专题09 幂函数（44题）训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

幂函数 专题09 幂函数 知识点分析 新课标对知识的考查要求：幂函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步学习数学的基础。通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算 规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在 解决实际问题中的作用。 题型一、根据定义判断幂函数 题型二、求幂函数的解析式 题型三、幂函数的图像及性质 题型四、利用幂函数的性质求参数 题型五、利用幂函数比较大小 题型六、利用幂函数单调性、奇偶性解不等式 题型七、幂函数综合应用 题型八、二次函数问题 一、幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 二、幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数，，，，的图象(如图)． 三、五个幂函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 四、幂函数的性质 1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； 2、如果，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； 3、如果，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限接近轴，当从原点趋向于＋∞时，图象在轴上方无限接近轴； 4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近轴. 5、幂函数的奇偶性 五、利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或者幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题。解题步骤如下： （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用。 题型一：根据定义判断幂函数 题型分析：本题型属于概念辨析类基础考点，不涉及运算，主要考查学生对幂函数形式特征的敏感度。判断的标准只有一条：能否化成 为常数）的形式。具体要抓住四个特征①系数为 1、②底数是自变量本身、③指数是常数、④只有一项。 1.下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据幂函数的定义：形如，而，符合幂函数的定义,正确. ABD在形式上都不符合幂函数定义，错误. 故选：C 2.判断下列函数有哪些是幂函数？ （1） ；（2）；（3）；（4）； （5） ；（6）． 【答案】（4）、（5）是幂函数． 【解析】根据幂函数的定义：（1）系数不为1；（2）系数不为1；（3）多项式；（6）常值函数。（4）、（5）是幂函数． 3.下列函数中，值域是的幂函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得选项B、D的函数为指数函数，故排除B、D； 对于A：函数，定义域为R，所以值域为R，满足条件； 对于C：函数，定义域为，在第一象限内单调递增， 又，所以值域为，不满足条件； 故选：A 4.已知是幂函数，则= ，= ． 【答案】 【解析】由题意得解得即为所求． 题型二：求幂函数的解析式 题型分析：高频基础题型，标准解法是待定系数法，由 “是幂函数” 先设出 ；再由图象经过已知点代入，得到关于的指数方程，解出即得解析式 1.已知点在幂函数的图象上，则的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵为幂函数，∴设（是不为零的常数）， 又∵过点，∴，又，∴，∴． 故选：B 2.已知幂函数的图象通过点，则 ． 【答案】 【解析】设幂函数的解析式为 ∵幂函数过点∴∴∴该函数的解析式为， ∴. 3.已知幂函数为偶函数且在上单调递减,则的解析式可以为　　　　　.(写一个即可) 【答案】=x-2(答案不唯一) 【解析】因为幂函数=xα在(0,+∞)上单调递减,所以α<0.又因为=xα为偶函数,所以α=-2符合题意.故答案为=x-2(答案不唯一). 4.为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________． 【答案】9 【解析】由题意，得2＝4α，解得α＝，则y＝，由＝3，得x＝9，即明文是9. 题型三：幂函数的图像及性质 题型分析：本专题的图象主干题型，核心是掌握一套固定的判读顺序，把 “看图象” 变成 “对参数的四步定位”①过不过原点：时图象过 与 ；时不过原点，以坐标轴为渐近线；②第一象限的单调性：递增， 递减；③对称性：为整数时由奇偶决定关于原点或 轴对称，为分数时须先看定义域是否对称，定义域不对称即为非奇非偶；④增长速度与凸性：时图象下凸、增长越来越快；时上凸、增长越来越慢；时双曲线型，随 趋向。 1.给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是                 【答案】⑥④③②⑦①⑤ 【解析】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足； 图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足； 故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤. 2.已知某幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设幂函数为，由函数过点， 所以，即，所以，解得， 所以，则函数的定义域为，且， 故为偶函数，且函数在上单调递减，则函数在上单调递增， 故符合题意的为D； 故选：D 3.在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　) 【答案】　C 【解析】选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误； 选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误； 选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－与y轴交点的纵坐标应为正，D错误． 故选：C. 4.在同一坐标系中，函数，的图象不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，不过原点，在第一象限且递减， 在第四象限且递增，如C所示； 当时，且，，没有符合要求的图象； 当时，在第一象限且递减， 若时，过原点，在第一象限且递增，没有符合要求的图象； 若时，过原点，在第一象限且递增，如A、B所示. 故选：D 5.（多选）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，为非奇非偶函数，故A不符合， 对于B，为奇函数，且在区间上单调递增，B符合， 对于C，奇函数，且在区间上单调递增，C符合， 对于D，为偶函数，故D不符合， 故选：BC 6.（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（    ） A．为偶函数 B．为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】设幂函数，由于图象经过点，所以，即，所以， 故在定义域,上单调递增，B正确； 为非奇非偶函数，A不符合题意； 当，解得，故C正确； 当时，，故，即成立，D正确． 故选：BD 7.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=　　　　　.  ①f(x1x2)=f(x1)f(x2); ②对于任意两个不同的正数x1,x2,都有>0恒成立; ③对于任意两个不同的正数x1,x2,都有f()>. 【答案】(答案不唯一)　 【解析】 当=时,对于①,f(x1x2)==f(x1)f(x2),故满足①; 对于②,由对于任意两个不同的正数x1,x2,都有>0恒成立,得函数在上单调递增,而函数=在上单调递增,故满足②; 对于③,任取x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,则[f()]2-[]2=,因为x1≠x2,所以[f()]2-[]2=>0,即[f()]2>[]2,所以f()>,故满足③. 故答案为(答案不唯一). 8.幂函数过点． (1)求函数的解析式； (2)用单调性的定义证明是增函数． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）∵过点,∴，解得， ∴函数的解析式为，即. （2）函数的定义域为.，且， ， ∵，∴，即， ∴在上是增函数. 题型四：利用幂函数的性质求参数 题型分析：常考小题，本质是 “先由定义列方程，再由性质取舍”。三条主线①用 “幂函数” 定义定系数：由 前系数为 1 列方程（如 ），解出 的两个候选值；②用单调性取舍：把候选值代回，检验在 上是增还是减，不符合题意的舍去；这一步是本题型的得分关键，直接算出多解不检验是失分主因；③用 “不过原点”“关于 y 轴对称” 等几何特征取舍： 或 对应不过原点，为偶数对应 轴对称。 1.已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值是（   ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】A 【解析】由题意得，解得或1， 当时，，在上单调递增，不合要求， 当时，，在上单调递减，满足要求. 故选：A 2.若幂函数的图象不经过原点，则实数的值为 ． 【答案】-1 【解析】因为函数是幂函数， 所以，解得或； 当时，，图象不经过原点，满足题意； 当时，，图象经过原点，不满足题意； 所以. 3.（多选）幂函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 【答案】ABD 【解析】由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以；故A正确； 时，，其定义域为，且满足，所以函数是偶函数，即B正确； 由可知，函数在为单调递减，所以，所以C错误； 函数的值域为，即D正确； 故选：ABD. 4.已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________． 【答案】(－∞，0) 【解析】因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．故α<0 5.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上单调递增，且函数在、上均为增函数，所以，，即，解得或，    因此，实数的取值范围是. 故选：D. 6.已知幂函数的图像关于y轴对称. (1)求m的值; (2)若函数，求的单调递增区间. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）解:由题意知，解得，或． 又因为的图像关于y轴对称，所以为偶函数，从而． 所以，. （2）由（1）知，， 当时，，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，的单调递增区间为． 题型五：利用幂函数比较大小 题型分析：不能一律代计算器估算，同指数、不同底，看作同一个幂函数的两个函数值，直接用它在 上的单调性比较. 1.比较下列各组数的大小： (1)和；(2)和. 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，又3<3.2，所以. (2)函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，而>，所以. 2.已知函数，若，则下列各式中正确的是 ( ) A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】因为函数在上单调递增， 又， 故 故选：C. 3.图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（       ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【答案】D 【解析】由题图知：，，，所以，，依次可以是，，3． 故选：D 4.已知=,=,=,则(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得b==a,a=<4<5=2=c,所以b<a<c. 故选：A. 5.已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， 函数在上单调递增，且，，即. 故选：D. 6.设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，，， 因为在上是增函数，，所以. 故选：D. 题型六：利用幂函数单调性、奇偶性解不等式 题型分析：本专题的重难点，也是解答题最常考的一问。核心操作是用单调性 “脱去 ”，幂函数在 , 上各自单调，不是在整个定义域上单调，因此脱 “” 后必须带着定义域讨论。标准流程三步①定定义域： 先写出不等式两边各自允许的取值范围（这一步极易遗漏，是主要扣分点）；②用奇偶性统一形式： 偶函数化为比较绝对值或对称区间上的情况，把左侧变号转化为右侧；③按定义域分类脱 “”：以型为例，等价于 “两者同为正在减函数上”“两者同为负”“一正一负时负者对应函数值更大”，求解后取并集。 1.已知幂函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由幂函数 可得函数的定义域为，且是递减函数， 因为，可得，解得，即实数的取值范围为. 2.已知函数，则关于的表达式的解集为__________. 【答案】 【解析】由题意可知，的定义域为，所以，所以函数是奇函数，由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增， 由，得，即， 所以，即，解得，所以关于的表达式的解集为. 3.已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，则满足的的取值范围 【答案】 【解析】因为函数在上单调递减，所以， 解得。又因为，所以。 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数，故。 则原不等式可化为。因为在上均单调递减， 所以或或， 解得。故的取值范围是 4.已知函数．若该函数图象经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围 【答案】 【解析】该函数图象过点或(舍去)，．由，得解得．故的值为1，满足条件的实数的取值范围为 5.已知幂函数经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】设幂函数，由题意得，解得，故，， 则，即为， 根据在上为单调增函数，则有，解得，故解集为. 题型七：幂函数综合应用 题型分析：区分度题型，常以多选或解答压轴出现，考查性质的综合调度能力。①多选性质辨析②新定义与构造③复合与差函数④实际建模 1.(多选)幂函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 【答案】ABD 【解析】由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以；故A正确； 时，，其定义域为，且满足，所以函数是偶函数，即B正确； 由可知，函数在为单调递减，所以，所以C错误； 函数的值域为，即D正确； 故选：ABD. 2.用表示，中的最大者，用表示，中的最小者，若函数在上有最大值，则（   ） A．是奇函数 B．在上最大值是2 C．的值域是 D．的取值范围是 【答案】D 【解析】定义域， 在同一坐标系中分别作出函数的图象，取与的图象中较高的曲线段，再与的图象对比取较低的曲线段，得到函数的图象，如图所示， 因为图象不关于坐标原点对称，所以不是奇函数，故A错误； 因为在上有最大值，所以，故D正确，且在上最大值是1，故B错误；由图象知的值域是，故C错误； 故选：D. 3. 若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则称函数具有性质．当时，函数否具有性质?若具有，求出，；若不具有，说明理由. 【答案】具有，， 【解析】因为在上单调递增，所以在上的函数值的取值范围是，即，显然，所以，故函数具有性质． 4.已知幂函数在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的奇偶性和单调性； (3)求函数的值域． 【答案】(1)或或；(2)答案见解析；(3)答案见解析 【解析】（1）依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或 (2)若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减； 若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减； 若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减； (3)若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 5.若函数f(x)=(m2-3m+3)为幂函数,且在(0,+∞)上单调递减. (1)求实数m的值; (2)若函数g(x)=x-f(x),且x∈(0,+∞), ①判断函数g(x)的单调性,并证明; ②求使不等式g(2t-1)<g(t)成立的实数t的取值范围. 【答案】(1)1；(2)①答案见解析；② 【解析】(1)由题意知m2-3m+3=1，解得m=1或m=2， 当m=1时，幂函数f(x)=x-1，此时幂函数在(0，+∞)上单调递减，符合题意； 当m=2时，幂函数f(x)=x4，此时幂函数在(0，+∞)上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为1. (2)①g(x)=x-f(x)=x-，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增.证明如下： 任取0<x1<x2，则g(x1)-g(x2)=-=(x1-x2)-=(x1-x2)， 由0<x1<x2可得x1-x2<0，1+>0，则g(x1)-g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)， 故g(x)在区间(0，+∞)上单调递增. ②由①知，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又由g(2t-1)<g(t)可得解得<t<1， 故实数t的取值范围为. 6.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v，（单位：）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比. （1）写出气体流量速率v，关于管道半径r的函数解析式； （2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式； （3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到）. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设比例系数为，气体的流量速率关于管道半径的函数解析式为. （2）将与代入中，有.解得， 所以，气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式为. （3）当时，.所以，当气体81通过的管道半径为5cm时，该气体的流量速率约为. 题型八：二次函数问题 题型分析：幂函数专题中的配套提升题型，因 是最基本的幂函数，二次函数的图象与性质自然成为延伸考点。四条主线①值域反求区间②实际抛物线建模③图象信息读参④轴动区间定⑤轴定区间动 1.已知函数f(x)=x2-4x+5在[m,n]上的值域是[1,10],则n-m的最大值是(　　) A.3 B.6 C.4 D.8 【答案】B　 【解析】 f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,因为值域为[1,10],所以要取到最小值1,必须有2∈[m,n]. 令f(x)=10,得x=-1或x=5,所以当n=5,m=-1时,(n-m)max=6, 故选：B. 2.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为______米． 【答案】 【解析】以左边的树根为原点，地面水平线为 ，左边树为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线的对称轴为直线.过点， 故可设抛物线方程为， 当时，，解得.. 绳子的最低点距地面的距离为米. 3.(多选)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴是直线x=-1,且过点(-3,0),下列说法正确的是(　　) A.abc<0 B.2a-b=0 C.3a+c=0 D.(-5,y1),(3,y2)是抛物线上两点,y1>y2 【答案】ABC　 【解析】由图知该抛物线开口向上,故a>0,∵对称轴是直线x=-1,∴-=-1,故b=2a>0,即2a-b=0,故B正确;∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,故A正确;由抛物线对称性得该函数图象必过(1,0),可得a+b+c=0,结合b=2a,可得3a+c=0,故C正确;易知点(-5,y1),(3,y2)到对称轴距离相等,故y1=y2,故D错误. 故选：ABC. 4.已知函数，.记为的最小值.求 【答案】 【解析】由题意知，对称轴为，①当时，在上单调递增，所以的最小值为； ②当时，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为； ③当时，在上单调递减，所以的最小值为. 综上可知，. 5.设的定义域为，对于任意实数t，求的最小值. 【答案】 【解析】可化为， 当，即时，函数在上单调递减， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 当，即时，函数在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 所以. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $幂函数 专题09 幂函数 知识点分析 新课标对知识的考查要求：幂函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步学习数学的基础。通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算 规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在 解决实际问题中的作用。 题型一、根据定义判断幂函数 题型二、求幂函数的解析式 题型三、幂函数的图像及性质 题型四、利用幂函数的性质求参数 题型五、利用幂函数比较大小 题型六、利用幂函数单调性、奇偶性解不等式 题型七、幂函数综合应用 题型八、二次函数问题 一、幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 二、幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数，，，，的图象(如图)． 三、五个幂函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 四、幂函数的性质 1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； 2、如果，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； 3、如果，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限接近轴，当从原点趋向于＋∞时，图象在轴上方无限接近轴； 4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近轴. 5、幂函数的奇偶性 五、利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或者幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题。解题步骤如下： （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用。 题型一：根据定义判断幂函数 题型分析：本题型属于概念辨析类基础考点，不涉及运算，主要考查学生对幂函数形式特征的敏感度。判断的标准只有一条：能否化成 为常数）的形式。具体要抓住四个特征①系数为 1、②底数是自变量本身、③指数是常数、④只有一项。 1.下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 2.判断下列函数有哪些是幂函数？ （1） ；（2）；（3）；（4）； （5） ；（6）． 3.下列函数中，值域是的幂函数是（ ） A． B． C． D． 4.已知是幂函数，则= ，= ． 题型二：求幂函数的解析式 题型分析：高频基础题型，标准解法是待定系数法，由 “是幂函数” 先设出 ；再由图象经过已知点代入，得到关于的指数方程，解出即得解析式 1.已知点在幂函数的图象上，则的表达式为（ ） A． B． C． D． 2.已知幂函数的图象通过点，则 ． 3.已知幂函数为偶函数且在上单调递减,则的解析式可以为　　　　　.(写一个即可) 4.为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________． 题型三：幂函数的图像及性质 题型分析：本专题的图象主干题型，核心是掌握一套固定的判读顺序，把 “看图象” 变成 “对参数的四步定位”①过不过原点：时图象过 与 ；时不过原点，以坐标轴为渐近线；②第一象限的单调性：递增， 递减；③对称性：为整数时由奇偶决定关于原点或 轴对称，为分数时须先看定义域是否对称，定义域不对称即为非奇非偶；④增长速度与凸性：时图象下凸、增长越来越快；时上凸、增长越来越慢；时双曲线型，随 趋向。 1.给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是                 2.已知某幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3.在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　) 4.在同一坐标系中，函数，的图象不可能是（ ） A． B． C． D． 5.（多选）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 6.（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（    ） A．为偶函数 B．为增函数 C．若，则 D．若，则 7.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=　　　　　.  ①f(x1x2)=f(x1)f(x2); ②对于任意两个不同的正数x1,x2,都有>0恒成立; ③对于任意两个不同的正数x1,x2,都有f()>. 8.幂函数过点． (1)求函数的解析式； (2)用单调性的定义证明是增函数． 题型四：利用幂函数的性质求参数 题型分析：常考小题，本质是 “先由定义列方程，再由性质取舍”。三条主线①用 “幂函数” 定义定系数：由 前系数为 1 列方程（如 ），解出 的两个候选值；②用单调性取舍：把候选值代回，检验在 上是增还是减，不符合题意的舍去；这一步是本题型的得分关键，直接算出多解不检验是失分主因；③用 “不过原点”“关于 y 轴对称” 等几何特征取舍： 或 对应不过原点，为偶数对应 轴对称。 1.已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值是（   ） A．1 B． C．1或 D．2 2.若幂函数的图象不经过原点，则实数的值为 ． 3.（多选）幂函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 4.已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________． 5.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.已知幂函数的图像关于y轴对称. (1)求m的值; (2)若函数，求的单调递增区间. 题型五：利用幂函数比较大小 题型分析：不能一律代计算器估算，同指数、不同底，看作同一个幂函数的两个函数值，直接用它在 上的单调性比较. 1.比较下列各组数的大小： (1)和；(2)和. 2.已知函数，若，则下列各式中正确的是 ( ) A． B． C． D． 3.图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（       ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 4.已知=,=,=,则(　　) A. B. C. D. 5.已知，，，则（ ） A． B． C． D． 6.设，，，则（ ） A． B． C． D． 题型六：利用幂函数单调性、奇偶性解不等式 题型分析：本专题的重难点，也是解答题最常考的一问。核心操作是用单调性 “脱去 ”，幂函数在 , 上各自单调，不是在整个定义域上单调，因此脱 “” 后必须带着定义域讨论。标准流程三步①定定义域： 先写出不等式两边各自允许的取值范围（这一步极易遗漏，是主要扣分点）；②用奇偶性统一形式： 偶函数化为比较绝对值或对称区间上的情况，把左侧变号转化为右侧；③按定义域分类脱 “”：以型为例，等价于 “两者同为正在减函数上”“两者同为负”“一正一负时负者对应函数值更大”，求解后取并集。 1.已知幂函数，若，则的取值范围是 . 2.已知函数，则关于的表达式的解集为__________. 3.已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，则满足的的取值范围 4.已知函数．若该函数图象经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围 5.已知幂函数经过点，则不等式的解集为 ． 题型七：幂函数综合应用 题型分析：区分度题型，常以多选或解答压轴出现，考查性质的综合调度能力。①多选性质辨析②新定义与构造③复合与差函数④实际建模 1.(多选)幂函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 2.用表示，中的最大者，用表示，中的最小者，若函数在上有最大值，则（   ） A．是奇函数 B．在上最大值是2 C．的值域是 D．的取值范围是 3. 若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则称函数具有性质．当时，函数否具有性质?若具有，求出，；若不具有，说明理由. 4.已知幂函数在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的奇偶性和单调性； (3)求函数的值域． 5.若函数f(x)=(m2-3m+3)为幂函数,且在(0,+∞)上单调递减. (1)求实数m的值; (2)若函数g(x)=x-f(x),且x∈(0,+∞), ①判断函数g(x)的单调性,并证明; ②求使不等式g(2t-1)<g(t)成立的实数t的取值范围. 6.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v，（单位：）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比. （1）写出气体流量速率v，关于管道半径r的函数解析式； （2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式； （3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到）. 题型八：二次函数问题 题型分析：幂函数专题中的配套提升题型，因 是最基本的幂函数，二次函数的图象与性质自然成为延伸考点。四条主线①值域反求区间②实际抛物线建模③图象信息读参④轴动区间定⑤轴定区间动 1.已知函数f(x)=x2-4x+5在[m,n]上的值域是[1,10],则n-m的最大值是(　　) A.3 B.6 C.4 D.8 2.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为______米． 3.(多选)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴是直线x=-1,且过点(-3,0),下列说法正确的是(　　) A.abc<0 B.2a-b=0 C.3a+c=0 D.(-5,y1),(3,y2)是抛物线上两点,y1>y2 4.已知函数，.记为的最小值.求 5.设的定义域为，对于任意实数t，求的最小值. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $