第3章 一元一次不等式章节复习（11大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

第3章 一元一次不等式章节复习 教学目标 1. 了解不等式的意义，掌握不等式三条基本性质，能识别一元一次不等式，分清不等式的解与解集概念，学会类比一元一次方程开展学习。 2. 熟练掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，能够将解集规范在数轴上表示，会借助数轴确定不等式组的解集，提升运算能力。 3. 能够从实际情境中提取不等关系，列出一元一次不等式或不等式组解决简单应用问题，感受数学建模、数形结合思想，发展符号意识。 教学重难点 1.重点 （1）掌握不等式的基本性质，尤其是性质3，熟练解一元一次不等式，能在数轴上正确表示解集，掌握一元一次不等式组的求解方法，看懂数轴上公共部分。 （2）读懂实际问题中的数量限制，建立一元一次不等式模型，运用不等式知识解决生活中的方案选择、范围限定类问题，落实不等式作为不等关系工具的核心作用。 2.难点 （1）运用不等式性质3进行变形时，容易忘记改变不等号方向；在数轴画解集时混淆空心圈与实心点，确定不等式组公共解集容易出错。 （2）从文字情境中准确挖掘隐含不等关系，区分题目当中“至多、至少、不超过”等关键词，合理设元列出不等式，结合实际条件对解进行取舍。 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点02不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 要点： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变 知识点03一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 要点：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 知识点04一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 知识点05不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点06不等式组的概念 定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组． 要点：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 知识点07解一元一次不等式组 1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 要点：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． 2.利用数轴确定不等式组的解集． 1.　x＞4 2.　2＜x＜4 3.　无解 4.　x＜2 上面的表示可以用口诀来概括：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到． 注意：如果不等号中带有等号，空心圆就要变成实心圆． 3.一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的方法步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 知识点08 一元一次不等式（组）的应用 主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式（组）； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 题型01 不等式的定义 【典例1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）若x的3倍不大于5，下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的3倍不大于5，不大于5的含义是小于或等于5， ∴根据题意可得不等式． 【变式1】（25-26八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】不等式定义为：用不等号连接表示不等关系的式子叫做不等式．根据不等式定义逐一判断式子，统计个数即可得到结果． 【详解】解： ①，用不等号连接，是不等式； ②，用不等号连接，是不等式； ③，用等号连接，是等式，不是不等式； ④，是代数式，无不等号连接，不是不等式； ⑤，用不等号连接，是不等式； ∴不等式共有3个． 【变式2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）用不等式表示“与m的积小于8”：__________． 【答案】 【分析】根据题意，将文字描述的数量关系转化为不等式即可． 【详解】解：由题意可知，． 【变式3】（25-26七年级下·上海·期末）下列式子中：① ；②；③ ；④ ；⑤ ．不等式是______．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据不等式的定义，找出所有用不等号连接的式子即可． 【详解】解：①是用“ ”连接的式子，是不等式，符合要求； ②是用等号连接的式子，是等式，不是不等式，不符合要求； ③是代数式，没有不等号连接，不是不等式，不符合要求； ④是用“”连接的式子，是不等式，符合要求； ⑤是用“”连接的式子，是不等式，符合要求； ∴不等式有①④⑤． 题型02 不等式的基本性质 【典例1】（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意． ∵， ∴，故B符合题意． ∵， ∴，故C不符合题意． 取，，满足，此时，，，故D不符合题意． 【变式1】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由，可得，原不等式不成立； B、由，可得，原不等式不成立； C、由，可得，原不等式成立； D、由于不知道的符号，故由不能得到，原不等式不一定成立． 【变式2】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）若，则_________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】不等式的基本性质为：不等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变． 【详解】解：∵， ∴给不等式两边同时减去，不等号方向不变，得． 【变式3】（25-26七年级下·广东云浮·期末）设，用“<”或“>”填空：____________． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质判断不等号方向即可得到结果． 【详解】解：，， ． 题型03 一元一次不等式的定义 【典例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列式子是一元一次不等式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式不等式，逐一判断选项即可． 【详解】根据一元一次不等式的定义判断： 选项A、 中没有未知数，不符合定义，A错误； 选项B、 中未知数的最高次数为2，不符合定义， B错误； 选项C、 只含有1个未知数，且的次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义， C正确； 选项D、 中含有2个未知数，不符合定义，D错误． 【变式1】（25-26七年级下·山东济宁·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）当_________时，不等式是一元一次不等式． 【答案】2 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且未知数的系数不为0，列出关系式求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ， 解得：． 【变式3】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）若是关于的一元一次不等式，则______ ． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可得，且，据此即可解答． 【详解】解：由题意得：，且， 解得． 题型04 求一元一次不等式的解集 【典例1】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）不等式 的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得. 【变式1】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）不等式的解集为______． 【答案】 【分析】按照一元一次不等式的求解步骤计算即可． 【详解】解： ，即不等式的解集为． 【变式2】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对不等式移项得到，合并同类项得，两边同时除以 2 求出解集． （2）不等式两边同时乘 2 去分母，化简得到，移项计算得到解集． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解； 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 题型05 一元一次不等式的应用 【典例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）“芦溪河（天府新区段）”又名“鹿溪河”，是岷江的二级支流，锦江的一级支流，2026年成功入选四川省2025年度省级幸福河湖，成为全省河湖生态治理与公园城市建设深度融合的标杆样板．某社区组织“守护母亲河”志愿服务活动，计划用450元购买一批垃圾夹与捞网进行河道治理，其中垃圾夹每个15元，捞网每个20元．现已购买16个垃圾夹，最多还能购买多少个捞网？设还能购买捞网个，根据题意列式得（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示购买16个垃圾夹的费用和购买个捞网的费用，根据总费用不超过450元列不等式即可． 【详解】解： 设还能购买捞网个，根据题意得． 【变式1】（2026·吉林·模拟预测）“的倍与的差小于”用不等式表示为________． 【答案】 【详解】解：的倍可表示为，的倍与的差可表示为， 根据题意“差小于”，可得不等式． 【变式2】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）某部电梯能搭载的乘客和所运货物的总质量不超过1000千克．一位工人师傅将一批货物搬到该电梯里，然后他随货物一起乘电梯从一楼到达楼顶，已知工人师傅的体重为60千克，货物每箱的质量为50千克，若设工人师傅每次用电梯运货物x箱，则根据题意可列不等式为_______． 【答案】 【详解】解：依题意，可列不等式为 【变式3】（2026·西藏·中考真题）在“铸牢中华民族共同体意识”宣传活动中，举办方计划采购印有活动主题内容的冰箱贴和书签，把它们作为本次活动的纪念品．已知冰箱贴单价是书签单价的倍，用元购买冰箱贴的数量比用同样金额购买书签的数量少4个． (1)求冰箱贴和书签的单价． (2)要使90名活动参与者均能随机获得其中一种纪念品，且纪念品的总金额不超过1500元，举办方最多可以购买多少个冰箱贴？ 【答案】(1)冰箱贴的单价为元，书签的单价为元 (2)举办方最多可以购买个冰箱贴 【分析】（1）设书签的单价为元，则冰箱贴的单价是元，根据用360元购买冰箱贴的数量比用同样金额购买书签的数量少4个即可列分式方程，解出即可得书签的单价，进而可得冰箱贴的单价． （2）设举办方购买个冰箱贴，根据要使90名活动参与者均能随机获得其中一种纪念品，即可得书签购买个，再根据纪念品的总金额不超过1500元即可列不等式，解出即可得举办方最多可以购买的冰箱贴． 【详解】（1）解：设书签的单价为元，则冰箱贴的单价是元，根据题意得： ，解得：， 经检验，是此分式方程的解，且符合题意， ∴冰箱贴的单价是：（元）， ∴冰箱贴的单价为18元，书签的单价为15元． （2）解：设举办方购买个冰箱贴，则需购买书签个，根据题意得： ，解得：， ∴举办方最多可以购买50个冰箱贴． 题型06 求不等式组的解集 【典例1】（2026·四川宜宾·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 所以不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示为． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）不等式组的解集为__________． 【答案】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可． 【详解】解：， 由得，， 由得，， 所以，不等式组的解集． 【点睛】一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 【变式2】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）解不等式组： 【答案】 【分析】先分别解两个不等式，再求公共解即可． 【详解】解：解①，得， 解②，得， 所以不等式组的解集为． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）解不等式组，并把解集表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1) 将其表示在数轴上，如图所示 (2)． 解集在数轴上表示如图： 【分析】（1）解一元一次不等式组，可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 解不等式①， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： 不等式组的解集为； 把不等式的解集表示在数轴上见答案； （2）解： 解不等式①， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 不等式组的解集为， 把不等式组的解集表示在数轴上见答案. 题型07 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例1】（25-26七年级下·河北沧州·期末）已知不等式组的解集是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出第二个不等式的解集，再根据“同小取小”的解集确定法则，即可得到参数的取值范围． 【详解】解：解不等式得 ∵结合原不等式组中，得到原不等式组的解集是 ∴根据“同小取小”的法则，可得． 【变式1】（25-26七年级下·青海玉树·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的值为________． 【答案】 【分析】先解不等式组，结合已知解集得到和的值，再计算即可． 【详解】解：解得， ∵不等式组的解集为， ∴，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·江西宜春·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∵不等式组无解 ∴，解得． 【变式3】（25-26七年级下·江西上饶·期末）已知不等式组． (1)若该不等式组的解集为，求实数的值； (2)若该不等式组无解，求实数的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集即可求出a的值； （2）根据（1）所求结合不等式组无解列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ， 解得． （2）解：∵不等式组无解， ， 解得． 题型08 由不等式组解集的情况求参数 【典例1】（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解不等式组的方法，解出题目所给的不等式组的解，再根据不等式组恰有2个整数解即可求出a的取值范围. 【详解】解：， 解得：， 解得：， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有2个整数解， ∴不等式组的2个整数解为， ∴a的取值范围是. 【变式1】（2024·山东潍坊·模拟预测）若m为整数，关于x的不等式组有5个整数解，关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的m的值的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组的解集，根据解集情况得到，即，解，得到，根据分式方程的解为整数求出的值，结合已知条件得到满足条件的m的值，相加即可． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集为． 不等式组有5个整数解， 整数解为， ， 解得． 解分式方程， 两边同乘，得， 整理得， ，其中，且． 分式方程的解为整数，为整数， 是的整数约数， 即，对应的值为． 结合，，且即， 得符合条件的整数为． 所有满足条件的的值的和为． 【变式2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）若关于的不等式有且只有一个解，则的值为_______． 【答案】 【分析】形如的不等式有且只有一个解时，必有左端点等于右端点，据此列出关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：关于的不等式有且只有一个解， ， 解得． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江伊春·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先求出不等式①的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得． ∵不等式组无解，即两个不等式的解集没有公共部分， ∴， 移项并合并同类项得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得． 题型09 不等式组和方程组结合的问题 【典例1】（2024·山东淄博·二模）如果关于x、y的方程组的解都是负数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】将看作已知数，求出方程组的解，根据方程组的解都是负数列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到结果. 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解是负数，即，， ∴， 解第一个不等式得，解第二个不等式得； ∴不等式组无解. 【变式1】（25-26七年级下·四川眉山·期中）关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式．首先利用方程组得到关于的表达式，再根据题意列出关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： ①－②，得 整理，得． ∵的值不小于7 ∴，即， 解得． 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先通过消元法用含的代数式表示和，得到，，再代入不等式，得到，再解一元一次不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， 由①得， 把③代入②，得， 整理，得， 解得， 把代入③，得， 将，代入，得， 即， 解得． 【变式3】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如果某个不等式（组）的解集中，至少包含一个方程（组）的解，则称该不等式（组）为这个方程（组）的“包容不等式（组）”． 例如：不等式是方程的“包容不等式”，因为包含在的解集中； 不等式组是方程组的“包容不等式组”，因为包含在的解集中，也包含在中． (1)下列不等式（组）中是方程的“包容不等式（组）”是_________（填序号）． ①；②；③ (2)已知整数，，关于的不等式组是方程的“包容不等式组”，且该不等式组有且只有4个整数解，求的最大值． (3)已知关于，的方程组的解满足，．若不等式组是该方程组的“包容不等式组”，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分别求出不等式组的解集和方程的解，根据不等式组的解集的情况确定的值，再由新定义确定的值，即可求解； （3）先解方程组可得，再由方程组的解满足，，得到，解得，然后可确定，则，再由定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程可得， ①，解得，由于在的解集中，故①是“包容不等式”； ②，解得，由于在的解集中，故②是“包容不等式”； ③，解不等式组得，由于不在的解集中，故③不是“包容不等式组”； （2）解：解不等式组可得，， ∵该不等式组有且只有4个整数解 ∴ 解得， 由于是整数，则或7或8， 解方程可得 ∵关于的不等式组是方程的“包容不等式组”， ∴， 由于是整数，则可以为， 要使得最大，则最大，取，最小，取 ∴的最大值为； （3）解：解方程组可得， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 由可得，，则， ∴， ∴，即， ∵不等式组是该方程组的“包容不等式组”， ∴让所有的都成立， ∴． 题型10 不等式组的应用 【典例1】（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）振兴中学初一年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送本，则还余本；如果每人送本，则最后一人能得到课外读物但不足本．设初一年级有名学生获奖．则列不等式组为___________． 【答案】 【分析】先根据题意表示出课外读物的总本数，再根据“最后一人能得到课外读物但不足本”提取不等关系，列出不等式组即可. 【详解】解：设初一年级有名学生获奖 列不等式组得：． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某学校图书馆计划采购A、B两种图书．已知购买2本A种图书和3本B种图书共需190元；购买3本A种图书和5本B种图书共需305元． (1)求A、B两种图书每本的价格． (2)若该校计划采购A、B两种图书共20本，其中A种图书数量不超过B种数量的，且A种图书至少采购4本，请求出满足条件的采购方案． 【答案】(1)A种图书每本35元，B种图书每本40元． (2)满足条件的采购方案共3种： 方案1：采购A种图书4本，B种图书16本； 方案2：采购A种图书5本，B种图书15本； 方案3：采购A种图书6本，B种图书14本． 【分析】（1）根据两次购买的总费用构造等量关系，列二元一次方程组求解单价． （2）根据A种图书的数量约束列不等式组，结合图书数量为正整数确定所有采购方案． 【详解】（1）解：设A种图书每本元，B种图书每本元，根据题意，得 解得 答：A种图书每本35元，B种图书每本40元． （2）解：设采购A种图书本，则采购B种图书本，根据题意，得 不等式组的解集为． 为正整数， 的取值为4，5，6，对应的取值为16，15，14． 答：共有3种采购方案，分别为： 方案1：采购A种图书4本，B种图书16本； 方案2：采购A种图书5本，B种图书15本； 方案3：采购A种图书6本，B种图书14本． 【变式3】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 题型11 与一元一次不等式（组）相关的新定义型问题 【典例1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次不等式，注意分情况讨论是解题的关键．分当，即时，当，即时，两种情况，根据题目所给的新定义建立关于x的不等式进行求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【变式1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）定义新运算：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：．那么不等式的解集为______________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 【变式2】（25-26七年级下·四川资阳·期中）我们定义：，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是________． 【答案】 【分析】根据新定义，推出，得到或，分类讨论求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：由题意得，，即， ∴， ∵x，y为不同的整数， ∴或， 当时，或，不符合题意，舍去； 当时，或或或， ∴或． 【变式3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我们定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“崇善向上方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“崇善向上方程”． (1)在方程①，②；③中，不等式组的“崇善向上方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“崇善向上方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“崇善向上方程”，且此时不等式组有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求出方程①②③的解及不等式组的解，然后根据“崇善向上方程”的定义进行判断即可； （2）由方程可得，然后根据“崇善向上方程”的定义可知，进而求解即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有个整数解，即可得出，然后求出方程的解为，根据“崇善向上方程”的定义得出，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①解方程得：； ②解方程得：； ③解方程得：， 由不等式组，解得：； 根据“崇善向上方程”的定义可知：方程满足题意； （2）解：由方程，解得， 由不等式组，解得； ∵方程是不等式组的“崇善向上方程”， ∴， 解得； （3）解：关于的方程，解得， ， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组有个整数解， ∴整数解的值为，，，， ∴， 解得， ∵关于的方程是关于的不等式组的“崇善向上方程”， ∴，解得． 综上所述：的取值范围 一、单选题 1．（25-26七年级下·吉林·期末）已知，则下列各式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质对各选项变形判断，注意的非负性． 【详解】解：A：∵， ∴，故A不成立． B：∵，当时，，故B不一定成立． C：∵， ∴， ∴， 故C不成立． D：∵，且， ∴， 故D一定成立． 2．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：， 给不等式两边同时减4： 计算得： 给不等式两边同时除以： 解得． 3．（2026·辽宁·模拟预测）某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分超过80分，则他至少要答对的题数是（     ） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【答案】B 【分析】根据得分规则建立不等式，解不等式后求解的最小整数值即可． 【详解】设小明要答对x道，则答错或不答道． 根据题意，得， 解得， 的最小值为13， ∴他至少要答对的题数是13道． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知不等式组的解集如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先解不等式组，用含、的代数式表示出不等式组的解集，然后结合数轴上表示的解集确定、的值，最后代入代数式进行计算即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， 不等式组的解集为； 由数轴得不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 5．（2026·全国·模拟预测）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：原方程变形为． 方程两边同乘（），得． 整理得． ∵ 方程的解为正数， ∴ ，解得． ∵ ， ∴ ，解得． ∴ 的取值范围为且． 二、填空题 6．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）不等式 的负整数解是_____． 【答案】 【分析】先求出不等式的解集，再在解集范围内找出符合要求的负整数即可． 【详解】解：移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为得 ， 大于的负整数只有， 因此不等式的负整数解为． 7．（25-26七年级下·黑龙江伊春·期末）已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为_______________． 【答案】3 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得， 由数轴知， ， 解得． 8．（21-22七年级下·四川南充·阶段检测）一位老师说，他班上一半的学生在学数学，四分之一的学生在学外语，六分之一的学生学音乐，还有不足5名同学在操场上踢足球，则这个班的学生最多有______人． 【答案】 48 【分析】设班级总人数为，根据剩余踢足球人数不足5人列出不等式，结合各类学生人数为整数得到需是2、4、6的公倍数，即可求出最大人数． 【详解】解：设这个班的学生共有人，则学数学的人数为，学外语的人数为，学音乐的人数为， 踢足球的人数不足5人，因此列不等式： ， 解得， ∵，，，都必须是正整数， ∴是2，4，6的公倍数，小于60的最大公倍数是48，此时踢足球人数为4，满足不足5人的条件， ∴这个班的学生最多有48人． 9．（24-25七年级下·河北唐山·期末）已知方程组的解，满足，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】通过加减消元法先求出的表达式，再结合的条件求解的取值范围． 【详解】解： 得：， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（26-27八年级上·天津河北·开学考试）已知关于，的方程组． （1）若方程组有解，则_________，_________（均用含和的代数式表示）； （2）已知关于的不等式恰有3个正整数解，的取值范围为_________． 【答案】 【分析】（1）用加减消元法解方程组即可得到结果； （2）先求解不等式，再根据恰有3个正整数解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：对于方程组， ②得， ①③得， 解得； 把代入②得， 整理计算得； （2）解不等式， 移项得， 解得， ∵不等式恰有3个正整数解， ∴正整数解为， ∴， 三边同乘得， 三边同减得． 三、解答题 11．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）解不等式（组） (1)，并把解集在数轴上表示出来． (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤，利用不等式的基本性质求出不等式的解集，并在数轴上正确表示即可； （2）求出两个不等式的解集后，取公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为． 12．（25-26七年级下·吉林松原·期末）已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的整数的值． 【答案】满足的整数解有 【分析】根据关于，的二元一次方程组求得，再根据不等式组求出的取值范围，最终确定整数的值． 【详解】解：由题意，得， ①②，得， ②①，得， ∵， ∴，解得， 取整数， ∴满足的整数解有． 13．（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）开封汴绣是国家级非物质文化遗产，某商店计划购进汴绣手工挂件和汴绣机绣挂件进行销售． (1)用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同，且每件手工挂件的进价比机绣挂件的进价高8元．求两种挂件每件的进价各是多少元？ (2)若该商店决定购进这两种挂件共25件，总费用不超过500元，其中手工挂件至少购进10件． ①该商店共有哪几种进货方案？ ②若汴绣手工挂件的售价为50元/件，汴绣机绣挂件的售价为38元/件，若挂件全部售出，如何进货使商店获利最多，最多是多少元？ 【答案】(1) 汴绣手工挂件每件进价为24元，汴绣机绣挂件每件进价为16元 (2) ①共有3种进货方案： 方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件； 方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件； 方案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件； ②购进手工挂件12件、机绣挂件13件时商店获利最多，最多利润为598元 【分析】（1）以“600元购进手工挂件的数量与400元购进机绣挂件的数量相同”为等量关系，列分式方程即可求解进价； （2）①设购进手工挂件件，根据总费用不超过500元、手工挂件至少购进10件列不等式组，结合正整数解确定进货方案；②根据①中所得方案分别计算总利润，再比较即可． 【详解】（1） 解：设汴绣机绣挂件每件进价为元，则手工挂件每件进价为元，由题意得 ， 解得， 检验：当时，，故是原方程的解，且符合题意， ； 答：汴绣手工挂件每件进价为24元，汴绣机绣挂件每件进价为16元； （2）解：①设购进手工挂件件，则购进机绣挂件件， 由题意得 ， 解得， ∵为正整数， 可取10，11，12， 对应的值为15，14，13， 共有3种进货方案： 方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件； 方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件； 方案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件； ②每件手工挂件利润为（元），每件机绣挂件利润为（元）， 方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件，总利润为（元）； 方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件，总利润为（元）； 方案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件，总利润为（元）； ． 答：购进手工挂件12件，机绣挂件13件时商店获利最多，最多利润为598元． 14．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知a、b、c为的三边长． (1)b、c满足，且a为方程的解，求出该三角形的周长； (2)若，，且c为整数，求的周长的最大值和最小值． 【答案】(1)7 (2)最大值13，最小值11 【分析】（1）根据非负数的性质，得到，，再解绝对值方程，并结合三角形的三边关系确定，即可得解； （2）根据三角形的三边关系，得出，即可得解． 【详解】（1）解：， ，， 解得，． 为方程的解， ， 解得或2． 、、为的三边长，， 不合题意舍去， ， 的周长为； （2）解：，， ，即， 为整数， 的最小值为4，的最大值为6， 的周长的最大值，最小值． 15．（25-26七年级下·广东汕头·期末）阅读理解： 解答“已知， 且，试确定的取值范围”有如下解法∶ ， 又， ， 又， ． ① 同理得：．② 由①②得， 的取值范围是． 拓展应用：请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知， 且， 则的取值范围是 ； (2)已知关于的方程组的解都为正数． ①求的取值范围； ②已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）按照阅读材料中的方法求解即可； （2）①先由加减消元法解关于的方程组，再由题意列不等式组求解即可；②由①中求出的的取值范围及阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 又， ， 又， ． ① 同理得：．② 由①②得， 的取值范围是； （2）①解：， 得， ②③得，解得； 将代入①得，解得； 方程组的解为， 关于的方程组 的解都为正数， ，解得； ②解：，， ，则， 则的取值范围是． 一、单选题 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）某日，我市最高气温为，最低气温为，则当天气温（）的变化范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知的当日最高气温与最低气温，即可确定气温的变化范围，考查不等式表示数量范围的应用． 【详解】解：∵某日我市最高气温是，最低气温是， ∴当天气温不低于最低气温，且不高于最高气温， 即变化范围为 2．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 两边减5得，，故A错误． ， 两边乘得，，故B错误． ， 两边除以4得，，故C正确． 当时，不成立，故D错误． 3．（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知三角形的三边长分别为，，，那么下列在数轴上表示该三角形的第三边的取值范围正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系确定a的取值范围，结合数轴表示不等式解集的方法进行判断． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，a，4 ， ∴， ∴， 在数轴上表示该不等式组的解集时，2和6处应为空心圆圈，且取中间部分，观察选项可知A符合题意． 4．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵不等式的解集为，两边除以后不等号方向改变， ∴， 解得． 5．（2024·山东潍坊·模拟预测）若m为整数，关于x的不等式组有5个整数解，关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的m的值的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组的解集，根据解集情况得到，即，解，得到，根据分式方程的解为整数求出的值，结合已知条件得到满足条件的m的值，相加即可． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集为． 不等式组有5个整数解， 整数解为， ， 解得． 解分式方程， 两边同乘，得， 整理得， ，其中，且． 分式方程的解为整数，为整数， 是的整数约数， 即，对应的值为． 结合，，且即， 得符合条件的整数为． 所有满足条件的的值的和为． 二、填空题 6．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）不等式组的解集是________． 【答案】 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为． 7．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为元，标价为元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于，则最低折扣是________折． 【答案】7 【分析】设商品折扣为折，根据利润率不低于建立一元一次不等式，求解得到最低折扣即可． 【详解】解：设商品的折扣为折， ∵要保证利润率不低于，即售价不低于进价， ∴列不等式得：， 化简不等式得：， 解得：， 因此最低折扣是折． 8．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）关于的方程的解为正数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】先解分式方程得到，再根据解为正数、分式方程分母不为零两个条件列不等式求解即可． 【详解】解： 去分母得，， 解得， ∵方程的解为正数，且分式分母不能为， ∴，且， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴的取值范围是且． 9．（25-26七年级下·四川乐山·期末）已知不等式组无解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：解不等式 ，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组无解 ∴根据不等式组解集“大大小小找不到”的原则，可得： 解得：． 10．（25-26七年级下·天津津南·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作． （I）如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的值可以是_________（写出一个满足条件的即可）； （II）如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是_________． 【答案】 （答案不唯一，只要满足即可） 【分析】（I）根据第一次就停止列一元一次不等式求解即可； （II）根据题意可知第一次不停止、第二次停止列不等式组求解即可． 【详解】解：（I）根据题意，得， 解得：， ∴的值可以是； （II）根据题意得，， 解得：， ∴如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是． 三、解答题 11．（25-26八年级上·重庆丰都·期中）解方程或不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ①②得，，解得， 把代入①，得， 解得， 所以原方程组的解是； （2）解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以这个不等式组的解为． 12．（25-26七年级下·吉林·期末）已知关于，的二元一次方程组（其中是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得_________；（用含的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2) (3)整数的值为，， 【分析】（1）将方程组两个方程左右两边相加，直接得到的表达式． （2）利用（1）的结论求出，代入不等式求解的取值范围． （3）根据不等式解集的不等号方向判断系数的正负，结合（2）的范围确定整数的值． 【详解】（1）解：∵， ∴得，． （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， 解得． （3）解：由得， ∵不等式的解集为，不等号方向改变， ∴， 解得 由（2）知， ∴ ， ∴整数的值为，，． 13．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）列方程（组）或不等式解决下列问题： 2026外滩大会于9月9日至12日在上海黄浦世博园区举行，大会以“共创新经济”为主题，吸引全球超300家科技企业参展，国际参与度创历届新高．某科技公司展示了A、B两款机器人，且两台A款机器人的售价比一台B款机器人的售价多5万元，4台A款机器人和5台B款机器人共59万元． (1)A、B两款机器人每台售价分别是多少万元？ (2)因玩具消费市场热度高涨，多款产品持续热销，某玩具公司决定向该科技公司采购A、B两款机器人共30台，对现有生产线进行自动化升级改造．在该玩具公司生产线，一台A款机器人投入使用后，产能可达到300件/小时；一台B款机器人投入使用后，产能可达到350件/小时．若该生产线实行24小时连续生产模式，A、B两款机器人同时作业，整条生产线日产量不低于24万件，则最少要采购多少台B款机器人？ 【答案】(1)A款机器人每台的售价为6万元，B款机器人每台的售价为7万元 (2)最少要采购20台B款机器人． 【分析】（1）分别设A款机器人每台的售价为万元，B款机器人每台的售价为万元，构造二元一次方程组求解即可； （2）设采购台B款机器人，构造不等式表示整条生产线日产量的不等关系求解即可 【详解】（1）解：设A款机器人每台的售价为万元，B款机器人每台的售价为万元， 则， 解得 答：A款机器人每台的售价为6万元，B款机器人每台的售价为7万元． （2）解：设采购台B款机器人， 由题得： 解得： 的最小值为20． 答：最少要采购20台B款机器人． 14．（25-26八年级下·四川成都·期末）一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．结合数轴观察： 解不等式，x表示到原点的距离小于3的数，如图1所示，不等式解集是； 解不等式，x表示到原点的距离大于3的数，如图2所示，不等式解集是或． 解答下面的问题： (1)的解集为__________，的解集为____________________； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的整数值； 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）对于第一空，仿照例题画数轴求解即可；对于第二空，设，则不等式可化为，仿照例题画数轴求出不等式的解集即可得到答案； （2）把方程组中的两个方程的左右两边分别相加推出，则；设，则不等式可化为，仿照例题画数轴求出不等式的解集，进而求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，不等式的解集为 设，则不等式可化为， 如图所示，不等式的解集是或 ∴或， ∴或； （2）解： 得， ∴； ∵关于x，y的二元一次方程组的解满足， ∴； 设，则不等式可化为， 如图所示，不等式的解集为， ∴， ∴， ∴m的整数值为． 15．（24-25八年级下·山东济宁·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“相依方程”是________．（填序号） (2)若不等式组的一个“相依方程”的解是整数，且这个“相依方程”是，则常数________． (3)若方程，都是关于的不等式组的“相依方程”，直接写出的取值范围________． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列出关于的不等式组，再根据“不等式组的一个“相依方程”的解是整数”可得答案； （3）分别解方程与不等式组，再根据新定义列出关于的不等式组，解不等式组可得答案． 【详解】（1）解：①解方程，得：， ②解方程，得：， ③解方程，得：， 解不等式组，得：， 其中：和不在的范围内，在的范围内， ∴方程②是不等式组的“相依方程”； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为：， 解方程，得：， ∵方程是不等式组的“相依方程”， ∴， 又∵不等式组的一个“相依方程”的解是整数，且这个“相依方程”是， ∴， 解得：； （3）解：解方程，得：， 解方程，得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为：， ∵方程，都是关于的不等式组的“相依方程”， ∴， ∴解不等式组①得：， 解不等式组②得：， ∴的取值范围为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次不等式章节复习 教学目标 1. 了解不等式的意义，掌握不等式三条基本性质，能识别一元一次不等式，分清不等式的解与解集概念，学会类比一元一次方程开展学习。 2. 熟练掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，能够将解集规范在数轴上表示，会借助数轴确定不等式组的解集，提升运算能力。 3. 能够从实际情境中提取不等关系，列出一元一次不等式或不等式组解决简单应用问题，感受数学建模、数形结合思想，发展符号意识。 教学重难点 1.重点 （1）掌握不等式的基本性质，尤其是性质3，熟练解一元一次不等式，能在数轴上正确表示解集，掌握一元一次不等式组的求解方法，看懂数轴上公共部分。 （2）读懂实际问题中的数量限制，建立一元一次不等式模型，运用不等式知识解决生活中的方案选择、范围限定类问题，落实不等式作为不等关系工具的核心作用。 2.难点 （1）运用不等式性质3进行变形时，容易忘记改变不等号方向；在数轴画解集时混淆空心圈与实心点，确定不等式组公共解集容易出错。 （2）从文字情境中准确挖掘隐含不等关系，区分题目当中“至多、至少、不超过”等关键词，合理设元列出不等式，结合实际条件对解进行取舍。 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点02不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 要点： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变 知识点03一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 要点：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 知识点04一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 知识点05不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点06不等式组的概念 定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组． 要点：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 知识点07解一元一次不等式组 1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 要点：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． 2.利用数轴确定不等式组的解集． 1.　x＞4 2.　2＜x＜4 3.　无解 4.　x＜2 上面的表示可以用口诀来概括：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到． 注意：如果不等号中带有等号，空心圆就要变成实心圆． 3.一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的方法步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 知识点08 一元一次不等式（组）的应用 主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式（组）； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 题型01 不等式的定义 【典例1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）若x的3倍不大于5，下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）用不等式表示“与m的积小于8”：__________． 【变式3】（25-26七年级下·上海·期末）下列式子中：① ；②；③ ；④ ；⑤ ．不等式是______．（填序号） 题型02 不等式的基本性质 【典例1】（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）若，则_________．（填“”“”或“”） 【变式3】（25-26七年级下·广东云浮·期末）设，用“<”或“>”填空：____________． 题型03 一元一次不等式的定义 【典例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列式子是一元一次不等式的是（     ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·山东济宁·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）当_________时，不等式是一元一次不等式． 【变式3】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）若是关于的一元一次不等式，则______ ． 题型04 求一元一次不等式的解集 【典例1】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）不等式 的解集是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）不等式的解集为______． 【变式2】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）解下列不等式 (1) (2) 【变式3】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)． 题型05 一元一次不等式的应用 【典例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）“芦溪河（天府新区段）”又名“鹿溪河”，是岷江的二级支流，锦江的一级支流，2026年成功入选四川省2025年度省级幸福河湖，成为全省河湖生态治理与公园城市建设深度融合的标杆样板．某社区组织“守护母亲河”志愿服务活动，计划用450元购买一批垃圾夹与捞网进行河道治理，其中垃圾夹每个15元，捞网每个20元．现已购买16个垃圾夹，最多还能购买多少个捞网？设还能购买捞网个，根据题意列式得（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·吉林·模拟预测）“的倍与的差小于”用不等式表示为________． 【变式2】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）某部电梯能搭载的乘客和所运货物的总质量不超过1000千克．一位工人师傅将一批货物搬到该电梯里，然后他随货物一起乘电梯从一楼到达楼顶，已知工人师傅的体重为60千克，货物每箱的质量为50千克，若设工人师傅每次用电梯运货物x箱，则根据题意可列不等式为_______． 【变式3】（2026·西藏·中考真题）在“铸牢中华民族共同体意识”宣传活动中，举办方计划采购印有活动主题内容的冰箱贴和书签，把它们作为本次活动的纪念品．已知冰箱贴单价是书签单价的倍，用元购买冰箱贴的数量比用同样金额购买书签的数量少4个． (1)求冰箱贴和书签的单价． (2)要使90名活动参与者均能随机获得其中一种纪念品，且纪念品的总金额不超过1500元，举办方最多可以购买多少个冰箱贴？ 题型06 求不等式组的解集 【典例1】（2026·四川宜宾·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是(     ) A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）不等式组的解集为__________． 【变式2】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）解不等式组： 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）解不等式组，并把解集表示在数轴上． (1) (2) 题型07 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例1】（25-26七年级下·河北沧州·期末）已知不等式组的解集是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·青海玉树·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的值为________． 【变式2】（25-26七年级下·江西宜春·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是____________． 【变式3】（25-26七年级下·江西上饶·期末）已知不等式组． (1)若该不等式组的解集为，求实数的值； (2)若该不等式组无解，求实数的取值范围． 题型08 由不等式组解集的情况求参数 【典例1】（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·山东潍坊·模拟预测）若m为整数，关于x的不等式组有5个整数解，关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的m的值的和为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）若关于的不等式有且只有一个解，则的值为_______． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江伊春·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是__________． 题型09 不等式组和方程组结合的问题 【典例1】（2024·山东淄博·二模）如果关于x、y的方程组的解都是负数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D．无解 【变式1】（25-26七年级下·四川眉山·期中）关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是______． 【变式3】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如果某个不等式（组）的解集中，至少包含一个方程（组）的解，则称该不等式（组）为这个方程（组）的“包容不等式（组）”． 例如：不等式是方程的“包容不等式”，因为包含在的解集中； 不等式组是方程组的“包容不等式组”，因为包含在的解集中，也包含在中． (1)下列不等式（组）中是方程的“包容不等式（组）”是_________（填序号）． ①；②；③ (2)已知整数，，关于的不等式组是方程的“包容不等式组”，且该不等式组有且只有4个整数解，求的最大值． (3)已知关于，的方程组的解满足，．若不等式组是该方程组的“包容不等式组”，求的取值范围． 题型10 不等式组的应用 【典例1】（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）振兴中学初一年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送本，则还余本；如果每人送本，则最后一人能得到课外读物但不足本．设初一年级有名学生获奖．则列不等式组为___________． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某学校图书馆计划采购A、B两种图书．已知购买2本A种图书和3本B种图书共需190元；购买3本A种图书和5本B种图书共需305元． (1)求A、B两种图书每本的价格． (2)若该校计划采购A、B两种图书共20本，其中A种图书数量不超过B种数量的，且A种图书至少采购4本，请求出满足条件的采购方案． 【变式3】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 题型11 与一元一次不等式（组）相关的新定义型问题 【典例1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）定义新运算：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：．那么不等式的解集为______________． 【变式2】（25-26七年级下·四川资阳·期中）我们定义：，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是________． 【变式3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我们定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“崇善向上方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“崇善向上方程”． (1)在方程①，②；③中，不等式组的“崇善向上方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“崇善向上方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“崇善向上方程”，且此时不等式组有个整数解，求的取值范围． 综上所述：的取值范围 一、单选题 1．（25-26七年级下·吉林·期末）已知，则下列各式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁·模拟预测）某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分超过80分，则他至少要答对的题数是（     ） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知不等式组的解集如图所示，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·全国·模拟预测）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 6．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）不等式 的负整数解是_____． 7．（25-26七年级下·黑龙江伊春·期末）已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为_______________． 8．（21-22七年级下·四川南充·阶段检测）一位老师说，他班上一半的学生在学数学，四分之一的学生在学外语，六分之一的学生学音乐，还有不足5名同学在操场上踢足球，则这个班的学生最多有______人． 9．（24-25七年级下·河北唐山·期末）已知方程组的解，满足，则的取值范围是____________． 10．（26-27八年级上·天津河北·开学考试）已知关于，的方程组． （1）若方程组有解，则_________，_________（均用含和的代数式表示）； （2）已知关于的不等式恰有3个正整数解，的取值范围为_________． 三、解答题 11．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）解不等式（组） (1)，并把解集在数轴上表示出来． (2) 12．（25-26七年级下·吉林松原·期末）已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的整数的值． 13．（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）开封汴绣是国家级非物质文化遗产，某商店计划购进汴绣手工挂件和汴绣机绣挂件进行销售． (1)用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同，且每件手工挂件的进价比机绣挂件的进价高8元．求两种挂件每件的进价各是多少元？ (2)若该商店决定购进这两种挂件共25件，总费用不超过500元，其中手工挂件至少购进10件． ①该商店共有哪几种进货方案？ ②若汴绣手工挂件的售价为50元/件，汴绣机绣挂件的售价为38元/件，若挂件全部售出，如何进货使商店获利最多，最多是多少元？ 14．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知a、b、c为的三边长． (1)b、c满足，且a为方程的解，求出该三角形的周长； (2)若，，且c为整数，求的周长的最大值和最小值． 15．（25-26七年级下·广东汕头·期末）阅读理解： 解答“已知， 且，试确定的取值范围”有如下解法∶ ， 又， ， 又， ． ① 同理得：．② 由①②得， 的取值范围是． 拓展应用：请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知， 且， 则的取值范围是 ； (2)已知关于的方程组的解都为正数． ①求的取值范围； ②已知，求的取值范围． 一、单选题 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）某日，我市最高气温为，最低气温为，则当天气温（）的变化范围是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知三角形的三边长分别为，，，那么下列在数轴上表示该三角形的第三边的取值范围正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（） A． B． C． D． 5．（2024·山东潍坊·模拟预测）若m为整数，关于x的不等式组有5个整数解，关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的m的值的和为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）不等式组的解集是________． 7．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为元，标价为元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于，则最低折扣是________折． 8．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）关于的方程的解为正数，则的取值范围是__________． 9．（25-26七年级下·四川乐山·期末）已知不等式组无解，则的取值范围是________． 10．（25-26七年级下·天津津南·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作． （I）如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的值可以是_________（写出一个满足条件的即可）； （II）如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是_________． 三、解答题 11．（25-26八年级上·重庆丰都·期中）解方程或不等式 (1) (2) 12．（25-26七年级下·吉林·期末）已知关于，的二元一次方程组（其中是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得_________；（用含的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 13．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）列方程（组）或不等式解决下列问题： 2026外滩大会于9月9日至12日在上海黄浦世博园区举行，大会以“共创新经济”为主题，吸引全球超300家科技企业参展，国际参与度创历届新高．某科技公司展示了A、B两款机器人，且两台A款机器人的售价比一台B款机器人的售价多5万元，4台A款机器人和5台B款机器人共59万元． (1)A、B两款机器人每台售价分别是多少万元？ (2)因玩具消费市场热度高涨，多款产品持续热销，某玩具公司决定向该科技公司采购A、B两款机器人共30台，对现有生产线进行自动化升级改造．在该玩具公司生产线，一台A款机器人投入使用后，产能可达到300件/小时；一台B款机器人投入使用后，产能可达到350件/小时．若该生产线实行24小时连续生产模式，A、B两款机器人同时作业，整条生产线日产量不低于24万件，则最少要采购多少台B款机器人？ 14．（25-26八年级下·四川成都·期末）一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．结合数轴观察： 解不等式，x表示到原点的距离小于3的数，如图1所示，不等式解集是； 解不等式，x表示到原点的距离大于3的数，如图2所示，不等式解集是或． 解答下面的问题： (1)的解集为__________，的解集为____________________； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的整数值； 15．（24-25八年级下·山东济宁·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“相依方程”是________．（填序号） (2)若不等式组的一个“相依方程”的解是整数，且这个“相依方程”是，则常数________． (3)若方程，都是关于的不等式组的“相依方程”，直接写出的取值范围________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $