第一章 专题04 充分条件与必要条件 专项训练（8大题型44题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题04 充分条件与必要条件（8大题型44题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　充分条件、必要条件的概念辨析（常考点） 题型二　充分、必要条件的判断（方程、不等式）（重点） 题型三　充分、必要条件的判断（集合法）（重点） 题型四　充分、必要条件的综合辨析（常考点） 题型五　由充分、必要条件求参数（选择、填空）（重点） 题型六　充分、必要条件与集合运算的综合（难点） 题型七　含参集合可能为空集的问题（难点） 题型八　充分、必要条件的新定义与综合问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　充分条件、必要条件的概念辨析（共6小题） 【知识积累】 定义：若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件。 四种关系： 且 ， 是 的充分不必要条件； 且 ，必要不充分条件；，充要条件；都推不出，既不充分也不必要条件。 生活情境：把句子改写成“若 ，则 ”的形式，看谁能推出谁；“不……一定不……”等价于“……是……的必要条件”。 【典例】 1．“为正三角形”是“为等腰三角形”的（    ）（26-27高一上·云南·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为正三角形一定是等腰三角形， 所以“为正三角形”可以推出“为等腰三角形”， 又因为等腰三角形不一定是正三角形， 所以“为等腰三角形”推不出“为正三角形”， 因此“为正三角形”是“为等腰三角形”的充分不必要条件． 【变式训练】 2．《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”.书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”；大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功.则“用力少而成功多”是“顺天时，量地利”的（    ）（26-27高一上·上海·阶段检测） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】设：为顺天时，量地利；为用力少而成功多， 原文：顺天时，量地利，则用力少而成功多，也就是， 所以“用力少而成功多”是 “顺天时，量地利”的必要条件. 3．已知：正整数能被4整除，：正整数能被6整除，则是的（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】因为8能被4整除，不能被6整除，且6能被6整除，不能被4整除，所以是的既不充分也不必要条件． 4．努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ）（25-26高一上·四川成都·期中） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】“努力学习不一定能够成功”，则“努力学习”不能推出“成功”，不满足充分性， “不努力学习一定不会成功”则“不努力学习”能推出“不成功”， 其逆否命题“成功”能推出“努力学习”，满足必要性， 故“努力学习”是“成功”的必要不充分条件． 5．如图所示的四个电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图是（    ）（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据充要条件的定义，分别判断四个电路图中“开关闭合”与“灯泡亮”之间的逻辑推导关系即可. 【详解】 设为“开关闭合”，为“灯泡亮”. 对于图①，开关与另一开关并联. 若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，可能是另一开关闭合而断开，即， 故图①中是的充分不必要条件. 对于图②，开关与灯泡串联.若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，则电路必须接通，故必闭合，即， 故图②中是的充要条件. 对于图③，开关与另一开关串联.若闭合，另一开关断开，则电路不通，不亮，即； 若亮，则电路接通，两开关均须闭合，故必闭合，即， 故图③中是的必要不充分条件. 对于图④，开关在干路上.若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，则干路必须接通，故必闭合，即， 故图④中是的充要条件. 综上所述，满足条件的电路图是②④. 6．现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ）（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来得到充分性，结合若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入得到不必要性，进而得到结果； 【详解】若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来． 若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入， 所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件． 故选：A. 题型二　充分、必要条件的判断（方程、不等式）（共7小题） 【知识积累】 定义法：分别判断 与 是否成立；说明不成立时举一个反例即可。 化简后比较：先把方程、不等式化简，如 或 。 常见陷阱：乘以含字母的式子要看它的正负（如 可能为 ）；平方、取绝对值后不等号方向不一定保持。 【典例】 7．设，则“”是“”的（   ）（26-27高一上·云南玉溪·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性成立：若满足，显然一定满足，因此前者可以推出后者. 必要性不成立：若满足，比如取，此时不满足，因此后者无法推出前者. 所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式训练】 8．设，则“”是“”的（    ）（24-25高一上·贵州黔西南·阶段检测） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 9．已知命题，，则是的（    ）（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当成立，即时，根据不等式的同向可加性，可得，即一定成立，因此是的充分条件； 当成立，即时，无法推出成立，举例：取，此时，满足，但不满足，因此不是的必要条件； 综上，是的充分不必要条件. 10．是的（   ）（24-25高一上·广西河池·期中） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】∵ 解方程，可得或. 若成立，则可以为或，无法推出一定成立，故该条件不是充分条件. 若成立，代入可得，即成立，故该条件是必要条件. 因此是的必要不充分条件. 11．设，，则“”是“”的（ ）（25-26高一上·广东湛江·期中） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】因为，，若，可知，则有，可得， 故充分性成立； 由，即，又，可得，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 12．设，则“”是“”的（    ）（25-26高一下·云南文山·期末） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】取，成立，不成立，故 ， 若，则，所以“”是“”的必要不充分条件. 13．已知，，则p是q的（    ）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】取，，则，此时成立，但不成立．因此p不是q的充分条件． 若，根据绝对值的性质，，显然成立即p成立因此，即p是q的必要条件． 综上，p是q的必要不充分条件． 故选：B 题型三　充分、必要条件的判断（集合法）（共7小题） 【知识积累】 集合法：设 ，。若 ，则 是 的充分条件；若 ，则 是 的充分不必要条件；若 ，则 是 的充要条件。 口诀：小范围推出大范围，“小充分，大必要”。 “使……成立的一个充分不必要条件”：找的是题中集合的真子集。 【典例】 14．设全集为，集合，，韦恩图如下图，下列命题正确的是（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由图可知集合B是集合A的子集，即， 可以推出，但是不一定能推出， 故“”是“”的必要不充分条件. 【变式训练】 15．“”是“”的（    ）（25-26高一下·山东潍坊·期中） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】记“”为条件，“”为条件， 因为，所以成立； 当时，，但，此时不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 16．设集合、是全集的两个子集，则是的（    ）（25-26高一下·上海闵行·期中） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合的包含关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，可得，但集合不一定等于全集，所以充分性不成立； 例如：设全集，集合， 此时满足，但集合不是集合的子集，所以必要性不成立， 综上可得，是的既非充分也非必要条件. 17．：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ）（25-26高一上·重庆·期末） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接判断和的真假，即可确定是的何种条件. 【详解】首先，判断对的推出关系：若、至少一个是空集，则必为空集，即； 若为空集，未必有、至少一个是空集(如)，即. 所以：是的必要不充分条件. 故选：B. 18．已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ）（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知条件，得出方程只有一个根或两个相等的实根，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 19．使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ）（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测） A．或 B．或 C． D．或 【答案】BC 【分析】根据充分不必要条件确定正确答案. 【详解】题目求使“或”成立的一个充分不必要条件， 即求集合或的真子集， 所以BC选项正确，AD选项错误. 20．已知，则是的___________条件．（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一填空）（25-26高一上·山西长治·期末） 【答案】必要不充分 【详解】因为是的真子集， 则是的必要不充分条件． 题型四　充分、必要条件的综合辨析（共6小题） 【知识积累】 逐项判断：每个选项都先分清条件和结论，再分别判断两个方向的推出关系。 注意说法：“ 是 的必要条件”与“ 的必要条件是 ”方向相反。 常用结论：；。 【典例】 21．下列命题中真命题是（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A．四边形对角线互相垂直是四边形是菱形的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 【答案】D 【详解】选项A：菱形的对角线必互相垂直，但对角线互相垂直的四边形若不满足对角线互相平分则不是菱形，故“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件，A为假命题； 选项B：解不等式，得，即，取满足，但不满足，充分性不成立，B为假命题； 选项C：，得，故是的充要条件，C为假命题； 选项D：为无理数，所以充分性不成立；为有理数，但都是无理数，所以必要性不成立， 故或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件. 【变式训练】 22．下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ）（25-26高一上·广东汕尾·期末） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 【答案】A 【分析】由必要不充分条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为 ，所以或， 即由不能推出，但由能推出， 所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于B，由等式的性质可知由能推出，由能推出， 不满足是的必要不充分条件，故B不正确； 对于C，因为，所以， ，则，或， 即由能推出，但由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故C不正确； 对于D，因为长方形的对角线互相平分，但不一定垂直， 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而菱形不一定是长方形， 即由不能推出，由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故D不正确. 故选：A. 23．下列命题正确的是（     ）（26-27高一上·山东泰安·阶段检测） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“，”是“”的充分不必要条件 【答案】AD 【详解】对于A，当时，，所以“”是“”的不充分条件； 由，可得，所以，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，取，满足，但此时无意义， 所以“”是“”的不必要条件； 由，得，所以， 所以“”是“”的充分条件； 所以“”的充分不必要条件是“”，故B错误； 对于C，由，得，解得或. 但得不出或，所以“”是“”的不充分条件； 又或可得出，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，当，时，有成立， 所以“，”是“”的充分条件； 而，但，不成立，即由不能得到，， 所以“，”是“”的不必要条件； 所以，“，”是“”的充分不必要条件，故D正确. 24．下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·吉林·阶段检测） A．命题“若，则”为真命题． B．“”是“”的充分不必要条件． C．空集是任何集合的真子集． D．命题“若，则且”为真命题． 【答案】ABD 【详解】当时，，A选项正确； 当时，，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件.B选项正确； 空集是任何非空集合的真子集，C选项错误； 因为，所以当，则且，所以D选项正确. 25．下列结论中正确的是（    ）（23-24高一上·云南文山·阶段检测） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【详解】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 26．指出下列各组命题中，是的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答）（26-27高一上·吉林·阶段检测） (1)：为自然数，：为整数； (2)：，：； (3)：同位角相等，：两直线平行； (4)：，：； 【答案】(1) 充分不必要条件 (2) 必要不充分条件 (3) 充要条件 (4) 充分不必要条件 【分析】（1）由自然数和整数的概念作出判断； （2），而，得到结论； （3）两者可互相推出，故可得到结论； （4）结合等式的性质及分式的意义即可判断. 【详解】（1）为自然数，则为整数，但为整数，不妨令，则不是自然数， 故是的充分不必要条件； （2），而， 故是的必要不充分条件； （3）同位角相等，可得到两直线平行，反之，两直线平行，可得到同位角相等， 是的充要条件； （4），若，此时没意义，不能得到， 故是的充分不必要条件. 题型五　由充分、必要条件求参数（选择、填空）（共7小题） 【知识积累】 转化：把条件写成集合，“ 是 的充分不必要条件”转化为 ；“必要条件”转化为 。 数轴法：画出数轴，由包含关系列出端点之间的不等式，端点能否取等要单独检验。 “可以是”：求出参数的全部取值后，选出其中的值（或其子集）。 【典例】 27．命题：，命题：，若命题的必要不充分条件是，则的取值可以为（   ）（26-27高一上·河北·阶段检测） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，结合充分条件和必要条件的判定方法，转化为集合的包含关系，即可求解. 【详解】由命题：，命题：，设集合 因为命题的必要不充分条件是，可得是的真子集，所以， 结合选项，可得的取值可以为. 【变式训练】 28．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则整数的最小值为（    ）（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解，得，由题意可得，求解后再验证即可. 【详解】若，则不等式无解，不符合题意； 若，由，得， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以，等号不同时成立，解得， 当时，由，得， 因为为的真子集， 则是不等式成立的充分不必要条件，符合题意，所以， 故整数的最小值为. 29．已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ）（26-27高一上·北京西城·阶段检测） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知集合是集合的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 30．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（    ）（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） A． B． C．0 D．2 【答案】BCD 【详解】令，. “”是“”的充分不必要条件， 真包含于， ，即． 结合选项知，的值可以是，，． 31．“关于的方程的根为正实数”为真命题的一个必要条件可以是（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分为和两种情况，求出方程的根为正实数时的范围，结合必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，方程的根为，符合； 当时，方程为一元二次方程， 若关于的方程的根为正实数，则，解得， 综上，“关于的方程的根为正实数”等价于， 故“关于的方程的根为正实数”为真命题的一个必要条件可以是或. 32．已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________（25-26高一上·上海·期末） 【答案】 【分析】根据必要条件的定义进行求解即可. 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 33．已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________.（25-26高一上·江西抚州·期末） 【答案】 【分析】解方程，把集合具体化，然后利用集合间的关系可得答案. 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ， 解得：或. 故答案为： 题型六　充分、必要条件与集合运算的综合（共4小题） 【知识积累】 第（1）问：先代入参数求出集合，再进行交、并、补运算，借助数轴写出结果。 第（2）问：“ 是 的充分条件”即 ；“充分不必要条件”即 ，两个端点不等式的等号不能同时成立。 【典例】 34．已知，，全集.（25-26高一上·湖南岳阳·期末） (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集和补集的概念直接求解即可； （2）将充分不必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合关系列不等式组可求. 【详解】（1）若，则， 又或，所以； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式训练】 35．设全集，集合，.（25-26高一上·陕西渭南·期末） (1)当时，求; (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先通过全集与补集的定义，将给定条件转化为具体不等式的解集，再根据交集运算规则求出两个集合的共同部分； （2）利用充分条件的集合解释，将条件转化为子集关系，再根据数轴分析端点值的大小关系确定参数范围. 【详解】（1）当时，集合， 又因为全集，所以， 因为集合，所以 （2）因为“”是“”的充分条件，所以. 又因为集合，，所以. 即的取值范围为. 36．已知集合．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） (1)若，求； (2)若___________，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，并解答相应问题．（如果选择多个条件分别作答，那么按第一个解答计分） ①；②“”是“”的充要条件；③． 【答案】(1) (2)若选取①，的取值范围是；若选取②，的取值范围是；若选取③，的取值范围是或． 【分析】（1）利用补集和交集的概念进行求解； （2）选①，可得，进而可得不等式，求出答案；选②，可得，求出答案；选③，可得不等式，求出答案 【详解】（1）当时，， 则或． 因为，所以． （2）因为，所以． 若选取①，因为，所以， 所以，解得． 所以实数的取值范围是． 若选取②，由“”是“”的充要条件，可得． 所以，解得． 所以实数的取值范围是． 若选取③，因为， 所以或，解得或． 所以实数的取值范围是或． 37．已知全集，集合，，.（25-26高一上·天津河北·期中） (1)当时，求，； (2)若是的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)；或． (2) 【分析】（1）利用集合的运算求解； （2）根据充分条件得到集合的包含关系，进而列出不等式组求解. 【详解】（1）当时，. 因为， 所以； 因为或， 所以或． （2）因为是的充分条件， 所以， 所以，解得， 所以实数m的取值范围是． 题型七　含参集合可能为空集的问题（共3小题） 【知识积累】 不要漏空集：由“ 是 的必要条件”得 ，含参数的集合 可能是空集，先讨论 。 分类讨论： 为空集时 ；非空时 ，再由数轴列不等式，最后合并结果。 【典例】 38．已知集合，集合．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测） (1)当时，求，； (2)若：是：的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题目条件，求出集合，再根据集合的运算，求出结果即可； （2）根据必要条件和集合的关系，判断集合的包含关系，进而根据包含关系分类讨论，求出参数范围. 【详解】（1）当时，，则， 可知或，则. （2）若：是：的必要条件，则， 当时，可得，解得，此时符合条件， 当时，可得，解得， 综上所述，当是：的必要条件时，. 【变式训练】 39．已知集合，集合（25-26高一上·广西桂林·阶段检测） (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入求出集合，再根据交集的定义即可计算； （2）依题意可得为的真子集，分与两种情况讨论，即可求解的取值范围． 【详解】（1）当时，， 因此． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则为的真子集， 当时，即，解得， 当时，则，解得，检验符合， 因此的取值范围为． 40．已知集合，（25-26高一上·广东中山·阶段检测） (1)若，则“”是“”的什么条件？（用充分不必要，必要不充分，充要条件等作答） (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)必要不充分条件 (2) 【分析】（1）将代入，根据充分必要条件的定义，进行判断即可. （2）由可得出，对是否为空集进行讨论即可. 【详解】（1）（1）由于，所以，， 所以“”是“”的必要不充分条件. （2）由可得， 当时，，解得， 当时，则，无解， 综上所述，的取值范围是. 题型八　充分、必要条件的新定义与综合问题（共4小题） 【知识积累】 新定义问题：先读懂定义，用具体的数或集合验证，再判断两个方向的推出关系。 多重条件嵌套：“ 是 的充分条件”本身也是一个命题，判断两个这样的命题之间的关系时，先分别写成推出关系再比较。 【典例】 41．在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（    ）（25-26高一上·四川泸州·期中） A． B． C． D．整数a，b属于同一“类”的充要条件是“” 【答案】BCD 【分析】理解“类”的定义，容易判断AB选项的正误；而C，则由被4除所得的余数只有四种情况理解辨析即可；而D，则需要互为条件结果各证一次，进而得以判断. 【详解】对于A，由得，故A错误； 对于B，由得，故B正确； 对于C，所有整数被4除所得的余数只有四种情况，即刚好分成共4类，故，故C正确. 对于D，若整数属于同一“类”，则， 故，所以； 反之，不妨设，则， 若，则，即，所以整数属于同一“类”； 故整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D正确. 故选：BCD. 【变式训练】 42．非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ）（25-26高一上·江苏南京·阶段检测） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 43．有限集合中元素的个数记做，设都为有限集合，则下列命题真命题是（    ）（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测） A．的充要条件是 B．的必要不充分条件是 C．的充分不必要条件是 D．的充要条件是 【答案】AB 【分析】根据集合的基本关系和充要条件的定义，再结合有限集合元素个数公式可得. 【详解】对于A：因为等价于， 又， 所以等价于， 故的充要条件是，故A正确； 对于B：只是说明集合和集合元素个数的关系，不能得到； 说明集合中的元素都是集合中的元素， 则 ， 即的必要不充分条件是，故B正确； 对于C：只是说明集合和集合元素个数的关系，不能得到； 如，则，满足， 但是集合、没有任何关系，故推不出， 即充分性不成立，故C错误； 对于D：集合中的元素与集合中的元素完全相同，则， 但两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同， 如，则， 显然集合没有包含关系，故D错误. 故选：AB 44．记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（    ）（24-25高一上·辽宁大连·期末） A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 【答案】D 【分析】将每个选项的命题都用集合表示，再根据集合的运算性质判断命题的充分条件和必要条件，从而可以逐一判断. 【详解】令三个命题A，B，C对应三个数集，全集为， 对于A，命题“A是B的充分不必要条件”等价于命题：⫋， 命题“B是A的必要条件”，等价于命题：， 因此，但，所以是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，命题“是的必要不充分条件”等价于命题：⫋， 命题“A是的充分不必要条件”等价于命题：⫋，因此，但， 所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题“是的充要条件”等价于命题，即， 也即；命题“是的充分不必要条件”等价于命题⫋， 因此，但，所以是的既不充分不必要条件，故C错误； 对于D，命题“是的既不充分也不必要条件”等价于命题：与互不包含， 命题“是的充要条件”等价于命题，即， 因此，但，所以是的必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点：该题的解题关键点是将所有命题都用集合表示，把充分条件必要条件问题转化为集合的关系和运算问题，从而快速得解. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题04 充分条件与必要条件（8大题型44题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　充分条件、必要条件的概念辨析（常考点） 题型二　充分、必要条件的判断（方程、不等式）（重点） 题型三　充分、必要条件的判断（集合法）（重点） 题型四　充分、必要条件的综合辨析（常考点） 题型五　由充分、必要条件求参数（选择、填空）（重点） 题型六　充分、必要条件与集合运算的综合（难点） 题型七　含参集合可能为空集的问题（难点） 题型八　充分、必要条件的新定义与综合问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　充分条件、必要条件的概念辨析（共6小题） 【知识积累】 定义：若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件。 四种关系： 且 ， 是 的充分不必要条件； 且 ，必要不充分条件；，充要条件；都推不出，既不充分也不必要条件。 生活情境：把句子改写成“若 ，则 ”的形式，看谁能推出谁；“不……一定不……”等价于“……是……的必要条件”。 【典例】 1．“为正三角形”是“为等腰三角形”的（    ）（26-27高一上·云南·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练】 2．《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”.书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”；大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功.则“用力少而成功多”是“顺天时，量地利”的（    ）（26-27高一上·上海·阶段检测） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3．已知：正整数能被4整除，：正整数能被6整除，则是的（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ）（25-26高一上·四川成都·期中） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 5．如图所示的四个电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图是（    ）（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 6．现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ）（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二　充分、必要条件的判断（方程、不等式）（共7小题） 【知识积累】 定义法：分别判断 与 是否成立；说明不成立时举一个反例即可。 化简后比较：先把方程、不等式化简，如 或 。 常见陷阱：乘以含字母的式子要看它的正负（如 可能为 ）；平方、取绝对值后不等号方向不一定保持。 【典例】 7．设，则“”是“”的（   ）（26-27高一上·云南玉溪·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练】 8．设，则“”是“”的（    ）（24-25高一上·贵州黔西南·阶段检测） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知命题，，则是的（    ）（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．是的（   ）（24-25高一上·广西河池·期中） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．设，，则“”是“”的（ ）（25-26高一上·广东湛江·期中） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 12．设，则“”是“”的（    ）（25-26高一下·云南文山·期末） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知，，则p是q的（    ）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三　充分、必要条件的判断（集合法）（共7小题） 【知识积累】 集合法：设 ，。若 ，则 是 的充分条件；若 ，则 是 的充分不必要条件；若 ，则 是 的充要条件。 口诀：小范围推出大范围，“小充分，大必要”。 “使……成立的一个充分不必要条件”：找的是题中集合的真子集。 【典例】 14．设全集为，集合，，韦恩图如下图，下列命题正确的是（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【变式训练】 15．“”是“”的（    ）（25-26高一下·山东潍坊·期中） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．设集合、是全集的两个子集，则是的（    ）（25-26高一下·上海闵行·期中） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 17．：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ）（25-26高一上·重庆·期末） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ）（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ）（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测） A．或 B．或 C． D．或 20．已知，则是的___________条件．（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一填空）（25-26高一上·山西长治·期末） 题型四　充分、必要条件的综合辨析（共6小题） 【知识积累】 逐项判断：每个选项都先分清条件和结论，再分别判断两个方向的推出关系。 注意说法：“ 是 的必要条件”与“ 的必要条件是 ”方向相反。 常用结论：；。 【典例】 21．下列命题中真命题是（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A．四边形对角线互相垂直是四边形是菱形的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 【变式训练】 22．下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ）（25-26高一上·广东汕尾·期末） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 23．下列命题正确的是（     ）（26-27高一上·山东泰安·阶段检测） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“，”是“”的充分不必要条件 24．下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·吉林·阶段检测） A．命题“若，则”为真命题． B．“”是“”的充分不必要条件． C．空集是任何集合的真子集． D．命题“若，则且”为真命题． 25．下列结论中正确的是（    ）（23-24高一上·云南文山·阶段检测） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 26．指出下列各组命题中，是的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答）（26-27高一上·吉林·阶段检测） (1)：为自然数，：为整数； (2)：，：； (3)：同位角相等，：两直线平行； (4)：，：； 题型五　由充分、必要条件求参数（选择、填空）（共7小题） 【知识积累】 转化：把条件写成集合，“ 是 的充分不必要条件”转化为 ；“必要条件”转化为 。 数轴法：画出数轴，由包含关系列出端点之间的不等式，端点能否取等要单独检验。 “可以是”：求出参数的全部取值后，选出其中的值（或其子集）。 【典例】 27．命题：，命题：，若命题的必要不充分条件是，则的取值可以为（   ）（26-27高一上·河北·阶段检测） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】 28．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则整数的最小值为（    ）（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测） A． B． C． D． 29．已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ）（26-27高一上·北京西城·阶段检测） A．或 B．或 C． D． 30．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（    ）（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） A． B． C．0 D．2 31．“关于的方程的根为正实数”为真命题的一个必要条件可以是（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 32．已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________（25-26高一上·上海·期末） 33．已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________.（25-26高一上·江西抚州·期末） 题型六　充分、必要条件与集合运算的综合（共4小题） 【知识积累】 第（1）问：先代入参数求出集合，再进行交、并、补运算，借助数轴写出结果。 第（2）问：“ 是 的充分条件”即 ；“充分不必要条件”即 ，两个端点不等式的等号不能同时成立。 【典例】 34．已知，，全集.（25-26高一上·湖南岳阳·期末） (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式训练】 35．设全集，集合，.（25-26高一上·陕西渭南·期末） (1)当时，求; (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 36．已知集合．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） (1)若，求； (2)若___________，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，并解答相应问题．（如果选择多个条件分别作答，那么按第一个解答计分） ①；②“”是“”的充要条件；③． 37．已知全集，集合，，.（25-26高一上·天津河北·期中） (1)当时，求，； (2)若是的充分条件，求实数m的取值范围. 题型七　含参集合可能为空集的问题（共3小题） 【知识积累】 不要漏空集：由“ 是 的必要条件”得 ，含参数的集合 可能是空集，先讨论 。 分类讨论： 为空集时 ；非空时 ，再由数轴列不等式，最后合并结果。 【典例】 38．已知集合，集合．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测） (1)当时，求，； (2)若：是：的必要条件，求的取值范围． 【变式训练】 39．已知集合，集合（25-26高一上·广西桂林·阶段检测） (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 40．已知集合，（25-26高一上·广东中山·阶段检测） (1)若，则“”是“”的什么条件？（用充分不必要，必要不充分，充要条件等作答） (2)若，求实数的取值范围. 题型八　充分、必要条件的新定义与综合问题（共4小题） 【知识积累】 新定义问题：先读懂定义，用具体的数或集合验证，再判断两个方向的推出关系。 多重条件嵌套：“ 是 的充分条件”本身也是一个命题，判断两个这样的命题之间的关系时，先分别写成推出关系再比较。 【典例】 41．在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（    ）（25-26高一上·四川泸州·期中） A． B． C． D．整数a，b属于同一“类”的充要条件是“” 【变式训练】 42．非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ）（25-26高一上·江苏南京·阶段检测） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 43．有限集合中元素的个数记做，设都为有限集合，则下列命题真命题是（    ）（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测） A．的充要条件是 B．的必要不充分条件是 C．的充分不必要条件是 D．的充要条件是 44．记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（    ）（24-25高一上·辽宁大连·期末） A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $