专题08 函数奇偶性及其应用（55题）训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数奇偶性及其应用 专题08 函数奇偶性及其应用 知识点分析 新课标对知识的考查要求：结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。奇偶性是贯穿高中的核心性质，高一学习的定义、奇偶区间、奇偶运算性质、图像对称性，是高三研究函数、简化导数分析的底层依据，奇偶性本质是刻画函数对称特征的重要工具。高一以定义法判断、基础初等函数、分段、简单复合函数为主，偏向定性识别、简单求值和解不等式。 题型一、函数奇偶性的定义与判断 题型二、由奇偶性求解析式 题型三、利用函数奇偶性求参数 题型四、利用奇偶性求函数值 题型五、利用函数单调性、奇偶性比较大小 题型六、利用函数单调性、奇偶性解不等式 题型七、利用函数单调性、奇偶性识别图像 题型八、抽象函数的奇偶性 题型九、函数的对称性 一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 二、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 4、性质法：；|奇|=偶，|偶|=偶，，。 5、分段函数奇偶性的判断 分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此判断奇偶十五方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、利用奇偶性求解析式 1、已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为，然后把转化为－，此时－成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． 2、已知函数，组合运算与奇偶性，则把换为－，构造方程组求解． 提醒：若函数的定义域内含0且为奇函数，则必有. 4、 利用函数奇偶性与单调性解不等式 1、利用图象解不等式． 2、转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“”转化为简单不等式(组)求解． ③列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域． 五、函数的轴对称的常用结论 （1）若则图象的对称轴为； （2）若则图象的对称轴为； （3）若则图象的对称轴为。 六、函数的中心对称的常用结论 （1）若则的图象，以为对称中心； （2）若则的图象，以为对称中心； （3）若则的图象，以为对称中心； （4）若则的图象，以为对称中心； 七、抽象函数证明或判断奇偶性 1、证明奇偶性，实质就是赋值 2、可赋值，得到一些特殊点函数值，如等； 3、尝试适当的换元字母，构造出和，如，可令可令等等 题型一：函数奇偶性的定义与判断 题型分析：本题型是奇偶性基础考点，核心两步：①优先判断定义域是否关于原点对称，定义域不关于原点对称直接判定非奇非偶；②定义域对称前提下，利用定义、，也可以使用运算性质、图像法快速判断。常考普通函数、分段函数、复合函数、函数四则运算后的奇偶性。易错点：①忽略定义域优先原则；②分段函数判断奇偶时代入错分段区间。 1.函数的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】C 【解析】由函数的定义域可得，则， 由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数. 故选：C. 2.（多选）下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为函数的定义域是，所以函数无奇偶性； 函数的定义域是，又，所以函数为奇函数；函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，又因为时，在上单调递增； 函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，在上单调递增. 故选：BC. 3. 判断下列函数的奇偶性： ； ； ；； 【答案】(1)既是奇函数又是偶函数；（2）非奇非偶函数：（3）奇函数； （4）奇函数；（5）偶函数 【解析】(1)函数的定义域为，关于原点对称，且，又，既是奇函数又是偶函数。 (2) 函数的定义域为，不关于原点对称， 是非奇非偶函数。 (3) 函数的定义域为，，都， 且，是奇函数。 (4)的定义域为，关于原点对称。 ，所以为奇函数。 (5)的定义域为，关于原点对称， 当时，， 则； 当时，， 则， 所以是偶函数。 4.（多选）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，函数定义域为R，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是偶函数， 当时，在上单调递增，B是； 对于C，函数定义域为R，是偶函数，当时，在上单调递增，C是； 对于D，函数定义域为R，是偶函数，当时，在上单调递增，D是. 故选：BCD 5.设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为，的定义域为，关于原点对称，， 对于A, ，,,所以不是奇函数， 对于B, 又，故为奇函数， 的定义域为， 的定义域为，定义域不关于原点对称，所以CD均不为奇函数， 故选：B 6.已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，则下列说法正确的是（ ） A．为上的奇函数 B．为上的奇函数 C．为上的偶函数 D．为上的偶函数 【答案】D 【解析】因为为上的奇函数，为上的偶函数，所以，， 对于A， ，设，则，故错误； 对于B， ，设，则，故错误； 对于C， ，，设，，故错误； 对于D，， 设，，所以为偶函数，故正确. 故选：D. 7.（多选）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（ ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 【答案】AD 【解析】选项A：设，因为是定义在上的函数，所以的定义域为，，所以为偶函数，故A正确； 选项B：，因为是定义在上的函数，所以的定义域为， ，所以为偶函数，故B错误； 选项C：设，因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，因为为奇函数，为偶函数，所以，所以为偶函数，故C错误； 选项D：设，因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，所以不是奇函数，因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，所以不是偶函数，所以是非奇非偶函数，故D正确， 故选：AD. 题型二：由奇偶性求解析式 题型分析：高频基础题型，分两类考法①已知函数在某一段区间解析式，求对称区间解析式：设待求区间，转化到已知区间，借助奇偶性推导；②给出一奇一偶，给出等式，将替换成构建方程组联立求解。 1.已知是偶函数，当时，，则当时，_________． 【答案】 【解析】由，则，且函数是偶函数，故当时， 2.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则当时，函数的解析式为 . 【答案】 【解析】时，，，所以. 3.设函数是定义在R上的奇函数，当x<0时，＝－x2－x，则函数的解析式 . 【答案】＝ 【解析】设x>0，则－x<0，则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x. 又是R上的奇函数，∴＝－f(－x)＝x2－x. 又∵函数的定义域为R，∴f(0)＝0，综上可知＝ 4.已知函数是奇函数，当时，，则______． 【答案】 【解析】由函数是上的奇函数，得， 而当时，，所以有，综上所述， 5.已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式． 【答案】， 【解析】以代替条件等式中的，则有， 又，分别是上的奇函数和偶函数，故． 又，联立可得， 6.设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数是一个偶函数，是一个奇函数，所以，， 因为①，则②， 所以①+②得，所以． 故选：A． 题型三：利用函数奇偶性求参数 题型分析：三类解题思路①若奇函数在处有定义，直接用求参；②利用定义或者恒成立，多项式对应系数相等求解参数；③偶函数、奇函数的定义域必须关于原点对称，利用定义域端点互为相反数列等式求参。 1. 设函数为奇函数，则 【答案】-1 【解析】 因为为奇函数，所以， 即， 显然，整理得，故，得. 2.若＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 【答案】C 【解析】∵为R上的奇函数，∴f(0)＝0，得a＝1. 故选：C. 3.已知函数为奇函数，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】函数为奇函数，当时，，所以，所以，，故． 故选：C. 4.若函数＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数的单调递增区间为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞) 【答案】A 【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即函数＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增． 故选：A． 5.已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A． B．8 C． D．24 【答案】A 【解析】由题意，定义在上的奇函数，可得，解得， 又由当时，所以， 故选：A. 6.若函数＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________. 【答案】　　0 【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.又函数＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. 7.已知函数是定义在上的偶函数. (1)求实数、的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）因为函数是定义在上的偶函数，则，解得，且，即，所以，，解得. （2）由（1）可得，且，所以，，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，， 又因为，，则.因此，函数的值域为. 题型四：利用奇偶性求函数值 题型分析：主要考两种模型 ①给自变量，利用奇偶性转化正负自变量，代入已知表达式算函数值； ②构造奇函数模型：，其中是奇函数，则，利用奇函数最大值 + 最小值 = 0，求最大最小之和。不需要求出完整函数解析式，只做整体代换。 1.若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】C 【解析】因为为奇函数，且当时，，所以当时，，所以. 故选：C 2.设函数＝且为偶函数，则g(－2)等于(　　) A．6 B．－6 C．2 D．－2 【答案】A 【解析】g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6. 故选：A 3.设函数（其中为常数，），若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，令，则，即为奇函数，则，又，即，所以，所以 故选：C 4.已知函数，且，则______． 【答案】2028 【解析】构造具有奇偶性的函数，由，得， 构建函数，定义域为，因为所以函数是偶函数，所以，所以，从而，又，因此. 5.（多选）是奇函数，是偶函数，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因是奇函数，是偶函数，则，，解得，即A，C都正确；而，即B，D都不正确. 故选：AC 6.已知为奇函数，则（    ） A． B．14 C． D．7 【答案】C 【解析】因为为奇函数，故， ， ， ， 故. 故选：C. 7.设函数的最大值为，最小值为，则=___________ . 【答案】2 【解析】，令，则为奇函数，所以的最大值和最小值和为0，又.有，即. 题型五：利用函数单调性、奇偶性比较大小 题型分析：奇偶性实现自变量正负转化，偶函数有；奇函数对称区间单调性相同，偶函数对称区间单调性相反。步骤：把全部自变量转化到同一个单调区间内，再利用单调性比较函数值。部分题目会结合函数周期性，先利用周期化简自变量，再比较大小。 1. 若在上是减函数，则与之间有 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在上是减函数，对任意，，若，均有。 又。 故选：B. 2.若是偶函数，则从小到大的排列是 【答案】 【解析】 是偶函数，恒成立， 即恒成立，，即。的图象开口向下，对称轴为轴，在上单调递减， ， 即。 3.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递增，则（ ） A． B． C D 【答案】 D 【解析】，， 同理， 又奇函数在区间上单调递增， 在区间上单调递增，， 即 故选：D 4.设是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0，若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系 【答案】 【解析】因为a>b，所以a－b>0，由题意得>0，所以f(a)＋f(－b)>0. 又是定义在R上的奇函数，所以，所以，即． 5.已知定义在上的偶函数在上单调递减，且. (1)求不等式的解集； (2)比较与的大小. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）定义在上的偶函数在上单调递减，则在上单调递增， 又，所以， 则当时，不等式，即， 即，解得或， 所以不等式的解集为； （2）因为当且仅当时取等号， 又，且在上单调递减， 所以. 题型六：利用函数单调性、奇偶性解不等式 题型分析：①优先写出函数定义域（极易遗漏扣分）；②借助奇偶性变形不等式：奇函数；偶函数；③根据单调性脱掉，转化普通代数不等式组求解。 注意：偶函数尽量转化绝对值形式做题，减少分类讨论。 1.设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围 【答案】 【解析】因为是奇函数且在上单调递减， 所以在上单调递减。 所以不等式等价于解得所以实数的取值范围为。 2.偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，所以在单调递减，在单调递增，因为，所以，所以，化简得，又因为为正实数，所以.故选：B. 3.已知是定义在上的奇函数，且在上是减函数，解不等式。 【答案】 【解析】是定义在上的奇函数， 由，得，即。又在上是减函数，解得，原不等式的解集为 4.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，由题意得，解得；设，则，所以，因为是定义在上的奇函数， 所以，当时，，由题意得，解得；所以的解集是， 故选：C. 5.已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，由题意知在上为减函数，又为上的偶函数，所以为上的奇函数，又在上为减函数，，所以在上为减函数， ①当时，，即，所以，所以，解得； ②当时，，即，所以，所以，解得.所以或. 故选：D. 6.已知函数，，且为奇函数. (1)求实数，判断函数的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的判断； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），函数在上是单调递增函数；（2）. 【解析】（1）由是定义在上的奇函数，得， 即，于是，解得，则， 函数在上单调递增，证明如下：，且，则，由，得，，， 于是，即，所以函数在上是单调递增函数. （2）由（1）知，函数是定义在上的奇函数，且为增函数， 则恒成立，即恒成立， 亦即恒成立，因此，解得， 所以的取值范围是. 7.已知函数，. (1)用单调性的定义证明在上是单调减函数；（2） (2)若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上是单调减函数； 【解析】（1）任取，且，则， 又，，，， ，即，在上是单调减函数． （2）在上单调递减且恒有， 不等式对于任意恒成立， 即为，对于任意恒成立， 令， 当时取得最小值，，所以的取值范围是． 8.已知函数，对恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】 【解析】的定义域为R，且， 故为奇函数， 且当时，在上单调递减， 又，故在R上单调递减， 又， ， 故，即，所以，解得. 题型七：利用函数单调性、奇偶性识别图像 题型分析：经典识图题做题套路①奇偶性：判断图像关于原点还是轴对称，直接排除部分选项；②特殊点：代入的特殊值判断函数正负；③极限趋势：判断函数趋向；④简单单调性判断；⑤不需要精确画图，排除法选出答案。 1.函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】易知，即为奇函数，其函数图象关于原点中心对称，可排除C、D；显然当时，恒成立，可排除B，即A正确. 故选：A 2.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为， ，函数是奇函数，A错误； 当，且时，，C错误； 当时，，函数在上都单调递增， 因此函数在上单调递增，B错误，选项D符合题意. 故选：D 3.已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 4.已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的定义域为，不符合函数图像，A不满足； 的定义域为，不符合函数图像，B不满足； ，，不符合函数图像，D不满足. 故选：C 5.函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，则，所以函数的定义域为，故排除B；当时，，故排除A；，故排除C. 故选：D. 6.已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B．6 C． D．3 【答案】C 【解析】由直线，，知，又由二次函数的对称性和图象知顶点为，所以，解得，由得，，则． 故选：C. 题型八：抽象函数的奇偶性 题型分析：难点题型无具体解析式，依靠赋值法解题。 核心方法：赋值，令等，构造与，以此证明奇偶性；经常同时考察抽象函数单调性、解抽象不等式。 1.（多选）已知函数的定义域为，对任意，总有，且当时，，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】对任意，总有， 对于A，令，得，解得，A正确； 对于B，令，得，解得，B错误； 对于C，，，为奇函数，C正确； 对于D，令，则，当时，， 对，恒有，即， ，则，，， 因此函数在上单调递增，D正确. 故选：ACD 2.（多选）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 【答案】ABD 【解析】令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 令，则有， 即，故函数是奇函数， 有，即， 即函数是减函数，令，有，故B正确、C错误、D正确. 故选：ABD. 3.已知定义在上的函数，满足对任意的，，都有.当时，.且（3）. （1）求的值； （2）判断并证明函数在上的奇偶性； （3）在区间，上，求的最值. 【答案】（1）0；（2）奇函数，证明见解析；（3）最大值为12，最小值为. 【解析】（1）令，得，. （2）令，得，即对于定义域内的任意一个，都有， 是奇函数. （3）任取实数、，且，这时，， ， 时，，在，上是减函数. 故的最大值为，最小值为（9）.而（9）（3），（9）.在区间，上的最大值为12，最小值为. 4.定义在上的函数，对任意都有. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，试求的值. 【答案】（1）在定义域上为奇函数；理由见解析；（2）1. 【解析】（1）取，则，∴，任取， 则，即， ∴在定义域上为奇函数； （2）因为，同理，，， 所以， ∵，∴. 5.定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)，函数为偶函数；(2)函数在上单调递减； (3)或 【解析】（1）由题意知，函数满足：， 令，则，解得， 令，则，解得， 函数为偶函数，理由如下： 由题意，函数的定义域为， 令，则，即， 所以函数为偶函数. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，令，， 则，即， 因为，则，由题意知， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （3）由，得； 令，则，所以， 因为函数为偶函数，所以， 当时，因为函数在上单调递减， 所以由，得，即，解得； 因为函数为偶函数，且函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 当时，由，得， 所以，解得； 综上所述，不等式的解集为或. 题型九：函数的对称性 题型分析：拓展提升，奇偶性是特殊的对称性。 常结合周期一起考查，①函数同时具备轴对称 + 中心对称可以推导出周期；②也会考察函数平移后的对称中心、对称轴；③注意区分：轴对称（竖直线）、中心对称（点），不要混淆两者结论。 1.已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得函数图象的对称轴是直线，又二次函数图象开口向上，若在区间上单调递减，则，解得． 故选：B. 2.（多选）已知函数，则（   ） A．在上单调递减 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】BD 【分析】依据函数解析式可得在和上是分别单调递减的，不能用并集，即A错误，再根据奇函数图象性质以及平移规则可判断BD正确，C错误. 【详解】根据题意可知， 易知将奇函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得， 画出函数的图象如下图所示： 可得在和上是分别单调递减的，不能用并集表示，即A错误； 由图可知，的值域为，即B正确； 的图象不是轴对称图形，可知C错误； 依据奇函数平移规则可得的图象关于点对称，即D正确. 故选：BD 3.函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的对称中心为，则对任意恒成立， 代入解析式，有， 即对任意恒成立， 所以，解得，故对称中心为. 故答案为：B. 4.（多选）已知函数对，都有，，且，则（ ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点（-2，0）中心对称 C． D． 【答案】BC 【解析】因为，所以为奇函数， 又因为，所以关于对称， 所以，令等价于，所以， 再令等价于，所以，所以的周期为4， 由，可得：， 所以的图象关于对称，故A不正确； 又因为的图象关于对称，的周期为4， 所以的图象关于点中心对称，故B正确； 令中，可得，所以，故C正确； ，故D不正确. 故选：BC. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $函数奇偶性及其应用 专题08 函数奇偶性及其应用 知识点分析 新课标对知识的考查要求：结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。奇偶性是贯穿高中的核心性质，高一学习的定义、奇偶区间、奇偶运算性质、图像对称性，是高三研究函数、简化导数分析的底层依据，奇偶性本质是刻画函数对称特征的重要工具。高一以定义法判断、基础初等函数、分段、简单复合函数为主，偏向定性识别、简单求值和解不等式。 题型一、函数奇偶性的定义与判断 题型二、由奇偶性求解析式 题型三、利用函数奇偶性求参数 题型四、利用奇偶性求函数值 题型五、利用函数单调性、奇偶性比较大小 题型六、利用函数单调性、奇偶性解不等式 题型七、利用函数单调性、奇偶性识别图像 题型八、抽象函数的奇偶性 题型九、函数的对称性 一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 二、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 4、性质法：；|奇|=偶，|偶|=偶，，。 5、分段函数奇偶性的判断 分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此判断奇偶十五方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、利用奇偶性求解析式 1、已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为，然后把转化为－，此时－成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． 2、已知函数，组合运算与奇偶性，则把换为－，构造方程组求解． 提醒：若函数的定义域内含0且为奇函数，则必有. 4、 利用函数奇偶性与单调性解不等式 1、利用图象解不等式． 2、转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“”转化为简单不等式(组)求解． ③列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域． 五、函数的轴对称的常用结论 （1）若则图象的对称轴为； （2）若则图象的对称轴为； （3）若则图象的对称轴为。 六、函数的中心对称的常用结论 （1）若则的图象，以为对称中心； （2）若则的图象，以为对称中心； （3）若则的图象，以为对称中心； （4）若则的图象，以为对称中心； 七、抽象函数证明或判断奇偶性 1、证明奇偶性，实质就是赋值 2、可赋值，得到一些特殊点函数值，如等； 3、尝试适当的换元字母，构造出和，如，可令可令等等 题型一：函数奇偶性的定义与判断 题型分析：本题型是奇偶性基础考点，核心两步：①优先判断定义域是否关于原点对称，定义域不关于原点对称直接判定非奇非偶；②定义域对称前提下，利用定义、，也可以使用运算性质、图像法快速判断。常考普通函数、分段函数、复合函数、函数四则运算后的奇偶性。易错点：①忽略定义域优先原则；②分段函数判断奇偶时代入错分段区间。 1.函数的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 2.（多选）下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 3. 判断下列函数的奇偶性： ； ； ；； 4.（多选）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（  ） A． B． C． D． 5.设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6.已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，则下列说法正确的是（ ） A．为上的奇函数 B．为上的奇函数 C．为上的偶函数 D．为上的偶函数 7.（多选）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（ ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 题型二：由奇偶性求解析式 题型分析：高频基础题型，分两类考法①已知函数在某一段区间解析式，求对称区间解析式：设待求区间，转化到已知区间，借助奇偶性推导；②给出一奇一偶，给出等式，将替换成构建方程组联立求解。 1.已知是偶函数，当时，，则当时，_________． 2.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则当时，函数的解析式为 . 3.设函数是定义在R上的奇函数，当x<0时，＝－x2－x，则函数的解析式 . 4.已知函数是奇函数，当时，，则______． 5.已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式． 6.设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（ ） A． B． C． D． 题型三：利用函数奇偶性求参数 题型分析：三类解题思路①若奇函数在处有定义，直接用求参；②利用定义或者恒成立，多项式对应系数相等求解参数；③偶函数、奇函数的定义域必须关于原点对称，利用定义域端点互为相反数列等式求参。 1. 设函数为奇函数，则 2.若＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 3.已知函数为奇函数，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 4.若函数＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数的单调递增区间为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞) 5.已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A． B．8 C． D．24 6.若函数＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________. 7.已知函数是定义在上的偶函数. (1)求实数、的值； (2)求函数的值域. 题型四：利用奇偶性求函数值 题型分析：主要考两种模型 ①给自变量，利用奇偶性转化正负自变量，代入已知表达式算函数值； ②构造奇函数模型：，其中是奇函数，则，利用奇函数最大值 + 最小值 = 0，求最大最小之和。不需要求出完整函数解析式，只做整体代换。 1.若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．5 D．7 2.设函数＝且为偶函数，则g(－2)等于(　　) A．6 B．－6 C．2 D．－2 3.设函数（其中为常数，），若，则（ ） A． B． C． D． 4.已知函数，且，则______． 5.（多选）是奇函数，是偶函数，且，，则（ ） A． B． C． D． 6.已知为奇函数，则（    ） A． B．14 C． D．7 7.设函数的最大值为，最小值为，则=___________ . 题型五：利用函数单调性、奇偶性比较大小 题型分析：奇偶性实现自变量正负转化，偶函数有；奇函数对称区间单调性相同，偶函数对称区间单调性相反。步骤：把全部自变量转化到同一个单调区间内，再利用单调性比较函数值。部分题目会结合函数周期性，先利用周期化简自变量，再比较大小。 1. 若在上是减函数，则与之间有 ( ) A. B. C. D. 2.若是偶函数，则从小到大的排列是 3.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递增，则（ ） A． B． C D 4.设是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0，若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系 5.已知定义在上的偶函数在上单调递减，且. (1)求不等式的解集； (2)比较与的大小. 题型六：利用函数单调性、奇偶性解不等式 题型分析：①优先写出函数定义域（极易遗漏扣分）；②借助奇偶性变形不等式：奇函数；偶函数；③根据单调性脱掉，转化普通代数不等式组求解。 注意：偶函数尽量转化绝对值形式做题，减少分类讨论。 1.设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围 2.偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 3.已知是定义在上的奇函数，且在上是减函数，解不等式。 4.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5.已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 6.已知函数，，且为奇函数. (1)求实数，判断函数的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的判断； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 7.已知函数，. (1)用单调性的定义证明在上是单调减函数；（2） (2)若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围. 8.已知函数，对恒成立，求实数a的取值范围. 题型七：利用函数单调性、奇偶性识别图像 题型分析：经典识图题做题套路①奇偶性：判断图像关于原点还是轴对称，直接排除部分选项；②特殊点：代入的特殊值判断函数正负；③极限趋势：判断函数趋向；④简单单调性判断；⑤不需要精确画图，排除法选出答案。 1.函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   2.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3.已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 4.已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（ ） A． B． C． D． 5.函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 6.已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B．6 C． D．3 题型八：抽象函数的奇偶性 题型分析：难点题型无具体解析式，依靠赋值法解题。 核心方法：赋值，令等，构造与，以此证明奇偶性；经常同时考察抽象函数单调性、解抽象不等式。 1.（多选）已知函数的定义域为，对任意，总有，且当时，，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．函数在上单调递增 2.（多选）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 3.已知定义在上的函数，满足对任意的，，都有.当时，.且（3）. （1）求的值； （2）判断并证明函数在上的奇偶性； （3）在区间，上，求的最值. 4.定义在上的函数，对任意都有. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，试求的值. 5.定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 题型九：函数的对称性 题型分析：拓展提升，奇偶性是特殊的对称性。 常结合周期一起考查，①函数同时具备轴对称 + 中心对称可以推导出周期；②也会考察函数平移后的对称中心、对称轴；③注意区分：轴对称（竖直线）、中心对称（点），不要混淆两者结论。 1.已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2.（多选）已知函数，则（   ） A．在上单调递减 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 3.函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 4.（多选）已知函数对，都有，，且，则（ ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点（-2，0）中心对称 C． D． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $