴4.5≤x＜5.5； ∴x的取值范围为：4.5≤x＜5.5； （3）解：∵x≥0，x﹣1为整数，设x＝k，k为整数，则x=k， ∴<k＞＝k﹣1， ∴， ∴<k≤， ∴k＝3，4，5，6，7， 则x=，，4，，． 【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键． 【提高题型二 一元一次不等式组的综合应用】 【例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于95，第二次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴， 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·河南南阳·期中）在我们的平常生活中，药品是每个家庭常备用品之一，如图是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】要确定每天服用药品剂量的取值范围，需分别计算每日最小剂量和每日最大剂量：最小剂量为每次最小用量每日最少服用次数，最大剂量为每次最大用量每日最多服用次数． 【详解】解：由题意可知： 每次服用剂量范围：， 每日服用次数：次， 每日最小剂量：； 每日最大剂量：， 因此每天服用这种药品的剂量的取值范围为． 1．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）工厂生产A、B两种零件，生产2个A零件、5个B零件共耗费原料；生产3个A零件、4个B零件耗费原料． (1)求单个A、B零件分别消耗原料多少千克； (2)现计划生产A、B共60个，原料总消耗不超过，且B零件数量不少于A零件数量的求共有几种生产方案． 【答案】(1)生产单个A零件消耗原料，生产单个B零件消耗原料； (2)共有7种生产方案． 【分析】（1）设生产单个A零件消耗原料，生产单个B零件分别消耗原料，依题意列出方程组，求解即可； （2）设生产A零件个，则生产B零件个，依题意列出不等式组，求出的取值范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：设生产单个A零件消耗原料，生产单个B零件消耗原料，依题意得： ， 解得：， 答：生产单个A零件消耗原料，生产单个B零件消耗原料； （2）解：设生产A零件个，则生产B零件个，依题意得： ， 解得：， ∵为整数， ∴的取值为，共种， 答：共有7种生产方案． 2．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作． (1)如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的取值范围是多少？ (2)如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据运算程序列不等式求出的取值范围； （2）根据运算程序列不等式组求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：； （2）解：根据题意可得：， 解得：． 3．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息，解决下列问题： (1)甲同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求甲同学分别接温水和开水所用的时间； (2)乙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积大于而不多于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 【答案】(1)甲同学接温水的时间为，接开水的时间为； (2)应接或的开水 【分析】（1）设甲同学接温水的时间为，接开水的时间为，根据接水得到一杯的水建立方程组求解即可； （2）根据最后杯中水的体积大于而不多于建立不等式组求出a的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲同学接温水的时间为，接开水的时间为， 由题意得，， 解得， 答：甲同学接温水的时间为，接开水的时间为； （2）解：由题意得，， 解得， ∵a为整数， ∴a的值为11或12， 答：应接或的开水． 1．（25-26八年级下·河南开封·期末）“的5倍与2的和是非正数”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】拆解题目描述，结合非正数的定义转化为不等式即可； 【详解】解：∵的5倍为，的5倍与2的和为， 又∵非正数的定义为小于或等于的数， ∴可列不等式为． 2．（25-26七年级下·山东青岛·课后作业）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据“购买这批仪器需花62元，但经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．列方程组可得，再由，得到关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据题意得： ， 由得：， 解得：， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大取5， 答：A种仪器最多可买5件． 故选：D 3．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）某乒乓球馆有两种计费方案：包场计费：包场每场每小时50元，每人要另付入场费5元；人数计费：每人打球2小时20元，继续打球每人每小时6元．李强和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们参与打球的人数至少为（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】设参与打球的人数为，分别计算两种计费方案的总费用，根据包场计费比人数计费便宜列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小正整数即可． 【详解】解：设参与打球的人数为， ∴包场总费用为（元）， ∴每人总费用为（元），人总费用为元， 根据题意得，， 解得， ∵人数为正整数， ∴x的最小值为8， ∴参与打球的人数至少为8． 4．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式组的应用，某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压，“至少得赚回利润1100元”指的是最终销售额需要覆盖最初积压的全部资金(元)，并在此基础上盈利1100元，因此对最终销售额的最低要求为元；设商店应该将这批新进货高出买进价的卖出，则实际出售商品的收入为；商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货，则以零售价出售的收入为；且满足：最少收入实际出售商品的收入以零售价出售的收入，代入求解即可． 【详解】解：设新进货应高出进价的， 由题意得，则， 解得：， 故选：D． 5．（25-26七年级下·山东·期末）小明一家在自驾游时，发现某高速路对行驶汽车的速度在正常情况下有如图规定．设小客车的速度为千米／小时，则在行车道②行驶速度应满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意白底圈内数字是该车道最高限速，深色标识的数字是该车道最低限速，据此可得答案； 【详解】解：由题意得． 6．（25-26七年级下·河南开封·期末）用不等式表示“的一半与4的差大于3”：___________． 【答案】 【分析】先表示出“的一半”，再表示出“与4的差”，即可根据不等关系列出不等式． 【详解】解：由题意得，“的一半”为，“与4的差”为，不等关系为大于3， 因此可得不等式． 7．（25-26七年级下·湖南·期中）的倍与的和大于，且的倍是非负数，列不等式组为________． 【答案】 【分析】根据题意可得不等式，，再联立两个不等式即可． 【详解】解：根据题意， 可得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题关键是理解题意，抓住题目中的关键词语． 8．（24-25七年级下·重庆·期末）学校计划购买办公椅和会议桌共件，以改善教师办公环境．计划中，办公椅每把元，会议桌每张元，总预算元．实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折，会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的．最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量不变，实际支出比计划多元．则学校实际购买了办公椅___________把． 【答案】或或或或 【分析】先列方程求出原计划办公椅和会议桌的购买数量，再设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元，根据题意列出等式，变形得，由题意可知，从而得到关于的不等式，求解并判断其中的整数解即可． 【详解】解：设原计划购买办公椅把，则计划购买会议桌张， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴会议桌购买数量为（张）， 设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元， 根据题意可得：， ∴， ∵会议桌降价幅度不超过原价的， ∴，即， ∴， 解得， ∵是整数， ∴， ∴，，，，， ∴学校实际购买了办公椅为或或或或把． 9．（2026·浙江杭州·模拟预测）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】第一次敲进长度为，第二次敲进长度为，第三次敲进长度最大值为，根据前两次敲进长度之和小于铁钉总长度，前两次敲进长度与第三次敲进长度的最大值之和大于等于铁钉总长度，列一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 解得． 的取值范围是． 10．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）根据下列数量关系，列出不等式． (1)x的3倍加上2的和大于． (2)4与x的5倍的和不大于6． (3)y的与的差小于y的2倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，根据关键词得到相应的关系式是解题的关键． （1）根据关系式x的3倍加2大于列不等式即可； （2）根据关系式为4加x的5倍小于等于6列不等式即可； （3）根据关系式为：减去小于列不等式即可. 【详解】（1）解：∵x的3倍为, ∴x的3倍加上2的和为， ∴x的3倍加上2的和大于列出的不等式为：. （2）解：∵x的5倍为, ∴4与x的5倍的和为, ∴4与x的5倍的和不大于6列出的不等式为. （3）解：∵y的为， ∴y的与的差为， ∴y的与的差小于y的2倍的不等式为. 12．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）某草原服饰店准备购进一批两种不同款式的蒙古袍，已知购进A款蒙古袍3件和B款蒙古袍4件，共需670元；购进A款蒙古袍2件和B款蒙古袍5件，共需680元．销售一件A款蒙古袍可获利20元，销售一件B款蒙古袍可获利30元． (1)A、B两款蒙古袍的进价每件各是多少元？ (2)若已知购进A款蒙古袍的数量是B款蒙古袍数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且A款蒙古袍不多于28件，则该草原服饰店在这次进货中，共有哪几种方案？ 【答案】(1)款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元． (2)共有三种进货方案：①购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；②购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；③购进款蒙古袍件，款蒙古袍件． 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设买了件B款蒙古袍，分别根据蒙古袍的数量和销售所获总利润列出不等式组，求解出范围后得到不同的进货方案． 【详解】（1）解：设款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元， 由题意可列二元一次方程组， 解得， 答：款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元． （2）解：设买了件B款蒙古袍，则买了件A款蒙古袍， 由题意可列不等式组， 解得，且为正整数，故或或，对应的或或， 答：共有三种进货方案：①购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；②购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；③购进款蒙古袍件，款蒙古袍件． 13．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】(1)A型50元，B型100元； (2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 14．（25-26七年级下·四川眉山·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由， 得：（x，y为正整数）． 要使为正整数， 则为正整数，可知：x为3的倍数，从而， 代入． 所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解________； (2)若为整数，则满足条件的整数x的值为_______． (3)笔记本单价为3元，钢笔单价为5元，七年级某班为了奖励学习有进步的学生，花费35元购买奖品，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1) (2)或0或1或3或4或6 (3)①买0本笔记本，7支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔，③买10本笔记本，1支钢笔 【分析】（1）先移项，再把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为整数，x为整数，可得取或或或1或2或4，即可求解； （3）设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支，根据题意得，得出，其中x、y均为非负整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵x，y为正整数， ∴， ∴， 要使为正整数，则为正整数，可知：y为2的倍数， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为； （2）解：∵为整数，x为整数， ∴取或或或1或2或4， ∴x取或0或1或3或4或6； （3）解：设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支， 根据题意得， 解得，（为非负整数）， ∵， ∴， 要使为非负整数，则为非负整数，可知：x为5的倍数， ∴． ∴或或， ∴有三种方案：①买0本笔记本，7支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔，③买10本笔记本，1支钢笔． 15．（25-26七年级下·北京·单元复习）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【答案】能，或 【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点P在上时，如图1所示：    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； ②当点P在上时，    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； 综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或． 【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $